Le dipôle RC : ce qu’il faut en retenir

Continuons avec notre série « compétences et savoir-faire exigibles » du programme de Terminale S et voyons ce qu’il faut retenir du cours sur le dipôle RC. Comme d’habitude, les phrases en gras sont issue directement du programme de TS.

Connaître la représentation symbolique d’un condensateur.

Un condensateur est constitué de deux plaques conductrices séparées par un matériau isolant. Son symbole est :

symbole condensateur

Il est caractérisé par sa capacité C, dont l’unité est en Farad.

En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les différentes flèches-tension, noter les charges des armatures du condensateur.

Par convention, le courant électrique sort de la borne + du générateur, traverse le circuit et rentre par la borne – du générateur. Pour un dipôle, la convention récepteur consiste à représenter la flèche-tension dans le sens inverse du courant, elle est donc dirigée en direction de la borne qui reçoit le courant. La borne par laquelle entre le courant électrique porte une charge positive +q. L’autre borne porte une charge -q :

cond.jpg

Connaître les relations charge-intensité et charge-tension pour un condensateur en convention récepteur; connaître la signification de chacun des termes et leur unité.

Un condensateur dont la borne positive voit arriver une intensité i porte une charge q qui varie au cours du temps. La relation entre i et q est :

i=dq/dt où d/dt représente la dérivée (c’est à dire qu’on écrirait en mathématique i(t)=q'(t))

La relation entre la charge de la borne positive et la différence de tension, u, aux bornes du condensateur est :

q=C.u (relation 1)
Un moyen mémotechnique simple (on pourrait presque dire cul-cul) pour s’en souvenir : cette relation se lit « cu »= »cu ».

Dans ces deux expressions,

  • i est l’intensité en Ampère (A);
  • u, la tension aux bornes du condensateur en Volt (V);
  • q, la charge en Coulomb (C);
  • C, la capacité du condensateur en Farad (F).

Savoir exploiter la relation q = Cu.

Si l’on combine les 2 relations précédentes, on peut écrire i=dq/dt=d(C.u)/dt=C.d(u)/dt. Ainsi, l’intensité qui « traverse » un condensateur (en réalité il n’y a pas vraiment « traversée » de courant puisque les charges sont accumulées sur les armatures) est reliée à la tension aux bornes du condensateur par la relation :

i=C.d(u)/dt (relation 2)

Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci lorsque le dipole RC est soumis à un échelon de tension.

Ce calcul se trouve dans tous les manuels de physique de terminale et facilement sur internet. Je vais donc essayer d’en dresser simplement les grandes lignes ici.

Imaginons un dipôle RC dans lequel le condensateur est déchargé, soumis à une tension égale à +E à l’instant t=0. C’est à dire qu’à l’instant t=0, on ferme l’interrupteur K du circuit ci-dessous :

A partir de l’instant t=0, E=uR+uc (relation 3) où uR et uc représentent les tensions aux bornes de la résistance R et du condensateur C.

On peut écrire que d’une part uR=R.i et i=C.duc/dt (relation 2 ci-dessous) d’où uR=RC.duc/dt. Ainsi, la relation (3) se réécrit :

E = RC.duc/dt + uc (4)

Cette dernière relation est une équation différentielle puisqu’elle relie uc et sa dérivée duc/dt (en mathématique, on l’aurait écrit E= RC.uc‘(t) + uc(t)). La solution d’une telle équation est de la forme uc(t)=A.e-t/?+B dont la dérivée duc/dt est égale à -A/?.e-t/?.

Il nous faut maintenant relier les paramètres A, B et ? aux contextes de l’équation (4). Si l’on « injecte » cette solution dans l’équation (4), on trouve :

E = A.e-t/?.(-RC/?+1)+B ? E-B = A.e-t/?.(-RC/?+1)

qui n’est possible que si E-B=0 et -RC/?+1=0 soit :

B = E
? = RC

La détermination de A se fait par les conditions initiales (c’est à dire la valeur de uc(t) lorsque t=0) :

uc(t=0) = A+B obtenu grâce à l’expression de uc(t)

et on sait que uc(t=0) = 0 (le condensateur n’est pas chargé initialement : q=0 ? uc=0)

D’où l’on peut déduire que A=-B donc A=-E. Ce qui nous permet de conclure que :

uc(t)=E(1-e-t/?) où ? = RC.

ouf ! l’un des gros morceau du programme vient de passer. Lorsque vous avez abordé ce type de calcul en Décembre c’était la première fois que vous l’aviez rencontré mais par la suite, on refera ce type de calcul et je vous garantie que d’ici Juin cela devrait être plus facile.

En déduire l’expression de l’intensité dans le circuit.

Maintenant que nous avons uc(t), il est facile d’obtenir i(t) en utilisant la relation (2) :

i = C.duc/dt = C.(-E/?).e-t/?=-E/R.e-t/?

Un petit coup d’analyse dimensionnelle (voir le billet l’analyse dimensionnelle) nous permet de vérifier que nous ne nous sommes pas trompé : l’exponentielle est sans dimension et E/R à la dimension d’une intensité (rappelez-vous U=R.I donc I=U/R).

Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.

Comme nous venons de le voir, ?=RC.

R a pour unité V/A (se rappeler de U=R.I donc R = U/I)
C a pour unité A.s/V (se rappeler de i=C.du/dt)

Donc l’unité de ? est (V/A)×(A.s/V)=s : la contante de temps porte bien son nom, c’est bien un temps.

Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée dans un condensateur.

L’énergie emmagasinée dans un condensateur est le produite de sa charge par la différence de tension à ses bornes, divisé par 2 :

Ec =q.u/2 =C.u²/2

Savoir que la tension aux bornes d’un condensateur n’est jamais discontinue.

Ce principe découle directement de l’expression de l’énergie. En effet, il n’est pas possible que le condensateur se décharge instantanément de l’énergie qu’il a emmagasiné. Par conséquent, la tension à ses bornes est forcément continue.

Savoir exploiter un document expérimental pour :

  • identifier les tensions observées,
  • montrer l’influence de R et de C sur la charge ou la décharge,
  • déterminer une constante de temps lors de la charge et de la décharge.

L’expression uc(t)=E(1-e-t/?) donne (sur ce graphique, E est égal à 1) :

Tandis que i(t)=-E/R.e-t/? donne (même remarque que précédemment E/R=1) :

Pour reconnaître d’un coup d’oeil la bonne courbe, il faut se rappeler qu’initialement (à t=0), les deux grandeurs i et u sont nulles. Sur la première u(t) reste continue tandis que i(t) est discontinue, passant de 0 à E/R.

La mesure de ? est décrite sur le premier graphique.

25 thoughts on “Le dipôle RC : ce qu’il faut en retenir

  1. Merci pour ce cours qui tombe juste au moment où je dois résoudre ces fichues équations différentielles.
    J’aurai un peu moins l’air paumé au prochain cours.
    Bonne continuation pour ce blog qui apporte des choses que l’on ne trouve pas dans les livres de classe.

  2. il fallait expliquer en adoptant une analyse physique et non une analyse mathématique.
    – quand vous dites que l’intensité i = q’.
    – il fallait dire la variation de la charge dq ou cours d’une variation de temps proche de zéro dt représente l’intensité instantanée i: i ( t ) = dq/dt
    avec une méthode pareille les élèves deviennent stérétypé.
    vous parlez de la charge d’un circuit RC?
    en principe c’est le condensateur qui se charge, mais le résistor s’oppse à cette chrge et d’ailleurs le graphe prend cette allure en exponenentiel à cause de la résistance du résistor.
    Même remarque pour pour l’intensité de courant.
    il s’assurer de la notation de to, les élèves n’ont pas d’dée peut être sur le problème de traduction sur le site « to » paraît T, il confonde ça avec la période.
    Merci
    cordialement abdelhafidh Ben Souda

  3. j’ai un doute sur i=dq/dt,je comprends pas comment on peut dériver une valeur sans inconnue…car i,q et t étant trois variables,on aurait alors dq=dt=0??????en plus j’ai beau chercher dans les livres de classe,pas un seul exercice me montre ce alcul effectué

    je suis interrogé demain,j’spère que quelqu’un pourra m’expliquer,même si c’est le premier mail que je laisse sur le forum
    merci

  4. j’ajoute que je vois les dérivées comme on les voit en début d’année de terminale,telles que (ax+b)’=a par exemple,c’est pourquoi je demande comment on pourrait alors dériver q et t alors que ce sont des valeurs simples…

  5. La formule i=dq/dt signifie i(t)=q'(t).
    En effet, dans un tel circuit, les grandeurs physique varie au cours de temps. Ce ne sont donc plus de simples valeurs mais des fonctions du temps : i(t), u(t) et q(t).
    Ainsi q(t) est une fonction du temps qui peut être dérivée et sa dérivée est i(t).
    Prenons un exemple simple : imaginons un condensateur dans un circuit tel que l’intensité qui arrive à ses bornes soit constante.
    Ainsi, i(t)=I0 (une constante). Que vaut q(t) ?
    q(t) est telle que q'(t)=I0
    Comme dans votre exemple où (ax+b)’=a on peut en déduire que q(t)=I0.t+Cte (vous pouvrez vérifier que (I0.t+Cte)’=I0).
    Ainsi, avec un condensateur, les grandeurs physiques deviennent des fonctions du temps. Comprendre cela est l’enjeu de tout le programme de physique-chimie de Terminale S (même en chimie x est devenue un fonction du temps en cinétique)

  6. Merci, ce cours m’a aidé a mieux comprendre quelques points !!
    Si possible, j’aurais voulu une précision : pourquoi dit on que l’intensité dans le circuit RC est discontinue et que la tension est discontinue dans le circuit RL ??
    Merci d’avance !!

  7. fff, merci, parce que y en a bien besoin (bac blanc avec RC cette aprem…) la galère ces équa diff’ !

  8. Pour répondre à Yo : sur les deux derniers graphes de l’article, on voit bien que lorsqu’on applique une tension discontinue à un dipôle RC, l’intensité passe à t=0 de i=0 à une valeur non nulle (donc l’intensité est discontinue) tandis que la charge (donc la tension avec q=c.u) elle reste continue.
    Pour une bobine RL, c’est l’intensité qui reste continue et la tension qui passe d’une valeur nulle à une valeur non nulle.
    Ces points sont expliqués dans cet article et dans : http://lewebpedagogique.com/physique/le-dipole-rl-ce-quil-faut-en-retenir/

  9. Merci !!! c’est troww bien pour les revisions !!
    J’adore !!
    c’est vraiment une aide, afin de confirmer notre savoir !

  10. merci beaucoup pour ce blog, car avec les cours auxquels j’assiste , je n’avais pas du tout compri ce chapitre… ni les autres d’ailleurs… je compte bien reviser avec ce blog (et des manuels, bien sûre!)
    bonne continuation à vous
    (il faut vraiment être un sacré passioné et un sacré altruiste pour consacrer de telles quantités de travail à des éleves…chapeau bas!)

  11. je trouve ce cours un cours parfait . je suis un tunisien et il est identique a le notre . bonne chance

  12. salut, je suis élève de terminale et je tiens à vous remercier surtout pour l’explication de l’équation différentielle, qui est la principale difficulté du chapitre, en tout cas pour ma part…
    Peut être que quelques précisions manquent encore pour une compréhension directe : loi d’additivité des tensions, rappel du cours de maths sur les équas diffs et l’explication exacte de l’expression d’une dérivée par rapport au temps. Sinon c’est parfait! =)

  13. bonjour, je suis technicien radio et je vais savoir quelque chose lors des montages des antennes des radio: on parle des diôples et des recepteurs. Qu’est ce là veut dire?

    Merci

  14. @ eric poaty : J’aurais du mal en quelques lignes de commentaires à expliquer dipôles et récepteur. Disons simplement qu’un dipôle est un composant électrique « à 2 pattes ». Il est caractérisé par la relation entre la tension à ses bornes et l’intensité qui le traverse. Ex. de dipôle : une résistance, un condensateur, une bobine, une pile, une diode, etc.
    Un récepteur est un composant qui reçoit de l’énergie électrique et le transforme en une autre forme d’énergie. C’est l’inverse d’un générateur qui lui génère de l’énergie électrique.

  15. je trouve que ce cours est bien organisé mais just les courbes sont mal representé et mém ice cours manque quelques truc concernant le dipole rc…bon chance pour lé tunisien cette annéé et surtout lé éleves de bac

  16. MERCI , c’est très utile car très détaillé. J’espère que les prochains cours soient aussi complet.

  17. Merci beaucoup !

    En ce qui concerne la chimie, il n’y a pas beaucoup de fiches… seront-elles rajoutées prochainement ?

    Encore merci pour la physique, ça m’aide beaucoup !

  18. J’ai des difficultes pour la comprehension de la tension et de la fem.
    On pourrait me l’expliquer s’il vous plait ?
    Merci d’avance.

  19. Je suis tout nouveau, je voudrai tout juste dire bonjour à tous et à toutes! Il est plus facile de comprendre que de faire comprendre. Il faut savoir poser les questions pour avoir une bonne réponse. Sachons donc poser nos questions et sachons répondre. Merci!

Laisser un commentaire