Voilà ça y est, on y est, pour la physique c’est fini !

Voici le corrigé de l’épreuve de physique – bac 2008

Et voici le  corrigé exercice de spécialité physique – bac 2008

Un sujet pas trop dur. Beaucoup de petites questions, pas de grands développements, pas de gros calculs complexes.

Bon repos pour les maths et l’anglais demain.

Continuons donc avec les connaissances et savoir-faire exigibles pour l’épreuve de physique du bac. Je sais que mes lecteurs qui ne passent pas le bac n’apprécient que moyennement ces articles un peu trop technique… un peu de patience, dans 15 jours c’est fini et on pourra à nouveau penser à d’autres choses…

Après l’exposé des lois de Newton vient l’application à quelques cas suffisamment simple pour permettre une résolution complète du mouvement : chute verticale d’un solide (avec ou sans frottement), mouvements plans (mouvements paraboliques et satellites) et système oscillant.

Commençons par la chute verticale d’un solide.

Attention dans cet article (comme tous ceux de la mécanique), les vecteurs sont notés en gras :
ainsi g = g.u_z est équivalent à

Définir un champ de pesanteur uniforme.

Le champ de pesanteur est un champ vectoriel. C’est à dire qu’en tout point de l’espace, on peut y définir le vecteur pesanteur. Un champ uniforme est un champ qui a la même valeur en tout point de l’espace.

Un champ de pesanteur uniforme est donc un ensemble de vecteur dont la direction, le sens et la valeur sont les mêmes en tout point de l’espace.

Connaître les caractéristiques de la poussée d’Archimède.

La poussée d’Archimède est une force qui s’exerce sur tout corps immergé dans un fluide (liquide ou gaz). Elle est donc définies par une direction, un sens et une valeur. En l’occurence :

• Direction : verticale
• sens : vers le haut
• valeur : égale au poids du fluide déplacé

Ainsi pour un objet de volume V₀ complètement immergé, ce poids est égal à ?_fV₀g où ?_f est la masse volumique du fluide.

Chute verticale avec frottement

Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et établir l’équation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée.

Ah, enfin, c’est là que les choses sérieuses peuvent commencer.

Imaginons donc un corps, lâché à l’instant t=0 de sorte à ce que son centre d’inertie soit au point O à cet instant. On se munira d’un repère Oxyz tel que z soit dirigé positif vers le bas. Bien entendu le référentiel est galiléen sinon on ne pourra pas appliquer la 2ème loi de Newton.

Ce corps est soumis au poids (P=mg),à la poussée d’Archimède (P_a=-?_fV₀g) et à une force de frottement (f qui est opposée au mouvement, soit proportionnelle à v, soit proportionnelle à v² selon l’énoncé).

La seconde loi de Newton s’écrit : ? f_ext=m a_G soit P + P_a + f = m a_G

Comme toutes les forces sont verticales, on peut projeter sur l’axe vertical et écrire mg – ?_fV₀g – f=m a_G

a_G l’accélération est égale à la dérivée de v (vitesse verticale) que l’on note généralement dv/dt et f est soit égale à k.v soit égale à k.v². On obtient donc :

mg – ?_fV₀g – k.v = m dv/dt
ou
mg – ?_fV₀g – k.v²=m dv/dt
selon l’expression de la force de frottement.

Et voilà pour l’équation différentielle du mouvement.

Connaître le principe de la méthode d’Euler pour la résolution approchée d’une équation différentielle.

Lors des révisions avec mes élèves, il semble que ce point n’est pas laissé un souvenir impérissable…
Supposons que nous ayons une équation différentielle de la forme a + b.v = v'(t).

L’approximation d’Euler consiste à écrire que

v(t+?t) = v(t) + v'(t). ?t

Ainsi, si l’on connait v(0), on peut écrire (en appliquant l’équation différentielle) que v'(0) = a + b.v(0).
On peut donc calculer la valeur de v à l’instant ?t en utilisant l’approximation d’Euler :

v(?t) = v(0) + v'(0). ?t

Ce qui nous permet de calculer v'(?t) = a + b.v(?t) d’où l’on peut déduire v(2?t) par Euler d’où l’on déduit v'(2?t) par l’équation différentielle, d’où l’on déduit .v(3?t).. etc. c’est une méthode itérative; c’est à dire que par une succession de petit calcul on peut finir par connaître v à chaque pas ?t.

Chute verticale libre

Définir une chute libre, établir son équation différentielle et la résoudre.

Une chute libre est une chute dans laquelle le système considéré n’est soumis qu’à son poids.

Dans l’étude d’un tel mouvement, on prendra encore une fois un axe vertical dirigé vers le bas. Le poids s’exprime donc P = mg avec g = g.u_z

On considérera un mouvement vertical, c’est à dire que la vitesse initiale est verticale.

Ainsi, si on applique la seconde loi de Newton, on n’aura simplement P = ma qui se réduit à a = g ce qui est la plus simple expression de la 2de loi de Newton que l’on puisse avoir sur Terre.

On considère un mouvement vertical : le vecteur accélération est donc simplement a = dv/dt.u_z. Ainsi, l’équation différentielle du mouvement est

dv/dt = g
qui s’intègre en v(t) = g.t + A où A dépend des conditions initiales

Imaginons que v(0) soit non nul et égal à une valeur v₀. Si l’on prend l’expression v(t) = g.t + A à t=0, on trouve A=v₀ et

v(t) = g.t + v₀

D’autre part, v = dz/dt on en déduit donc

dz/dt = g.t + v₀
qui s’intègre en z(t) = ½ . g.t² + v₀.t + B
où B est une constante d’intégration

Déterminer B est un jeu d’enfant, il suffit de considérer les conditions initiales :

z(0) = z₀ et z(t) = ½ . g.t² + v₀.t + z₀

Voilà qui est fait pour la chute libre verticale !

Définir un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

Trop facile. Un mouvement rectiligne uniformément accéléré est un mouvement dont la trajectoire est une droite et dont l’accélération est constante, indépendante du temps.

Ex de mouvement rectiligne uniforme : la chute libre ! Voir ci-dessus.

Savoir exploiter des reproductions d’écrans d’ordinateur (lors de l’utilisation d’un tableur grapheur) correspondant à des enregistrements expérimentaux.

Savoir exploiter des courbes v =f(t) pour : reconnaître le régime initial et/ou le régime asymptotique, évaluer le temps caractéristique correspondant au passage d’un régime à l’autre, déterminer la vitesse limite

Pour ces deux points, puisqu’un schéma vaut mieux qu’un discours :

Sur le schéma ci-dessus, la vitesse limite est de 10 m/s et il faut 5 seconde pour passer du régime initial (mouvement rectiligne uniformément accéléré) au régime asymptotique (mouvement rectiligne uniforme)

Dans le cas de la résolution par méthode itérative de l’équation différentielle, discuter de la pertinence des courbes obtenues par rapport aux résultats expérimentaux (choix du pas de résolution, modèle proposé pour la force de frottement)

Il s’agit simplement d’être capable de faire le lien entre un graphique expérimental et un modèle.

Le pas de résolution est le ?t dont il a été question dans la méthode d’Euler. Dans l’idéal il faudrait qu’il soit tout petit pour que l’approximation d’Euler fonctionne. Le graphique ci-dessous montre 1 courbe obtenue par la méthode d’Euler (rouge) et une acquisition expérimentale (bleue) :

La courbe rouge a été calculée avec un pas trop grand et la vitesse atteint trop vite sa valeur limite. En diminuant le pas d’itération, on peut obtenir la courbe bleue par Euler.

Pour ce qui est de l’influence des forces de frottements, le graphique ci-dessous montre une modélisation en supposant une force de frottement en v² (courbe en rouge) :

Clairement, ce modèle ne convient pas et on testera le modèle « force de frottement proportionnelle à v » pour voir s’il colle à la courbe expérimentale.

L’épreuve d’évaluation des capacités expérimentales se profile à l’horizon… Pour s’y préparer, il est bon de savoir ce qu’on attend de vous (revoir les conseils de préparation). Voici ce qu’en dit le programme (disponible également hors ligne : Compétences exigibles pour les capacités expérimentales) :

En Physique

Propagation d’une onde; ondes progressives

• Utiliser un dispositif expérimental pour mesurer un retard ou une distance lors de la propagation d’une onde. En particulier utiliser un oscilloscope pour mesurer le retard d’un clap sonore ou d’une salve d’ultrasons.
• Réaliser un montage permettant de mettre en évidence le phénomène de diffraction dans le cas d’ondes mécaniques, sonores ou ultrasonores.
• Réaliser un montage permettant de mettre en évidence le phénomène de diffraction dans le cas d’ondes lumineuses.
• Réaliser des mesures permettant de vérifier la pertinence de la relation ? = ?/a.

Transformations nucléaires

• Réaliser une série de comptages relatifs à une désintégration radioactive.
• À partir d’une série de mesures, utiliser un tableur ou une calculatrice pour calculer la moyenne, la variance et l’écart-type du nombre de désintégrations enregistrées pendant un intervalle de temps donné.

Évolution des systèmes électriques

dipôle RC :

• Réaliser un montage électrique à partir d’un schéma.
• Réaliser les branchements pour visualiser les tensions aux bornes du générateur, du condensateur et du conducteur ohmique.
• Montrer l’influence de l’amplitude de l’échelon de tension, de la résistance et de la capacité sur le phénomène observé lors de la charge et de la décharge du condensateur.

dipole RL :

• Réaliser un montage électrique à partir d’un schéma.
• Réaliser les branchements pour visualiser les tensions aux bornes du générateur, de la bobine et du conducteur ohmique supplémentaire.
• Montrer l’influence de l’amplitude de l’échelon de tension, de R et de L sur le phénomène observé.

circuit RLC série :

• Réaliser un montage électrique à partir d’un schéma.
• Réaliser les branchements pour visualiser es tensions aux bornes du condensateur et de la résistance supplémentaire éventuelle.
• Montrer l’influence de R, L et C sur le phénomène observé.
• Mesurer une pseudo-période et une période.
• Utiliser un oscilloscope :
  • le régler : mode balayage, finesse du trait, réglage du « zéro », choix de la sensibilité verticale et choix d’une base de temps, sélection des voies;
  • repérer les tensions observables simultanément dans un circuit;
  • visualiser l’image d’une intensité;
  • visualiser simultanément deux tensions.
  • visualiser et déterminer les caractéristiques d’une tension;

Évolution temporelle des systèmes mécaniques

• Savoir enregistrer expérimentalement le mouvement de chute d’un solide dans l’air et/ou dans un autre fluide en vue de l’exploitation du document obtenu.
• Utiliser un tableur ou une calculatrice pour résoudre une équation différentielle par la méthode d’Euler.
• Savoir enregistrer expérimentalement la trajectoire d’un projectile et exploiter le document obtenu.
• Décrire un protocole expérimental permettant :
  • d’enregistrer le mouvement d’un système oscillant plus ou moins amorti
  • de vérifier la loi d’isochronisme des petites oscillations
  • de vérifier l’expression de la période propre dans le cas du pendule simple.

• Enregistrer un mouvement oscillant amorti.
• Savoir mesurer une amplitude, une pseudo- période.
• Savoir faire varier l’amortissement.
• Savoir montrer l’influence des paramètres masse et rigidité sur la période propre.

Physique – Spé

Produire des images, observer

• Réaliser un montage d’optique à partir des lentilles minces; application à la mesure d’un schéma.
• Régler un montage d’optique de façon à observer une image sur un écran.
• Utiliser un banc d’optique, réaliser des mesures et les exploiter.
• Déterminer la distance focale d’une lentille mince convergente et d’un miroir convergent.
• Réaliser et exploiter un montage permettant d’illustrer le fonctionnement des trois instruments d’optique :
  • choisir les lentilles adaptées,
  • régler le montage,
  • effectuer les mesures des grandeurs permettant de valider le modèle proposé.

Produire des sons, écouter

• Mesurer une période et déterminer ainsi une fréquence.
• Décrire et réaliser une expérience permettant de mesurer la fréquence de vibration d’une corde par stroboscopie et celle du son émis par la corde.
• Avec le matériel disponible au laboratoire, savoir mettre en évidence les modes propres de vibration d’une corde et d’une colonne d’air.; savoir réaliser et exploiter une expérience d’ondes stationnaires :
  • mesure de longueur d’onde,
  • mesure d’une célérité,
  • mesure des fréquences propres,
  • influence des paramètres.

• Acquisition et analyse d’une note produite par un instrument de musique.

Produire des signaux, communiquer

• Savoir observer, avec un oscilloscope, le signal d’un fil conducteur connecté à une des entrées.
• Savoir transmettre un signal de fréquence sonore par un faisceau lumineux
• Réaliser un montage de modulation d’amplitude à partir d’un schéma. Choisir des tensions permettant une modulation de bonne qualité; savoir visualiser les tensions pertinentes.
• Réaliser un montage de démodulation d’amplitude à partir d’un schéma. Choisir les composants permettant une démodulation de bonne qualité; savoir visualiser les tensions pertinentes.
• Réaliser un montage, à partir d’un schéma, associant les divers modules nécessaires à la réalisation d’un récepteur radio.

Chimie

La transformation d’un système chimique est-elle toujours rapide?

Le programme officiel ne préconise pas de compétences expérimentales particulières mais il évoque les activités suivantes :

• Suivi de l’évolution temporelle d’une transformation :
  • par prélèvements successifs et titrages, par exemple réaction de H₂O₂ et I^? , de dismutation de H₂O₂, réaction de S₂O₈^2- et I^– ,
  • par utilisation d’un manomètre, d’un conductimètre, ou d’un spectrophotomètre.
• Tracé des courbes d’évolution de quantité de matière ou de concentration d’une espèce et de l’avancement de la réaction au cours du temps.
• Utilisation d’un tableur-grapheur pour tracer la courbe x = f (t) par exemple et déterminer la vitesse à différentes dates.
• Détermination de t1/2 à partir de résultats expérimentaux.

La transformation d’un système chimique est-elle toujours totale?

• Être capable de mesurer la valeur du pH d’une solution aqueuse avec un pH-mètre.
• Réaliser par suivi pH-métrique le titrage d’un acide ou d’une base en solution aqueuse.
  • Déterminer, à partir des résultats d’une expérience, le volume versé à l’équivalence lors d’un titrage acide-base.
  • Montrer qu’un indicateur coloré convenablement choisi permet de repérer l’équivalence.

Le sens « spontané » d’évolution d’un système est-il prévisible?

Là encore le programme de cite pas explicitement de compétences expérimentales mais il préconise les activités suivantes :

• Réalisation et étude de piles par exemple :
  • Fe/Fe2+//Cu2+/Cu
  • Cu/Cu2+//Ag+/Ag
  • Zn/Zn2+// Cu2+/Cu (pile Daniell),
  • à l’aide d’un ampèremètre (mise en évidence du sens de circulation du courant),
  • à l’aide d’un voltmètre (mise en évidence d’une f.é.m.).
• Mise en évidence expérimentale de l’électrolyse

Comment le chimiste contrôle-t-il les transformations de la matière?

• Mettre en œuvre au laboratoire, en justifiant le choix du matériel à utiliser : chauffage à reflux, distillation fractionnée, cristallisation, filtration sous vide, chromatographie sur couche mince,
• Respecter les consignes de sécurité.

Chimie – Spécialité

Extraire et identifier les espèces chimiques

• Réaliser une chromatographie par une technique donnée (couche mince, papier ou colonne).
• Réaliser une extraction liquide-liquide.

Créer et reproduire des espèces chimiques

• Réaliser les opérations suivantes : chauffage à reflux, distillation, lavage d’une phase organique, séchage d’une phase organique liquide, extraction liquide-liquide, séchage d’un solide, cristallisation, recristallisation.

Effectuer des contrôles qualités

• Réaliser un titrage acide-base en présence d’un indicateur coloré ou à l’aide d’un pH-mètre.

Elaborer un « produit » de consommation courante

• Réaliser le montage électrique permettant d’effectuer une électrolyse .

  Bon courage…

« La mécanique de Newton » est le premier chapitre de la mécanique. Il revient sur les 3 lois de Newton déjà étudiées en première S tout en précisant l’expression vectorielle de la seconde loi grâce à une définition rigoureuse de l’accélération. Les chapitres suivants s’attacheront à appliquer ces trois lois dans différentes situations.

Note : dans l’article qui suit, les vecteurs sont notés en gras.

Voici ce que le programme exige que vous sachiez sur cette partie :

Choisir un système. Choisir les repères d’espace et de temps.

Pour un vrai problème de physique (pas un problème pré-mâché de sujet de bac), le choix du système est plus délicat que ce qu’il peut y paraître à priori. Cependant dans la plupart des problèmes de bac, le système est clairement défini par le sujet. Ainsi, il ne faut pas s’en faire, juste bien se rappeler lorsqu’on attaque le problème de bien préciser le système étudié, et l’origine du repère d’espace et de temps surtout si le sujet ne le précise pas.

Par exemple : dans le cas d’une chute libre verticale, on peut choisir de prendre comme origine du repère la position du système au moment où il est lâché et comme origine du temps le moment où il est lâché.

Un point délicat cependant : la direction dans laquelle on oriente le repère. Si l’on oriente l’axe vertical vers le bas, la gravité g sera égale à +g.k (où k est le vecteur unitaire de l’axe vertical). Si l’axe est orienté vers le haut, g=-g.k (voir le schéma ci-contre).

Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées à ce système.

Bon, une compétence acquise depuis la seconde normalement. Généralement, on trouvera :

• le poids (du moment que l’expérience a lieu à la surface de la terre) : P=m.g
• la poussée d’archimède (dans l’eau mais aussi dans l’air, n’oubliez pas que les montgolfières  et les ballons gonflés à l’hélium flottent) : P_a=-?.V.g
• les frottements (sauf si le sujet vous invite à les négliger) de l’air, de l’eau, etc.: leur expression est précisée dans le sujet
• la réaction du support (pour un objet posé sur le sol, une table, etc.) : perpendiculaire au support s’il n’y a pas de frottement, ayant une composante tangeante au support dans le cas contraire.

Bien sûr, cette liste n’est pas exhaustive et on peut trouver d’autres forces : l’interaction gravitationnelle exercée par une planète ou une étoile, l’interaction électrique, etc.

Définir le vecteur accélération et exploiter cette définition, connaître son unité.

Le vecteur accélération est défini comme le taux de variation du vecteur vitesse : a=?v/?t

Pour bien définir le vecteur accélération, il faut avoir une idée claire sur ce qu’on appelle la vitesse. Dans la vie de tous les jours, la vitesse est un scalaire (un chiffre), alors qu’en physique c’est un vecteur, défini par sa norme, sa direction et son sens. Sa norme correspond à la définition de la vie de tous les jours : la distance parcourue par unité de temps (la seconde en physique), sa direction est tangeante à la trajectoire et son sens est celui du mouvement.

Selon la façon dont on appréhende le problème, les vecteurs vitesse et accélération vont s’écrire de différentes façons :

• Dans le cas d’une étude expérimentale où l’on a une collection de points M1, M2, M3, etc. correspondant à différentes positions du point étudié, v_i=(OM_i+1–OM_i-1)/?t et a_i=(v_i+1–v_i-1)/?t
• Dans le cas où l’on a OM(t) [x(t), y(t), z(t)], alors le vecteur vitesse se calcule en dérivant chacune des coordonnées : v(t) [dx/dt(t), dy/dt(t), dz/dt(t)]. Pour le vecteur accélération, c’est la même chose mais en dérivant les coordonnées de v(t) soit a(t) [dv_x/dt(t), dv_y/dt(t), dv_z/dt(t)]=[d²x/dt²(t), d²y/dt²(t), d²z/dt²(t)]

L’unité de l’accélaration est celle de la vitesse divisée par du temps soit du m.s^-2.

Enoncer les trois lois de Newton.

Première loi : également appelée principe d’inertie
Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse vG du centre d’inertie G du solide ne varie pas, la somme des forces extérieures qui s’exercent sur le solide est nulle et réciproquement :

Cette loi est généralement appliquée aux solides au repos ou en mouvement de translation rectiligne uniforme pour déterminer les forces qui s’y appliquent (par exemple pour un palet qui glisse sans frottement, la réaction de la glace est exactement opposée au poids du palet).

Seconde loi : également appelé postulat fondamental de la dynamique
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de sa masse par l’accélération de son centre d’inertie :

Dans cette dernière expression, les forces s’expriment en Newton (N), la masse en kilogramme (kg) et l’accélération en mètre par seconde carré (m.s^-2). Nous allons beaucoup l’utiliser par la suitepour déterminer les trajectoires d’objets en mouvement.

Troisième loi : également appelé le principe des actions réciproques
Si 2 corps sont en interaction, alors la force exercée par le premier sur le second est égale et opposée à la force exercée par le second sur le premier :

Cette loi s’oublie facilement et pourtant elle est fondamentale pour comprendre le recul d’une arme à feu (voir par exemple la première question du bac 2007).

Savoir exploiter un document expérimental (série de photos, film, acquisition de données avec un ordinateur…) : reconnaître si le mouvement du centre d’inertie est rectiligne uniforme ou non, determiner des vecteurs vitesse et accélération, mettre en relation accélération et somme des forces, tracer et exploiter des courbes v_G = f(t).

Pour une série de points M1, M2, M3, etc. nous avons vu comment déterminer les vecteurs vitesses et accélération. Bien entendu, si le mouvement est un mouvement rectiligne uniforme, la trajectoire sera une droite et deux points consécutifs seront toujours à la même distance les uns des autres.

Pour vous entraîner : les questions de 1.1 à 1.5 de Pondichéry 2005 sont une application directe des points qui viennent d’être discutés.

Continuons avec les connaissances et savoir-faire exigibles pour l’épreuve de physique du bac avec ce qu’il faut retenir du dipôle RLC. Comme d’habitude, les connaissances et savoir-faire exigibles du programme sont en gras :

Lorsqu’on branche un condensateur chargé à une bobine, celui-ci tend à vouloir se décharger (voir le cas du dipôle RC). Des charges ont donc tendance à se déplacer dans le circuit. Mais une bobine « n’aime » pas que le courant qui le traverse varie (voir l’étude du dipôle RL). Elle va donc avoir tendance à ralentir cette décharge. Cependant, progressivement, le condensateur arrive à imposer un courant et il va progressivement se décharger. Lorsque la charge qu’il porte est nulle, le transfert de charge pourrait s’arrêter là mais comme la bobine impose une continuité du courant, elle va obliger le condensateur à se charger dans l’autre sens et ainsi de suite : on observe des oscillations de la tention aux bornes du condensateur.

Définir et reconnaître les régimes périodique, pseudo-périodique et apériodique.
Savoir tracer l’allure de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps pour les régimes périodique, pseudo-périodique et apériodique.

Pour le processus qui vient d’être décrit, 3 régimes sont possibles selon la valeur de la résistance totale du circuit. Dans le cas où la résistance est nulle, on observe un régime périodique :

source : http://montblancsciences.free.fr

Dans le cas où la résistance du circuit est faible, on observe un régime pseudo-périodique :

source : http://montblancsciences.free.fr

Dans le cas d’une grande résistance, on observe un régime apériodique :

source : http://montblancsciences.free.fr

Dans le cas d’un amortissement négligeable, effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci.
En déduire l’expression de l’intensité dans le circuit.

Envisageons un circuit constitué d’un condensateur de capacité C et une bobine idéale d’inductance L. A t=0, le condensateur est chargé, portant une tension U₀. La résolution analytique s’effectue toujours selon la même méthodologie :

1. Obtention de l’équation différentielle – condensateur et bobine sont en série et vérifient donc u_C+u_L=0. Pour obtenir l’équation vérifiée par u_C, il faut exprimer u_L en fonction de u_C. On sait que u_L=L.di/dt d’une part et que i=dq/dt donc on peut en déduire que u_L=Ld²q/dt² où d²q/dt² est la dérivée seconde par rapport au temps de la charge (la dérivée de la dérivée : q »(t) en notation mathématique). Or q=C.u_C dont u_L=LCd²uC/dt et u_C vérifie :
   u_C+LC.d²u_C/dt²=0.
2. Résolution de l’équation différentielle – cette équation admet des solutions de la forme : u_C(t)=U_m.cos(2?.t/T₀+?₀) où U_m représente l’amplitude (en Volt), T₀ , la période (en s) et ?₀, la phase à l’origine (en rad). La détermination de ces grandeurs se fait en 2 étapes : en injectant cette expression dans l’équation différentielle puis en appliquant les conditions initiales. La dérivée de u_C(t) par rapport au temps est
   du_C/dt= -2?/T_0.U_m.sin(2?.t/T₀+?₀).
   La dérivée seconde est donc d²u_C/dt²= -(2?/T_0)².U_m.cos(2?.t/T₀+?₀). Si l’on injecte cette dernière expression dans l’équation différentielle ainsi que celle de u_C(t), on obtient :
   U_m.cos(2?.t/T₀+?₀₎ -LC(2?/T_0)².U_m.cos(2?.t/T₀+?₀)=0
   ce qui est équivalent à :
   (1-LC(2?/T₀)²)U_m.cos(2?.t/T₀+?₀₎ =0 qui n’est possible pour tout t que si T₀=2?.?(LC)
3. Obtention de i(t) – De l’expression de u_C(t), on peut déduire i qui est égale à dq/dt donc à C.du_C/dt ? i(t)=-2?/T_0.C.U_m.sin(2?.t/T₀+?₀)
4. Conditions initiales – Les conditions initiales sont uC(t=0)=U₀ et i(t=0)=0. Si l’on applique les expressions trouvées précédemment, on obtient :
   U_m.cos(?₀)=U₀ et U_m.sin(?₀)=0 qui implique que ?₀=0 et U_m=U₀.

Pour finir, nous avons donc les expressions suivantes :

u_C(t)=U₀.cos(2?.t/T₀) où T₀=2?.?(LC)
q(t)=C.u_C(t)=Q₀.cos(2?.t/T₀) où Q₀=C.U_{0
i(t)=dq/dt=}-I_m.sin(2?.t/T₀) où I_m=2?.Q₀/T₀

Connaître l’expression de la période propre, la signification de chacun des termes et leur unité.

De la résolution analytique, on a déduit T₀=2?.?(LC) où L est l’inductance de la bobine et C, la capacité du condensateur.

On peut vérifier que cette expression est homogène :

• de l’étude du dipôle RC, on avait déduit que RC est homogène à un temps,
• de l’étude du dipôle RL, on avait déduit que L/R est homogène à un temps,
• on en déduit que LC est homogène à L/R.RC=Temps²
• donc ?(LC) est homogène à un temps.

Savoir que le dispositif qui entretient les oscillations fournit l’énergie évacuée par transfert thermique.
Savoir interpréter en terme d’énergie les régimes périodique, pseudo-périodique, apériodique et entretenu.

Les oscillations observées dans le cas où l’amortissement est nul (pas de résistance), correspondent en fait à un échange d’énergie entre le condensateur et la bobine : le condensateur a initialement emmagasiné une énergie sous forme électrique (1/2.C.u_C²) qu’il transmet à la bobine (1/2.L.i²).

A chaque transfert,  la résistance dissipe de l’énergie puisqu’elle est traversée par un courant électrique (une résistance dissipe une énergie R.i² à chaque instant). Ainsi, l’énergie totale du circuit électrique diminue progressivement à chaque transfert d’énergie entre le condensateur et la bobine et les oscillations s’amortissent.

Dans le cas où la résistance est très élevée, toute l’énergie est dissipée dès le premier transfert et la partie de ping-pong avec l’énergie entre condensateur et bobine ne se fait pas.

Pour entretenir les oscillations, il est nécessaire de « réinjecter » de l’énergie à chaque transfert, ce qui se fait à l’aide d’un dispositif qui fournit l’énergie dissipée  par la résistanc.

Savoir exploiter un document expérimental pour:

• identifier les tensions observées,
• reconnaître un régime
• montrer l’influence de R et de L ou C sur le phénomène d’oscillations
• déterminer une pseudo-période.

La tension aux bornes du condensateur est initialement égale à U₀. Aux bornes de la résistance, elle est nulle initialement puisqu’il n’y a pas de courant.

L’influence de R, L et C a été discutée dans les points précédents.

La pseudo-période se détermine en prenant 2 passages par zéro dans le même sens de la tension aux bornes du condensateur. Cette pseudo-période est voisine de la période propre calculée précédemment (T₀=2?.?(LC)).

Sur le site de l’académie de Caen, on trouve une petite application qui simule la tension aux bornes d’un condensateur.

Les compétences et savoir-faire exigibles correspondant au dipôle RL sont :

Connaître la représentation symbolique d’une bobine.
En utilisant la convention récepteur, savoir orienter le circuit sur un schéma et représenter les différentes flèches-tension.

On remarque tout de suite que ces compétences sont très proches (dans leur formulation tout au moins) de celles exigées pour le dipôle RC.

La représentation symbolique d’une bobine est la suivante :

Sur ce schéma on voit que la bobine est symbolisé par une bobine idéale caractérisée par son inductance L et une résistance r.

Pour l’orientation d’un circuit, c’est toujours la même histoire : le courant est compté positif à partir de la borne + du générateur, traverse le circuit et retourne au générateur par la borne -.

Connaître l’expression de la tension aux bornes d’une bobine; connaître la signification de chacun des termes et leur unité. Savoir exploiter la relation.

La différence de tension aux bornes d’une bobine est la somme de 2 termes :

u_L=L.di/dt+r.i

Le premier terme caractérise les bobines.Une bobine idéale n’a pas de second terme. Ce dernier correspond simplement au fait qu’une bobine est un fil enroulé sur lui-même qui possède donc une petite résistance.

L est l’inductance de la bobine, exprimée en Henry (H) tandis que r correspond à la résistance de la bobine, exprimée en Ohms (?).

Effectuer la résolution analytique pour l’intensité du courant dans un dipôle RL soumis à un échelon de tension.
En déduire la tension aux bornes de la bobine.
Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.

Partant du montage classique constitué d’un générateur de tension (délivrant U₀), d’un interrupteur que l’on ferme à l’instant t=0, d’une résistance et d’une bobine, on peut écrire :

U₀=u_L+u_R
et i(t=0)=0

La suite est très classique et la méthode de calcul est toujours la même :

1. remplacer les différentes tensions par leur expression en fonction de la variable demandée (ici i) : u_R=R.i et u_L=L.di/dt+r.i ce qui nous permet d’obtenir l’équation différentielle vérifiée par la variable demandée : U₀=L.di/dt+r.i+R.i ? U₀=L.di/dt+i.(r+R)
2. Déterminer les paramètres de la solution mathématique de cette équation. Ici, la solution est de la forme i(t)=A.e^-t/?+B. Pour déterminer ? et B, il faut calculer la dérivée de i(t) et remplacer di/dt par sa dérivée et i par son expression. On arrivera ici à B=U₀/(r+R) et ?=L/(r+R). Pour les détails du calculs, je vous laisse vous reporter à votre cours (je vais quand même pas faire tout le travail !)
3. Déterminer les inconnues restantes en utilisant les conditions initiales. Ici i(t=0)=0 ce qui se traduit par A+B=0 d’où A=-B ce qui donne en remplaçant B par l’expression trouvée précédemment : A=-U₀/(r+R)
4. Recoller les morceaux pour écrire la solution : i(t)=A.e^-t/?+B s’exprime i(t)=U₀/(r+R).(1-e^-t/?) où ?=L/(r+R)

Ayant l’expression de i(t), il suffit de se rappeler que u_L=L.di/dt+r.i pour calculer u_{L, ce qui donne après simplification} : u_L(t)=U₀/(r+R).(Re^-t/?+r)

Au passage, nous avons obtene l’expression de la constante de temps : L/(R+r) c’est à dire la valeur de l’inductance divisée par la somme de toutes les résistances du circuit. Comme d’habitude, il faut être capable de vérifié que cette expression est « dimensionnellement » juste :

L.di/dt est homogène à une tension donc [L]=Volt.Temps/Ampère tandis que U=R.i implique que [R]=Volt/Ampère. Ceci permet d’affirmer que [L/(R+r)]=Temps.

Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée.
Savoir qu’une bobine s’oppose aux variations du courant du circuit où elle se trouve et que l’intensité de ce courant ne subit pas de discontinuité.

Lorsqu’une bobine est traversée par un courant électrique, elle emmagasine de l’énergie sous forme magnétique. L’énergie emmagasinée a pour expression :

E_m=1/2.Li²

Par conséquent, pour assurer la continuité des transferts d’énergie, il est impossible d’avoir de brusque variation de courant au sein d’une bobine.

Cela est en accord avec les résultats de l’analyse dimensionnelle. En effet, nous avons obtenu : i(t)=U₀/(r+R).(1-e^-t/?) et u_L(t)=U₀/(r+R).(Re^-t/?+r). Lorsque t est égal à 0, cela donne i=0 et u_L=U₀. Ce qui signifie que lorsqu’on ferme l’interrupteur, la bobine assure la continuité de i en « prenant » toute la tension fournie par le générateur. Ainsi, la résistance ne porte aucune tension (u_R=0 car i=0).

Pour un temps infini, i tend vers U₀/(r+R)=I₀ qui est la valeur de l’intensité qui traverse 2 résistances r et R soumise à U₀ tandis que la bobine porte une tension u_L(t)=r.U₀/(r+R)=r.I₀ : la bobine se comporte comme une simple résistance r.

Savoir exploiter un document expérimental pour:
– identifier les tensions observées
– montrer l’influence de R et de L lors de l’établissement et de la disparition du courant
– déterminer une constante de temps.

Encore une fois on retrouve les grands classique du programme : dans le cas de l’établissement du courant dans le dpôle RL, l’intensité qui traverse la bobine étant continue, on identifie facilement la tension aux bornes de la résistance (c’est celle qui est nulle et continue en t=0) tandis que la tension aux bornes de la bobine est discontinue (elle est nulle pour t<0 et égale à U₀ pour t>0).

La mesure de la constante de temps se fait toujours de la même façon :

• soit à l’aide de la tangente à l’origine,
• soit en déterminant le temps tel que i(?)=I₀.(1-e^-1)=0,63.I₀ c’est à dire i égal à 63 % de sa valeur finale.

Compte tenu de l’expression de ?, une forte résistance diminue le temps d’établissement du régime permanent tandis qu’une forte inductance l’augmente.

Les bacs blancs approchant, j’essaierai de poster rapidement ce qu’il faut retenir du chapitre RLC.

Continuons avec notre série « compétences et savoir-faire exigibles » du programme de Terminale S et voyons ce qu’il faut retenir du cours sur le dipôle RC. Comme d’habitude, les phrases en gras sont issue directement du programme de TS.

Connaître la représentation symbolique d’un condensateur.

Un condensateur est constitué de deux plaques conductrices séparées par un matériau isolant. Son symbole est :

Il est caractérisé par sa capacité C, dont l’unité est en Farad.

En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les différentes flèches-tension, noter les charges des armatures du condensateur.

Par convention, le courant électrique sort de la borne + du générateur, traverse le circuit et rentre par la borne – du générateur. Pour un dipôle, la convention récepteur consiste à représenter la flèche-tension dans le sens inverse du courant, elle est donc dirigée en direction de la borne qui reçoit le courant. La borne par laquelle entre le courant électrique porte une charge positive +q. L’autre borne porte une charge -q :

Connaître les relations charge-intensité et charge-tension pour un condensateur en convention récepteur; connaître la signification de chacun des termes et leur unité.

Un condensateur dont la borne positive voit arriver une intensité i porte une charge q qui varie au cours du temps. La relation entre i et q est :

i=dq/dt où d/dt représente la dérivée (c’est à dire qu’on écrirait en mathématique i(t)=q'(t))

La relation entre la charge de la borne positive et la différence de tension, u, aux bornes du condensateur est :

q=C.u (relation 1)
Un moyen mémotechnique simple (on pourrait presque dire cul-cul) pour s’en souvenir : cette relation se lit « cu »= »cu ».

Dans ces deux expressions,

• i est l’intensité en Ampère (A);
• u, la tension aux bornes du condensateur en Volt (V);
• q, la charge en Coulomb (C);
• C, la capacité du condensateur en Farad (F).

Savoir exploiter la relation q = Cu.

Si l’on combine les 2 relations précédentes, on peut écrire i=dq/dt=d(C.u)/dt=C.d(u)/dt. Ainsi, l’intensité qui « traverse » un condensateur (en réalité il n’y a pas vraiment « traversée » de courant puisque les charges sont accumulées sur les armatures) est reliée à la tension aux bornes du condensateur par la relation :

i=C.d(u)/dt (relation 2)

Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci lorsque le dipole RC est soumis à un échelon de tension.

Ce calcul se trouve dans tous les manuels de physique de terminale et facilement sur internet. Je vais donc essayer d’en dresser simplement les grandes lignes ici.

Imaginons un dipôle RC dans lequel le condensateur est déchargé, soumis à une tension égale à +E à l’instant t=0. C’est à dire qu’à l’instant t=0, on ferme l’interrupteur K du circuit ci-dessous :

A partir de l’instant t=0, E=u_R+u_c (relation 3) où u_R et u_c représentent les tensions aux bornes de la résistance R et du condensateur C.

On peut écrire que d’une part u_R=R.i et i=C.du_c/dt (relation 2 ci-dessous) d’où u_R=RC.du_c/dt. Ainsi, la relation (3) se réécrit :

E = RC.du_c/dt + u_c (4)

Cette dernière relation est une équation différentielle puisqu’elle relie u_c et sa dérivée du_c/dt (en mathématique, on l’aurait écrit E= RC.u_c‘(t) + u_c(t)). La solution d’une telle équation est de la forme u_c(t)=A.e^-t/?+B dont la dérivée du_c/dt est égale à -A/?.e^-t/?.

Il nous faut maintenant relier les paramètres A, B et ? aux contextes de l’équation (4). Si l’on « injecte » cette solution dans l’équation (4), on trouve :

E = A.e^-t/?.(-RC/?+1)+B ? E-B = A.e^-t/?.(-RC/?+1)

qui n’est possible que si E-B=0 et -RC/?+1=0 soit :

B = E
? = RC

La détermination de A se fait par les conditions initiales (c’est à dire la valeur de u_c(t) lorsque t=0) :

u_c(t=0) = A+B obtenu grâce à l’expression de u_c(t)

et on sait que u_c(t=0) = 0 (le condensateur n’est pas chargé initialement : q=0 ? u_c=0)

D’où l’on peut déduire que A=-B donc A=-E. Ce qui nous permet de conclure que :

u_c(t)=E(1-e^-t/?) où ? = RC.

ouf ! l’un des gros morceau du programme vient de passer. Lorsque vous avez abordé ce type de calcul en Décembre c’était la première fois que vous l’aviez rencontré mais par la suite, on refera ce type de calcul et je vous garantie que d’ici Juin cela devrait être plus facile.

En déduire l’expression de l’intensité dans le circuit.

Maintenant que nous avons u_c(t), il est facile d’obtenir i(t) en utilisant la relation (2) :

i = C.duc/dt = C.(-E/?).e^-t/?=-E/R.e^-t/?

Un petit coup d’analyse dimensionnelle (voir le billet l’analyse dimensionnelle) nous permet de vérifier que nous ne nous sommes pas trompé : l’exponentielle est sans dimension et E/R à la dimension d’une intensité (rappelez-vous U=R.I donc I=U/R).

Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.

Comme nous venons de le voir, ?=RC.

R a pour unité V/A (se rappeler de U=R.I donc R = U/I)
C a pour unité A.s/V (se rappeler de i=C.du/dt)

Donc l’unité de ? est (V/A)×(A.s/V)=s : la contante de temps porte bien son nom, c’est bien un temps.

Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée dans un condensateur.

L’énergie emmagasinée dans un condensateur est le produite de sa charge par la différence de tension à ses bornes, divisé par 2 :

E_c =q.u/2 =C.u²/2

Savoir que la tension aux bornes d’un condensateur n’est jamais discontinue.

Ce principe découle directement de l’expression de l’énergie. En effet, il n’est pas possible que le condensateur se décharge instantanément de l’énergie qu’il a emmagasiné. Par conséquent, la tension à ses bornes est forcément continue.

Savoir exploiter un document expérimental pour :

• identifier les tensions observées,
• montrer l’influence de R et de C sur la charge ou la décharge,
• déterminer une constante de temps lors de la charge et de la décharge.

L’expression u_c(t)=E(1-e^-t/?) donne (sur ce graphique, E est égal à 1) :

Tandis que i(t)=-E/R.e^-t/? donne (même remarque que précédemment E/R=1) :

Pour reconnaître d’un coup d’oeil la bonne courbe, il faut se rappeler qu’initialement (à t=0), les deux grandeurs i et u sont nulles. Sur la première u(t) reste continue tandis que i(t) est discontinue, passant de 0 à E/R.

La mesure de ? est décrite sur le premier graphique.