Les solides de Platon

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Qu’est-ce qu’un solide de Platon?!

Un solide de Platon est un polyèdre régulier : c’est-à-dire un polyèdre inscriptible dans une sphère et dont toutes les faces sont des polygones réguliers isométriques. Chaque côté est appelé arête. Chaque arête est commune à deux faces.

Les extrémités des arêtes sont les sommets du polyèdre. Chaque sommet est commun à trois arêtes ou plus.

Il existe cinq solides de Platon et cinq seulement : Le tétraède, Le cube, L’octaèdre, Le dodécaèdre, L’icosaèdre.

Le nom de chaque solide est dérivé du nombre de ses faces. C’est à dire 4 pour le tétraèdre, 6 pour le cube, 8 pour l’octaèdre, 12 pour le dodécaèdre et 20 pour l’icosaèdre.

Un peu d’histoire …

 

Les Solides de Platon ont été connus durant l’Antiquité (même si ils existaient depuis bien longtemps). Ce sont les peuples néolithiques d’Écosse qui ont construit les premiers modèles en pierre de ces cinq solides au moins 1000 ans avant Platon. Ces solides ont été importants dans la philosophie de Platon (à partir duquel ils ont été nommés ainsi). Platon a associé chacun des quatre éléments classiques (la terre, l’air, l’eau et le feu) à un solide régulier (env..360 avant J.C) : la terre était associée au cube, l’air à l’octaèdre, l’eau à l’icosaèdre et le feu au tétraèdre. Par la suite, c’est Euclide qui étudia ces solides, et a donc donné une description mathématique complète.

Plus précisément…Les cinq solides de Platon

Le Cube : ( symbole de la terre ). C’est un polyèdre qui a 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes.

Le cube

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Le tétraède : ( symbole du feu ). C’est un polyèdre à 4 faces (des triangles équilatéraux), 4 sommets et 6 arêtes.
 

Le tétraèdre

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L’octaèdre : ( symbole de l’air ).  Il possède 8 faces triangulaires (des triangles équilatéraux), 6 sommets et 12 arêtes.

 L'octaèdre

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le dodécaèdre : ( symbole de l’univers ). Il possède 12 faces pentagonales, 20 sommets et 30 arêtes.

Le dodécaèdre

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L’icosaèdre : (Symbole de L’eau). Il possède 20 faces triangulaires (triangles équilatéraux), 12 sommets et 30 arêtes.

L'icosaèdre 

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Les polyèdres associés aux solides de Platon

le Cuboctaèdre : C’est un polyèdre qui possède 14 faces : 8 triangles et 6 carrés , 12 sommets et 24 arêtes. Cliquez ici pour l’animation

Le tétraèdre tronqué : C’est un polyèdre qui a 8 faces : 4 triangles et 4 Hexagones, 12 sommets et 18 arêtes. Une animation

Le Cube Tronqué : C’est un polyèdre qui a 14 faces : 8 triangles et 6 octogones , 24 sommets et 36 arêtes.

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L’Octaèdre Tronqué : C’est un polyèdre qui a 14 faces : 8 hexagones et 6 carrés , 24 sommets et 36 arêtes. Une animation

Le Dodècaèdre Tronqué : C’est un polyèdre de 32 faces : 20 triangles et 12 décagones , 60 sommets et 90 arêtes. Une animation

L’Icosaèdre Tronqué ou ballon de football : C’est un polyèdre de 32 faces : 12 pentagones et 20 hexagones , 60 sommets et 90 arêtes. Une animation

 

La formule d’Euler

 Pour chaque solide de Platon, le nombre total de sommets (S), le nombre des arêtes (A) et le nombre des faces (F) vérifient la formule d’Euler :

F + S – A = 2

Viirgiiniie && Insaaf

 

Le nombre d’or

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Par Thomas et Yann.

Histoire du nombre d’or :

 

Le nombre d’or a une vieille histoire…

 

De tout temps les artistes ont été en quête d’harmonie, de beauté au sein de leurs oeuvres. Depuis l’Antiquité, les géomètres et les philosophes ont cru à l’existence d’une proportion privilégiée permettant d’obtenir harmonie et beauté ; les artistes de la Renaissance l’appelèrent la proportion divine, ou la section dorée, et qui se transforma par la suite en Nombre d’or.

Ce nombre est désigné par la lettre grecque ? (Phi) en référence au sculpteur grec Phidias (500 av JC) qui l’utilisa pour travailler sur la statue d’Athéna décorant le Parthénon à Athènes.

Euclide, déjà (300 avant J.C.) parlait de «section en moyen et extrême raison». Il n’était pas vraiment question de nombre, mais de rapport de longueurs ; c’est ainsi d’ailleurs que les nombres étaient considérés par les géomètres grecs.

De quoi s’agit-il ?

On a un segment [AB]. On place sur ce segment un point C de façon que: AB/AC = AC/CB. Si on prend CB = 1 et si on pose AC =x, on est amené à résoudre une équation : x² = x + 1.

Le nombre d’or est la solution positive de cette équation :

il est égal à (1 + ?5) / 2.

Section dorée

 

? = (1 + ?5)/2 ; ce qui est égal à (environ) 1,618033988749894848204586834365…

Comme ? et ?2, ? est un nombre irrationnel !

Propiétés du nombre d’or :

?

?² = ? + 1

?3 = ?². ? = (? + 1).? = ?² + ? = ? + 1 + ? = 2? + 1

?4 = ?3.? = (2? + 1).? = 2?² +? = 2? + 2 + ? = 3? + 2

 

Le pentagone régulier :

Dans le pentagone régulier, le point P divise [AQ) et [AB] dans le rapport du nombre d’or.

Le pentagone

 

Rectangle d’or:

On apelle rectangle d’or un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d’or.

Envisageons le carré ABCD.

K est le milieu de [AD].

Rabattre le point C sur (AB) en E au moyen d’un cercle de centre K et de rayon KC.

Construire le rectangle de côtés BF et AE.

Le rectangle d'or

Dans le rectangle ABFE, le rapport AE/AB est égal au nombre d’or.

Cliquer ici pour voir une animation.

Si de ce rectangle, nous supprimons le carré ABCD, le rectangle restant est à nouveau un rectangle d’or, puisque le rapport longueur/largueur est égal à ?.

La suite de Fibonacci :

Leonardo Pisano ( Leonard de Pise), aussi connu sous le nom de Leonardo Fibonacci, était un mathématicien italien du 12ème siècle.

Né à Pise, son éducation s’est faite en grande partie en Afrique du Nord, en effet, c’est au Maroc qu’il a commencé ses études en mathématiques, et c’est à lui que l’on doit la « Suite de Fibonacci ».

La suite de Fibonnaci est une suite de nombres entiers, voici le début de cette suite : 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … Jusqu’à l’infini.

Un nombre de cette suite est la somme de ses 2 précédents (N3=N1+N2), et voici maintenant pourquoi la suite de Fibonacci et le nombre d’or sont étroitement liés :

En divisant un des nombre de cette suite par celui qui les précède, on obtient un nombre, et plus le nombre qui est divisé par son prédécesseur est grand, plus le résulat de cette fraction s’approchera du nombre d’or (1,618…..).

Exemples : 3/2 = 1,5

13/8 = 1,625

34/21 = 1,61904…On se rapproche donc du nombre d’or, sans pourtant jamais pouvoir l’atteindre complètement (? est irrationnel).

Pour les curieux :

La figure rouge est un carré de côté 8. On a découpé le carré en quatre parties et avec ces quatres figures on a construit le rectangle vert. Les dimensions de ce rectangle sont 5 sur 13.

Le paradoxe de Lewis Carroll

Quelle est l’aire du carré et quelle est l’aire du rectangle ? Et alors ?

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Le nombre racine carrée de 2

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Par Marine, Marine (!) et Charlène, 2e 6, Lycée des Arènes, Toulouse.

Racine carrée de 2

 

?2 qu’est-ce que c’est ?

?2 se lit « racine carrée de 2 ».

?2 est un nombre qui est approximativement égal à 1,414213562.

On peut définir le nombre ?2 de plusieurs manières.

Par exemple, ?2 est le nombre positif qui, multiplié par lui-même donne 2 : (?2)² = 2.

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Le nombre « Pi »

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Par Bastien et Victor, 2e 6, Lycée des Arènes, Toulouse.

? Depuis la nuit des temps, les Hommes savent qu’il existe un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre quelque soit la taille du cercle. Ce nombre, voisin de « 3 » est le trés célèbre nombre Pi.

Dans cet article, nous allons travailler sur ce nombre qui a étonné tellement de mathématiciens.

Historique de ?

Le nombre pi est apparu en -2000 avant JC dans la ville de Babylone avec la célèbre tablette babylonienne découverte en 1936 . Les Babyloniens ont trouvés une valeur approchée de Pi avec un hexagone . Ils savaient que le périmètre d’un hexagone est égale au triple de son diamètre . D’autre part, ils estimaient le rapport entre un cercle de rayon 1 et celui de l’hexagone inscrit à 57 / 60 + 36 / 3600 . Donc Pi est environ égal à 3+1/8 .

On retrouve ? chez les Egyptiens avec le papyrus de Rhind (-1650 avant JC) qui est plus précis .

Ensuite, Pi apparaît :

  • En Chine vers 1200 av.JC, avec pour valeur 3.
  • Dans la Bible vers 550 av.JC, avec pour valeur 3.
  • En Grèce , avec en particulier Archimède en 250 av.JC qui donne l’encadrement 223/71 < pi < 22/7 et Ptolémée en 150 qui utilise 3 +8/60 + 30/3600 = 3,1416666.
  • En Europe : l’Italien Fibonacci, en 1220, trouve la valeur 3,141818, au Pays-Bas avec Van Ceulen (20 décimales en 1596 puis 34 décimales en 1609 !), en France avec Viète (9 décimales en 1593).

Pi est un nombre

/La méthode d’Archimède ( 287-212 av J-C ) :

Archimède était un grand mathématicien grec qui a permis des découvertes trés importantes.

Il traça un cercle et dans cette figure, dessina un carré inscrit ainsi qu’un carré circonscrit puis voyant que le périmètre du cercle était compris entre les périmètres des deux carrés, il chercha une mesure plus précise avec des figures se raprochant le plus du périmètre du cercle comme le montre cette animation.

Aprés avoir tracé un polygone de 96 côtés, il divisa le périmètre de cette figure par le diamètre et trouva une valeur extrêmement proche de Pi.

/ Pi est un nombre irrationnel car on ne peut pas l’écrire sous forme de fraction de nombres entiers et c’est même un nombre transcendant.

/Un autre problème célèbre avec le nombre Pi est celui de la quadrature du cercle : il s’agit de construire un carré de même aire qu’un cercle en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas. Ce problème est sans solution: on le sait depuis le XIX ème siècle. Le Papyrus de Rhind fait référence à ce problème et en propose une solution ( fausse) : l’aire d’un carré de côté 8 est approximativement égale à l’aire d’un disque de diamètre 9. Cela donne comme valeur de Pi : (16/9)²

Quelques curiosités avec Pi

Un Japonais peut citer 40000 décimales de Pi par coeur, et cela lui prend 9 heures.

Voici quelques coïncidences avec Pi.

Un poème mémotechnique pour se rapeller des décimales de Pi :

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste, ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l’espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l’orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle

Le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, sauf pour le chiffre « 0 » dont le codage correspond à un mot de 10 lettres.

  • Aujourd’hui, on connait plus de 200 millions de décimales de Pi mais pas par coeur.
  • Le nombre zéro est le dernier chiffre à apparaître à la 32° place.
  • A partir de la 762 décimale, il y a six 9 d’affilés.

Cliquer ici pour voir les cent milles premières décimales de Pi

Bibliographie et sites internet:

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