« Le dipôle RL » : ce qu’il faut en retenir

Les compétences et savoir-faire exigibles correspondant au dipôle RL sont :

Connaître la représentation symbolique d’une bobine.
En utilisant la convention récepteur, savoir orienter le circuit sur un schéma et représenter les différentes flèches-tension.

On remarque tout de suite que ces compétences sont très proches (dans leur formulation tout au moins) de celles exigées pour le dipôle RC.

La représentation symbolique d’une bobine est la suivante :

Dipôle RL

Sur ce schéma on voit que la bobine est symbolisé par une bobine idéale caractérisée par son inductance L et une résistance r.

Pour l’orientation d’un circuit, c’est toujours la même histoire : le courant est compté positif à partir de la borne + du générateur, traverse le circuit et retourne au générateur par la borne -.

Connaître l’expression de la tension aux bornes d’une bobine; connaître la signification de chacun des termes et leur unité. Savoir exploiter la relation.

La différence de tension aux bornes d’une bobine est la somme de 2 termes :

uL=L.di/dt+r.i

Le premier terme caractérise les bobines.Une bobine idéale n’a pas de second terme. Ce dernier correspond simplement au fait qu’une bobine est un fil enroulé sur lui-même qui possède donc une petite résistance.

L est l’inductance de la bobine, exprimée en Henry (H) tandis que r correspond à la résistance de la bobine, exprimée en Ohms (?).

Effectuer la résolution analytique pour l’intensité du courant dans un dipôle RL soumis à un échelon de tension.
En déduire la tension aux bornes de la bobine.
Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.

Partant du montage classique constitué d’un générateur de tension (délivrant U0), d’un interrupteur que l’on ferme à l’instant t=0, d’une résistance et d’une bobine, on peut écrire :

U0=uL+uR
et i(t=0)=0

La suite est très classique et la méthode de calcul est toujours la même :

  1. remplacer les différentes tensions par leur expression en fonction de la variable demandée (ici i) : uR=R.i et uL=L.di/dt+r.i ce qui nous permet d’obtenir l’équation différentielle vérifiée par la variable demandée : U0=L.di/dt+r.i+R.i ? U0=L.di/dt+i.(r+R)
  2. Déterminer les paramètres de la solution mathématique de cette équation. Ici, la solution est de la forme i(t)=A.e-t/?+B. Pour déterminer ? et B, il faut calculer la dérivée de i(t) et remplacer di/dt par sa dérivée et i par son expression. On arrivera ici à B=U0/(r+R) et ?=L/(r+R). Pour les détails du calculs, je vous laisse vous reporter à votre cours (je vais quand même pas faire tout le travail !)
  3. Déterminer les inconnues restantes en utilisant les conditions initiales. Ici i(t=0)=0 ce qui se traduit par A+B=0 d’où A=-B ce qui donne en remplaçant B par l’expression trouvée précédemment : A=-U0/(r+R)
  4. Recoller les morceaux pour écrire la solution : i(t)=A.e-t/?+B s’exprime i(t)=U0/(r+R).(1-e-t/?) où ?=L/(r+R)

Ayant l’expression de i(t), il suffit de se rappeler que uL=L.di/dt+r.i pour calculer uL, ce qui donne après simplification : uL(t)=U0/(r+R).(Re-t/?+r)

Au passage, nous avons obtene l’expression de la constante de temps : L/(R+r) c’est à dire la valeur de l’inductance divisée par la somme de toutes les résistances du circuit. Comme d’habitude, il faut être capable de vérifié que cette expression est « dimensionnellement » juste :

L.di/dt est homogène à une tension donc [L]=Volt.Temps/Ampère tandis que U=R.i implique que [R]=Volt/Ampère. Ceci permet d’affirmer que [L/(R+r)]=Temps.

Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée.
Savoir qu’une bobine s’oppose aux variations du courant du circuit où elle se trouve et que l’intensité de ce courant ne subit pas de discontinuité.

Lorsqu’une bobine est traversée par un courant électrique, elle emmagasine de l’énergie sous forme magnétique. L’énergie emmagasinée a pour expression :

Em=1/2.Li²

Par conséquent, pour assurer la continuité des transferts d’énergie, il est impossible d’avoir de brusque variation de courant au sein d’une bobine.

Cela est en accord avec les résultats de l’analyse dimensionnelle. En effet, nous avons obtenu : i(t)=U0/(r+R).(1-e-t/?) et uL(t)=U0/(r+R).(Re-t/?+r). Lorsque t est égal à 0, cela donne i=0 et uL=U0. Ce qui signifie que lorsqu’on ferme l’interrupteur, la bobine assure la continuité de i en « prenant » toute la tension fournie par le générateur. Ainsi, la résistance ne porte aucune tension (uR=0 car i=0).

Pour un temps infini, i tend vers U0/(r+R)=I0 qui est la valeur de l’intensité qui traverse 2 résistances r et R soumise à U0 tandis que la bobine porte une tension uL(t)=r.U0/(r+R)=r.I0 : la bobine se comporte comme une simple résistance r.

Savoir exploiter un document expérimental pour:
– identifier les tensions observées
– montrer l’influence de R et de L lors de l’établissement et de la disparition du courant
– déterminer une constante de temps.

Encore une fois on retrouve les grands classique du programme : dans le cas de l’établissement du courant dans le dpôle RL, l’intensité qui traverse la bobine étant continue, on identifie facilement la tension aux bornes de la résistance (c’est celle qui est nulle et continue en t=0) tandis que la tension aux bornes de la bobine est discontinue (elle est nulle pour t<0 et égale à U0 pour t>0).

La mesure de la constante de temps se fait toujours de la même façon :

  • soit à l’aide de la tangente à l’origine,
  • soit en déterminant le temps tel que i(?)=I0.(1-e-1)=0,63.I0 c’est à dire i égal à 63 % de sa valeur finale.

Compte tenu de l’expression de ?, une forte résistance diminue le temps d’établissement du régime permanent tandis qu’une forte inductance l’augmente.

Les bacs blancs approchant, j’essaierai de poster rapidement ce qu’il faut retenir du chapitre RLC.

4 thoughts on “« Le dipôle RL » : ce qu’il faut en retenir

  1. J’aimerai qu’il y ait les courbes d’évolution d el’intensité et de tension pour la charge et la décharge et se serait vraiment complet. Merci

Laisser un commentaire