Mouvement parabolique : ce qu’il faut retenir

Pour réussir son épreuve de bac en physique, il faut connaître sur le bout des doigts les connaissances exigibles du programme. En Mécanique, dans le chapitre « mouvements paraboliques », voici ce qu’il tout ce qu’il faut savoir pour réussir :

Remarque : Dans cet article, les vecteurs sont représenté en gras : g est le vecteur gravitation tandis que g est la valeur de la gravitation. On peut écrire : g=9,8 N/kg mais on écrira g=-g.k

Appliquer la deuxième loi de Newton à un projectile dans un champ de pesanteur uniforme.

On considère un projectile lancé à l’instant t=0 avec une vitesse V0 qui forme un angle alpha avec l’horizontale. On se muni d’un repère qui va bien (voir le schéma). Dans la mesure où l’on néglige les frottements, ce projectile dans un champ de pesanteur uniforme n’est soumis qu’à son poids P=mg. Ainsi, lorsqu’on appliquera la 2nde loi de Newton dans le référentiel considéré, on trouvera : mg=ma ? a=g.

Ceci se traduit par d²x/dt²=0, d²y/dt²=0 et d²z/dt²=-g.

qui s’intègre en : dx/dt=A, dy/dt=B, dz/dt=-g.t+C où A, B et C sont des constantes d’intégration.

Pour trouver ces constantes d’intégration, on utilise les conditions initiales pour la vitesse puisque vx=dx/dt, vy=dy/dt et vz=dz/dt.

Ainsi, à t=0, dx/dt=A, dy/dt=B et dz/dt=C. Or, vx0=V0.cos?, vy0=0 et vz0=V0.sin? d’où :

A=V0.cos?, B=0 et C=V0.sin?

et on peut donc écrire : dx/dt=V0.cos?, dy/dt=0, dz/dt=-g.t+V0.sin?

Pour conclure, il ne reste plus qu’à intégrer tout ça encore une fois : x=V0.cos?.t+D, y=E, z=-g.t²/2+V0.sin?.t+F où D, E et F sont de constantes d’intégration.

Une nouvelle fois, pour trouver la valeur de ces constantes d’intégration, il faudra aller voir du côté des conditions initiales. Mais cette fois-ci ce n’est pas la vitesse initiale qui nous intéresse mais la position initiale. Comme on a centré le repère sur la position initiale, x0=y0=z0=0, d’où D=E=F=0.

Ainsi, on trouve au final que : x(t)=V0.cos?.t, y(t)=0, z(t)=-g.t²/2+V0.sin?.t

Ces trois équations sont les équations horaires du mouvement. Bien sûr, selon l’énoncé elles peuvent être légèrement différente. Par exemple, si le projectile n’est pas lancé à partir du sol, mais d’une hauteur h, on on trouvera pour z : z(t)=-g.t²/2+V0.sin?.t+h

Montrer que le mouvement est plan.

Ceci est clair dans les équations horaires du mouvement où l’on a trouvé que y(t)=0. Ainsi, il ne se passe rien selon y, le projectile reste dans le plan d’equation y=0, c’est à dire Oxz.

On aurait pu le dire un peu plus tôt, lorsqu’on a trouvé que dy/dt=0 : la vitesse selon y est toujours nulle, le mouvement reste dans le plan Oxz.

Établir l’équation de la trajectoire à partir des équations horaires paramétriques.

Un grand classique. Il faut passer de ce jeu d’équation : x(t)=V0.cos?.t, y(t)=0, z(t)=-g.t²/2+V0.sin?.t à une équation reliant x et z (on vient de démontrer que tout se passe dans le plan Oxz).

Pour cela, rien de plus simple, il faut éliminer le temps : x=V0.cos?.t implique que t=x/(V0.cos?) puis il faut injecter cette expression du temps dans z=-g.t²/2+V0.sin?.t ce qui donne : z=-g/(2.V²0.cos²?).x²+tan?.x

Les connaissances exigibles ne disent pas qu’il faut être capable d’aller plus loin puisque le reste relève des mathématiques, pas de la physique. Cependant, il est bon de savoir exploiter ces relations.

Par exemple, comment savoir où le projectile va retomber ? C’est à dire quelle est la portée ? Il faut écrire z=0. On trouve 2 solutions : x=0 et x=2.V²0.cos?.sin?/g. Ainsi, le projectile part de x=0 et atterit à x=2.V²0.cos?.sin?/g plus loin.

Comment savoir jusqu’où le projectile peut monter ?C’est à dire quelle est la flèche ? On peut cherche le moment où la vitesse vz s’annule : -g.t+V0.sin?=0 ? t=V0.sin?/g. Ensuite, on regarde quelle est l’altitude du projectile à ce moment : z=-g.t²/2+V0.sin?.t avec t=V0.sin?/g ce qui donne après simplification : z=V²0.sin²?/(2.g).

Savoir exploiter un document experimental reproduisant la trajectoire d’un projectile : tracer des vecteurs vitesse et accélération, déterminer les caractéristiques du vecteur accélération, trouver les conditions initiales.

Voici le genre de choses qu’il faut savoir faire :

La vitesse est tangente à la courbe. Le vecteur accélération se trace par différence entre 2 vecteurs vitesse (voir la mécanique de Newton, ce qu’il faut en retenir). Puisque le projectile n’est soumis qu’à son poids, on doit trouver celle-ci verticale, dirigée vers le bas.

Pour s’entraîner on pourra faire un sujet de bac de la catégorie « projectiles » trouvé sur la page mécanique de labolycee.org.