Archive for the ‘pédagogie’ Category

Nouveautés Fourier

mardi, janvier 29th, 2019

Nouveautés Fourier 2019

 

La tendance se confirme, Fourier, s’il ne fait pas la une de la presse People, est tout de même l’objet de nombreux articles dans des publications sérieuses.

Au chapitre des publications traditionnelles :

Le 154e volume de la SSHNY est paru.

En ce début d’année 2019, la Société de Sciences Historiques et Naturelles de l’Yonne publie le 154e volume de son Bulletin qui porte sur l’année 2016. Avec en couverture le portrait de Gautherot du Musée d’Auxerre, il s’ouvre [p.15 à 36] sur le compte rendu d’une conférence de Jean Dhombres (Centre Koyré, EHESS, Paris), sur « Ce que Fourier doit à Auxerre ».

 

 

Sur le Net, les sites qui évoquent Fourier continuent à s’étoffer :

A Le Mathouriste : depuis notre dernier passage sur son site, le Mathouriste est allé en Egypte chercher des illustrations, vérifier ses sources et suivre au plus près l’actualité d’hier et d’aujourd’hui concernant les trois années que Fourier y a passées. Voir Fourier l’Egyptien, l’éclatante réussite scientifique d’un fiasco militaire . Sur ce chapitre, il faudra du temps avant d’avoir mieux à proposer tant en matière de précision et de clarté des textes que de richesse de l’illustration.

Le Mathouriste a visité l’Institut du Caire.

 

B Le site piloté par INRIA, Interstices offre un dossier Fourier de plus en plus étoffé, qu’on en juge par les huit articles disponibles ce jour :

L’héritage de Fourier 250 ans après, par Christian Jutten [Une introduction au dossier.]

De Fourier à la reconnaissance musicale, par Gaël Richard, Sébastien Fenet, Yves Grenier [aujourd’hui –29/01/2018- cet article est inaccessible]

Lire la partition de la nature grâce au programme de Fourier, par Tadeusz Sliwa [Introduction à la vision philosophique de la science selon Fourier.]

La décomposition en série de Fourier, par Romain Joly [Des illustrations pour comprendre les séries de Fourier.]

Au-delà de Fourier, un monde qui vibre, par Patrick Flandrin [Des illustrations pour comprendre l’analyse temps-fréquence.]

Le traitement du signal, au cœur de la science et de notre vie quotidienne, par Patrick Flandrin [Le point actualisé sur signal et bruit.]

Qu’est-ce que Fourier peut nous dire aujourd’hui, Par Jean-Pierre Kahane (†) [Un article de 2014 par le regretté Jean-Pierre Kahane qui ne fut pas pour rien dans la reconnaissance qui est faite à Joseph Fourier aujourd’hui.]

Démixer la musique, par Antoine Liutkus & Emmanuel Vincent [Comment isoler le jeu d’un seul instrument de l’oechestre ? ]

‘Interstices’ un site piloté par l’INRIA

Fourier et le dessin s’anime

lundi, février 19th, 2018

Fourier… et le dessin s’anime.

 

Quand l’administrateur de ce site lit une phrase comme celle-ci sur un blog :

« Quand on voit cette animation [figure de gauche], on est en droit de ce demander par quelle sorcellerie une telle prouesse est possible ? Pour le savoir, il va falloir fouiller du côté des épicycloïdes et de la théorie de Fourier»

…il ne peut que se précipiter. Voici l’adresse, je vous laisse découvrir : ici .

http://eljjdx.canalblog.com/archives/2018/02/15/36145181.html

Merci à « El Jj » pour ce petit bijou.

L’étude des formes des trajectoires avec des épicycloïdes est un ancien problème d’astronomie. Aujourd’hui, l’étude des formes de courbes à partir de « descripteurs de fourier », qui possèdent des propriétés dites d’invariance, très prisées, ce notamment à des fins de reconnaissance automatique, est un domaine de recherche vivant voir des exemples ici.

 

 

 

Il est où Fourier

samedi, février 17th, 2018

Il est où Fourier ?

Cinq situations :

  1. La découverte d’une œuvre originale (huile sur toile, acrylique…). (Les musées offrent un large choix.)
  2. L’audition d’un concert symphonique.
  3. La conversation téléphonique au cours de laquelle votre fille vous a annoncé qu’elle voulait vous présenter un garçon que vous ne connaissiez pas, mais avec lequel elle avait l’intention de faire sa vie.
  4. Le roman qui vous a captivé et que vous avez lu tout au long d’une nuit.
  5. L’instant où vous êtes entré dans le scanner, alors que votre médecin était persuadé que vos symptômes étaient ceux d’un cancer.

Rien de commun entre ces situations si ce n’est qu’elles correspondent à autant de moments d’intense émotion. Comme notre propos n’est pas d’étudier vos émotions, je vous laisse imaginer des situations équivalentes où vous ne mettrez aucun affect.

Un lien

Chacune de ces situations est susceptible de faire intervenir une numérisation, c’est à dire, d’être associée à une succession de 0 et de 1 rassemblés en un fichier, que le premier ordinateur venu saura décrypter pour vous en restituer le contenu sur écran. L’image ci-dessous est une bonne représentation d’un tel fichier (‘carré noir’=0 ; ‘carré blanc’ =1).

L’explication du lien entre ces cinq situations et Fourier est à rechercher dans le Grand Dictionnaire Universel de Pierre Larousse (vers 1875) à l’article Fourier : « L’analyse mathématique doit à Fourier la découverte de la formule connue sous le nom de série de Fourier, qui permet de développer toute fonction quelconque analytique ou concrète, continue ou discontinue, variable suivant des lois quelconques dans certains intervalles, constante dans d’autres, etc., en une suite infinie de termes formés des sommes des sinus et des cosinus des multiples de la variable, affectés de coefficients convenables. »

Fourier n’avait aucune idée de ce que seraient les codes-barres 2D, Flash Codes, QR-codes ou autres Beetagg… mais, comme Larousse nous l’indique, l’outil qu’il a inventé pour étudier la transmission de la chaleur allait trouver dans l’étude des fonctions un terrain d’application illimité… or, un code-barres 2D est une fonction.

Paradoxe :

Le tableau, sa photo, s’imposent instantanément au regard ; l’audition d’une symphonie s’étale dans le temps. Tous deux sont susceptibles d’être numérisés de la même manière. Le flash-code, représentation d’une transformation de Fourier, peut être perçu instantanément comme le tableau, mais il peut aussi rendre compte d’événements qui s’échelonnent dans la durée : le coup de cymbale de la 137e mesure de la symphonie m’est proposé immédiatement dans le spectre de la Transformation de Fourier de cet enregistrement. Sans être chronologique, stricto sensu, une transformation de Fourier peut rendre compte d’événements qui se succèdent chronologiquement.

En guise de conclusion

Je ne m’offusque pas qu’on mette en doute mes qualités de dessinateur, j’invite donc chacun à découvrir l’œuvre originale de René Magritte : crée en 1929, elle est exposée au Musée d’art du comté de Los Angeles, il suffit de faire le voyage.

Le lien entre cette représentation et la véritable pipe qui a servi de modèle est le même qu’entre la Transformation de Fourier et la situation dont elle rend compte. Un siècle plus tard, les réflexions de Magritte sur la Trahison des Images restent d’actualité, tout comme la Transformation de Fourier, inventée il y a deux cents ans par Fourier. Lequel Fourier aurait eu 250 ans en 2018.

 

Notons encore que la Transformée de Fourier 2D est parfois utilisée en reconnaissance de patterns / motifs / textures.

 

Fourier des cordes aux ondelettes

samedi, août 5th, 2017

Fourier : des Cordes aux Ondelettes

Fourier :

des Cordes aux Ondelettes

Des cordes aux ondelettes. L’analyse en temps et en fréquence avant et après Fourier. Un inverseur de l’équation de la chaleur de Fourier : le calorimètre à conduction

Bernard Escudié (†), Claude Gazanhes, Henri Tachoire, Vincenç Torra. Préface de Bernard Picinbono. Publications de l’université de Provence, 2002, 482 pages

 

Il y a eu le travail de défrichement de Jean-Pierre Kahane, les récompenses obtenues par Daubechies puis par Meyer ; progressivement, l’analyse harmonique a élargi son influence. Son impact est aussi assourdissant auprès des spécialistes, qu’il est inaudible au grand public.

            Nous avons déjà déploré ici le déficit pédagogique qui confine toute explication des théories de Fourier à un auditoire hyper spécialisé, fin connaisseurs des équations différentielles.

            L’ouvrage peut aider à sortir de ce confinement et donner à entendre l’intérêt et l’étendue des domaines d’application de l’analyse harmonique. On doit se faire une raison, sans bases mathématiques solides, il n’est pas question d’envisager la compréhension de l’analyse harmonique, ici, cependant, la large place faite à la description des méthodes, à l’évolution historique des objets d’étude, les illustrations permettent de toucher du doigt l’importance de cette branche d’étude ; pour le chercheur c’est l’occasion de prendre du recul et de replacer ses recherches dans un cadre plus large.

     L’œuvre de Joseph Fourier constitue une pierre angulaire. Elle joue un rôle pivot par la rupture qu’introduit dans la Théorie de la chaleur une méthode fructueuse qui ouvre la voie aux recherches tant théoriques que pratiques qui vont féconder la science des XIXe, XXe et maintenant XXIe siècles. Par elle, le concept de fréquence, qui trouve son origine au temps de Pythagore, atteint sa maturité ; elle ouvre la voie au traitement du signal, à l’analyse en temps et en fréquence, à la construction d’analyseurs et de synthétiseurs de la parole et de la musique. Les grands progrès théoriques sont illustrés essentiellement par des problèmes d’acoustique. Une large place est faite aux des moyens pratiques qui, avant l’apparition des ordinateurs, ont permis de déterminer les coefficients de la décomposition de Fourier. Chaque système amène son lot d’applications techniques : l’analyseur et le prédicteur de marées de lord Kelvin (1878), l’analyseur de Koenig permettant la visualisation du signal de parole (1867), les systèmes de repérage de sources sonores par l’acoustique (début XXe siècle) entre autres. Du début du XXe siècle aux années 1960, ce champ de recherches profite de l’évolution générale des techniques développées pour les calculateurs analogiques ou numériques.

      Un des mérites des auteurs est de trouver un bon équilibre entre explications techniques et illustrations pratiques qui permettent à l’honnête homme de notre époque de suivre le fil du discours et d’apprécier les vertus pédagogiques de l’exposé.

     Il est appréciable de trouver les éléments biographiques et contributions de scientifiques, d’une kyrielle de chercheurs moins illustres que Fourier ou Kelvin : Blondel (1863-1938), Tian (1880-1972) ou encore Calvet (1895-1966), souvent négligés.

     L’ouvrage montre comment l’évolution du traitement du signal a lancé un grand nombre d’applications et de nouveaux instruments repris dans diverses disciplines, et comment l’analyse spectrale s’est nourrie de concepts émanant de branches de savoir a priori éloignées.

 

Merci à Loïc Petitgirard, La revue pour l’histoire du CNRS, 2003, mis en ligne le 7 mars 2006, consulté le 5 août 2017.

 

Une introduction aux travaux de Fourier (2)

mardi, novembre 24th, 2015

Une introduction aux travaux de Fourier (2)

     Le Mathouriste fidèle aux engagements qu’il a pris, et que nous avions annoncés ici, sur ce même site, après « Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique? … Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.1) ». nous livre aujourd’hui la suite : Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique?… Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.2) 

     Le propos mathématique y est plus dense que dans les précédente publications, mais ceux qui se sentiront débordés par les mathématiques, incapables de suivre les calculs issus de la pensée des mathématiciens Fourier, Bessel et consorts [1]… auront la possibilité de se raccrocher aux illustrations sonores et visuelles : on peut très bien apprécier un concert sans savoir lire la partition d’orchestre.

[1] Au terme de l’étude, le lecteur découvrira la nouveauté, l’envergure et la profondeur de la synthèse que Fourier propose mais il n’en reste pas moins qu’à son époque même plusieurs mathématiciens étaient tout a fait capables de l’entendre, mais aucun n’eut la fraîcheur d’esprit de Fourier. Ainsi, Laplace, que Fourier rencontra en tête à tête pour le convaincre du bien-fondé des méthodes qu’il utilisait : Laplace, obnubilé par les conditions de stabilité du mouvement des planètes qui les posaient des problèmes ardus, ne put se résoudre à valider les travaux de son jeune et bouillant confrère.

Lionel Hampton, dans son costume spécialement réalisé pour célébrer le bicentenaire de la Révolution Française... un an après! Nice, jardins de Cimiez, 12 Juillet 1990, 22h

Lionel Hampton, dans son costume spécialement réalisé pour célébrer le bicentenaire de la Révolution Française… un an après!
Nice, jardins de Cimiez, 12 Juillet 1990, 22h

Pour mémoire, rappelons le plan d’étude que nous propose le Matouriste pour découvrir les travaux de Fourier :

Introduction :

  1. a) « Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique?… Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.1) ».
  2. b) « Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique?… Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.2) »

Travaux de Fourier :

  1. a) Naissance des Séries de Fourier (Promenade dans la Théorie Analytique, #1)
  2. b) l’Armille, la Sphère, le Cylindre et les Autres…(Promenade dans la Théorie Analytique, #2)
  3. c) Naissance de la Transformée de Fourier (Promenade dans la Théorie Analytique, #3) [23/11/2015] : publication à venir

Au détour de ces pages, le lecteur découvrira, un parallèle entre l’écriture de formules par Fourier et les même formules écrites avec la symbolique d’aujourd’hui. Lorsque Fourier ouvre la voie, il doit expliciter beaucoup ; ses successeurs, empruntent des voies balisées, la formule semble plus claire, malheureusement, le concept sous-jacent reste le même. Ceci explique une partie des aversions aux mathématiques que l’on rencontre : une écriture simplifiée masque parfois un long chemin d’appropriation des concepts.

écriture Fourier

 

 

Une Introduction aux travaux de Fourier

dimanche, novembre 8th, 2015

Une introduction aux travaux de Fourier

   L’actualité des publications concernant Joseph Fourier est aujourd’hui à rechercher sur le blog du Mathouriste qu’anime Alain Juhel et où il publie « Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique? … Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.1) ».

Nice, Jardins de Cimiez 10 Juillet 1990, 23h

Nice, Jardins de Cimiez
10 Juillet 1990, 23h

     Le Mathouriste propose cette page en préliminaire à sa promenade dans la Théorie Analytique de la Chaleur. Sa lecture n’est pas indispensable pour lire les suivantes, mais elle peut aider à mieux appréhender le travail de Fourier

  • en précisant certains éléments historiques qui entourent cette découverte;
  • en se plaçant dans un contexte a priori plus naturel et plus accessible parce que plus familier: celui des ondes sonores et des instruments de musique.

     L’approche des travaux de Fourier par la musique permet une illustration avec un minimum d’équations ; les non-mathématiciens seront certainement très sensibles à cette attention. Ce préliminaire vise à introduire des publications antérieurement publiées. Si on rétablit la chronologie de lecture, on obtient donc :

Introduction :

a)« Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique?… Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.1) ».

b) [08/11/2015] : suite de la publication à venir

Travaux de Fourier :

a) Naissance des Séries de Fourier (Promenade dans la Théorie Analytique, #1)

b) l’Armille, la Sphère, le Cylindre et les Autres…(Promenade dans la Théorie Analytique, #2)

c) Naissance de la Transformée de Fourier (Promenade dans la Théorie Analytique, #3) [08/11/2015] : publication à venir.

l’Armille de Fourier

mercredi, octobre 14th, 2015

l’Armille de Fourier,

annonce de la 2e partie offerte par le Mathouriste

         Dans un précédent billet, nous nous sommes  fait écho de l’effort pédagogique du Mathouriste. Les lecteurs qui ont apprécié la première partie de la promenade Fouriériste que nous offre le Mathouriste vont être satisfaits et pouvoir continuer leurs pérégrinations en prenant connaissance de la deuxième partie de la promenade qui est maintenant disponible en ligne. Ils observeront comment la pensée de Joseph Fourier chemine et décrit la propagation de la chaleur dans des corps de formes diverses. Le lecteur qui n’a pas la formation mathématiques suffisante pour comprendre intimement les formules qui sont exposées pourra, grâce à l’éclairage de commentaires bienvenus, comprendre le travail nécessaire pour mettre en forme les calculs après l’intuition de départ.

Deux autres promenades sont annoncées :

un prologue (ondes et harmonie),

suivi ultérieurement de la présentation de la transformée de Fourier.

Nous les attendons en nous réjouissant par avance.

 

Naissance des séries de Fourier

lundi, septembre 28th, 2015

la Naissance des séries de Fourier

Présentation d’une page publiée sur le site du Mathouriste

            Il m’a toujours semblé navrant que les sujets scientifiques soient si peu et si mal traités dans une presse qui consacre par ailleurs tant de d’énergie à développer des sujets futiles. Mais, journaliste ou lecteur, qui serait en mesure de suivre la pensée d’un prix Nobel scientifique ?

            Les travaux de Fourier datent du début du XIXe siècle, nombre de savants tant mathématiciens que physiciens les ont lus, relus, analysés et ces travaux sont maintenant enseignés dans toutes les facultés. Fort de ce recul, il est possible de revenir sur la genèse de l’entreprise et de l’exposer pour le profit du plus grand nombre. Le Mathouriste auquel nous avons déjà renvoyé le lecteur sur ce même site lorsque nous avons traité de la vie de Fourier est revenu sur le Traité de la chaleur.

      C’est une lecture roborative que nous ici offre Alain Juhel. Le Mathouriste ne se cantonne pas à des propos touriste. Il nous offre une lecture au contenu substantiel. Pour en profiter pleinement, il convient de maîtriser des connaissances de première année de licence. Le texte devenant clair pour quelqu’un qui possède le niveau de deuxième année de licence. Mais, il reste appétissant pour un élève de TS curieux. Quant au lecteur naïf, il doit faire confiance à Alain Juhel pour sa lecture des équations et se contenter de suivre, de l’extérieur, la pensée de Joseph Fourier. Ceci ne va pas sans charme.

     Nous avons déjà dit l’intérêt que Fourier portait à l’âge de la Terre, cet intérêt l’a conduit, pour préciser une évaluation très différente des valeurs admises à son époque à étudier l’effet de serre. Quitte à tordre un peu la réalité, nous résumons l’œuvre de Joseph Fourier à cette unique préoccupation « quel est l’âge de la Terre ? ».

     Alain Juhel nous présente une page consacrée à la naissance des séries de Fourier, à travers manuscrits et Théorie Analytique. Cette étape est formalisée très tôt de la pensée du savant (le premier mémoire est de 1807, et pour ce qui est de sa pensée, on pourrait au moins remonter avec certitude à 1804 -arrivée à Grenoble-), même si la Théorie Analytique est publiée en 1822. Le texte présenté sur le site du Mathouriste est un remake, pas mal étendu, de conférences et dossiers de travail « offerts » aux étudiants en 2007 et 2012. Il est un bon moyen aider un lecteur qui veut entrer dans l’ouvrage, ou savoir ce qui s’y passe, sans tout lire.

   In fine, l’auteur annonce une suite… nous l’attendrons ave impatience. Nous souhaiterions aussi, qui sait, avoir une idée d’un « avant » : les théories ne naissent pas de rien et le Mathouriste a montré qu’il avait le talent nécessaire pour nous guider dans cette connaissance.

La deuxième partie annoncée ci-dessus est maintenant visible  ici.

 

Le novice Fourier et les 17 droites

dimanche, août 16th, 2015

Le novice Fourier et les 17 droites

Nous avons déjà osé ici ou quelques spéculations concernant le mode de pensée de Joseph Fourier. Nous nous proposons de la voir à l’œuvre sur un exemple compréhensible sans exploiter de grandes connaissances mathématiques.

     A Saint-Benoît-sur-Loire, le novice Fourier meublait ses loisirs en recherchant s’il était possible de tracer 17 droites qui aient 101 points d’intersections. Un élève de l’école élémentaire conclura assez facilement que le nombre maximum de points d’intersection de 17 droites est (17 x 16) / 2, soit 136 puisque chacune des 17 droites rencontre les 16 autres soit (17 x 16) rencontres, chaque point étant compté deux fois (une fois sur chacune des deux droites sécantes).

Le nombre de points d’intersection des droites du plan est une question qui peut être abordée dès l’école élémentaire (voir Math CE2-CM, Godinat, Timon, Worrobel, exercice 624 p. 174, Hachette 2000).

Les publications de Joseph Fourier attestent qu’il avait le goût de la généralisation des problèmes. Il s’intéressa aux solutions d’un polynôme de degré quelconque ; sa théorie de la transformée d’une fonction est d’une portée très générale.

Le problème des 101 points qu’évoque Joseph Fourier dans une de ses lettres peut donc être posé ainsi :  « N droites d’un plan ont au maximum n(n-1)/2 points d’intersection. Il est possible d’exhiber un tracé faisant apparaître ces n(n-1)/2 points. Il est possible aussi pour tout N de décrire un tracé avec 0 point d’intersection ; un tracé avec 1 point d’intersection ; un tracé avec n points d’intersection (si N>2). Qu’en est-il pour chacune des valeurs inférieure à n(n-1)/2 ?  Proposer une construction pour le cas particulier : N=17 et 101 points d’intersection. »

Lire la suite dans le document .pdf .

Le lecteur consciencieux mènera sa propre recherche et évitera de recourir au lien  :

http://tube.geogebra.org/student/mZuE68Dbs

qui, sur Geogebra, exhibe une construction effective, exploitant points triples et droites parallèles (cette solution montre du même coup que le problème peut se résoudre aussi avec seulement 16 droites).

Ce problème a été proposé par Daniel Reisz aux adhérents de l’APMEP. Les solutions qu’ils ont trouvées sont publiées dans le numéro 517 du Bulletin vert, pages 105-106.

Présentation de Fourier par Deltheil

mardi, avril 28th, 2015

Fourier par Deltheil & Leconte

        Les trois derniers sous-chapitres de l’ouvrage de Deltheil et Leconte, Éléments de calcul différentiel et de calcul intégral, traitent des transformées de Fourier. L’ouvrage fut publié en 1926, à une époque les idées de Fourier n’avaient pas encore trouvé la pleine efficacité qu’elles ont aujourd’hui dans la recherche, l’industrie, les communications. La présentation qu’en font les auteurs qui est caractéristiques de l’époque : en ce temps, les séries et la transformation de Fourier donnent matière à exercices illustrant le calcul différentiel et intégral.

Notons la remarque de la page 204 : « La théorie rigoureuse des séries trigonométriques est difficile et nous devrons, le plus souvent, nous borner à énoncer des résultats sans les démontrer. » De nos jours, les méthodes de Fourier ont donné naissance à d’incontournables outils largement utilisés par les techniciens, cependant cette remarque reste vraie : nous cherchons toujours le pédagogue qui saura donner à un public étendu, une vue en profondeur des questions qui préoccupaient Joseph Fourier.

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 R. Deltheil et Th. Leconte, Éléments de calcul différentiel et de calcul intégral, tome 1, 220 p. Collection Armand Colin, section de mathématiques, n°72, 1926, (6e édition – 1941)

Extrait de la troisième partie, les développements en séries,  chapitre X, III, séries trigonométriques ; p. 204 à 216 :

 

83. Série de Fourier d’une fonction donnée.

Euler a montré que si une fonction donnée f(x) est, dans un intervalle d’étendue 2?, égale à la somme de la série trigonométrique :

a0 + a1 cos x + b1 sin x+ … + an cos nx + bn sin nx + …

les coefficients de la série s’expriment simplement au moyen de la fonction  f(x). Ce calcul repose sur la possibilité, que nous admettrons[1], d’intégrer les séries trigonométriques représentant les fonctions que nous envisagerons.

Plaçons-nous, par exemple, dans l’intervalle (-?, ?). Le terme constant a0 se calcule en intégrant,  f(x) et la série de – ? à ? ; comme les fonctions cos nx, sin nx admettent pour primitives sin nx / n, – cos nx/n, les intégrales de tous les termes sont nulles, sauf celle du terme constant et l’on peut écrire :

img_01

le terme constant est donc la valeur moyenne de la fonction f(x) dans l’intervalle (-?, ?). Le coefficient an se calcule en intégrant de –? à ?. la fonction f(x) cos nx et, terme à terme, la série multipliée par cos nx ; l’intégrale du terme a0 cos nx est nulle, de même que celles des termes   ap cos nx cos px (n ? p) ,   bp cos nx sin px   (quels que soient n et p) (§ 65) ; quant à l’intégrale du terme an cos² nx, elle est égale à ?an (§ 65) ; le calcul de bn est analogue, d’où les formules :

img_02

an bn sont donc égaux aux doubles des valeurs moyennes des fonctions  f(x) cos nx, f(x) sin nx dans l’intervalle (-?, ?). L’interprétation géométrique de ces coefficients est intéressante ; la figure 63 donne celle de a4 :

fig_63

 

les courbes C, C’ représentent les fonctions f(x), –f(x), la courbe en trait plein, la fonction f(x) cos 4x (§ 39, 5°) ; ?a4 est la somme algébrique des aires indiquées par des teintes grises, les aires placées au-dessus de Ox étant positives, celles placées au-dessous étant négatives.

C’est d’abord à propos de la vibration des cordes (ex. 358) et des fonctions périodiques qui s’introduisent dans cette étude que s’est posé le problème de la représentation d’une fonction par une série trigonométrique. Mais le calcul des intégrales qui fournissent les coefficients est pénible pour les fonctions périodiques les plus simples. Le véritable intérêt du problème n’est pas là, ainsi que l’ont montré la théorie et les applications. Il se trouve dans le fait que les formules d’Euler ont un sens pour toute fonction, périodique ou non, et conduisent à une série trigonométrique attachée à cette fonction, série appelée série de Fourier de la fonction, pour rappeler que Fourier, le premier, a appelé l’attention sur le degré de généralité du résultat. Dirichlet a ensuite montré que, moyennant des conditions très larges, la série de Fourier d’une fonction f(x) est convergente et a pour somme f(x) dans l’intervalle considéré d’étendue 2?. L’énoncé précis de Dirichlet est le suivant :

Soit une fonction f(x) continue dans un intervalle d’étendue 2?, sauf en un nombre fini de points où il y a discontinuité de première espèce (valeurs limites à gauche et à droite, saut brusque, § 10, fig. 12), et admettant dans cet intervalle un nombre fini de maxima et de minima. La série de Fourier de cette fonction est convergente. Sa somme est f(x) dans tout l’intervalle sauf aux extrémités et aux points de discontinuité ; en un point de discontinuité, la somme de la série de Fourier est la demi-somme des valeurs limites de f(x), à gauche et à droite ; aux extrémité de l’intervalle, (-?, ?) par exemple, la somme de la série de Fourier est la demi-somme des nombres f(-?), f(?).

 

  1. Applications. –

1° Soit à trouver la série de Fourier de la fonction x/2 envisagée dans l’intervalle (-?, ?).

formule_p84

Les intégrales qui donnent les coefficients a portent sur des fonctions impaires parce que la fonction donnée est elle-même impaire ; leurs limites sont opposées ; les aires qu’elles représentent sont formées de deux parties, limitées par Oy, ayant des valeurs opposées; ces coefficients sont donc nuls. Le calcul de bn se fait simplement et donne :

formule_p84_2

Cette série est convergente et a pour somme x/2 a l’intérieur de l’intervalle (-?, ?) d’après le théorème de Dirichlet, et nous vérifions qu’elle a bien pour valeur, aux extrémités -?, ? de l’intervalle, la moyenne arithmétique, zéro, des valeurs prises par la fonction. La somme de cette série définit, x variant de  moins l’infini à plus l’infini, une fonction périodique de période 2?, discontinue pour tous les multiples impairs de ? (fig. 64).

fig_64

2° Cherchons la série de Fourier de la même fonction x/2 envisagée dans l’intervalle 0, 2?. Les formules qui donnent les coefficients sont analogues aux précédentes, le seul changement porte sur les limites des intégrales qui sont ici 0, 2? ; mais le calcul de certains coefficients n’est plus immédiat par des considérations de symétrie et il y a ici à utiliser les primitives x²/4 de x/2 et (x sin nx)/2n + cos nx / 2n² de (x cos x)/2 . On Parvient ainsi à la série ?/2 – sin x – (sin 2x)/2 + (sin 3 x) /3 …  sur laquelle on fera des remarques analogues à celles que nous avons présentées à propos de l’exemple précédent. fig_65

La figure 65 donne la représentation graphique de la fonction périodique définie comme somme de cette série ; la comparaison des figures 64 et 65 suggère le moyen de passer de la seconde fonction à la première par le changement de y en (? /2) + y, de x en (? + x), ce qui se vérifie sur les séries.

 3° Cherchons la série de Fourier de la fonction égale à – ? /4 de – ? à 0, à  ?/4 de 0 à ? ; la série obtenue sera nulle pour x=- ?, x= ? (et pour tout multiple impair de ? ), puisque zéro est la demi-somme des valeurs de la fonction aux extrémités de l’intervalle ; mais elle le sera aussi pour x=0 (et pour tout multiple pair de – ?), parce que la fonction proposée est discontinue pour cette valeur et que zéro est la demi-somme des valeurs limites de la fonction à gauche et à droite.

formule_p84_3

visiblement, les coefficients a sont nuls ; bn est égal à 1/n ou est nul suivant que n est impair ou pair : d’où la série : sin x + (sin 3x)/3 + (sin 5x) / 5 +….   dont la somme est une fonction de x représentée graphiquement sur la figure 66.

fig_66

On remarquera que dans les trois exemples que nous venons de traiter, les séries obtenues convergent d’après le théorème de Dirichlet et non en vertu des règles de convergence que nous avons données (ex. 223) ; de plus, il n’entre que 1/n au dénominateur du terme général, nous ne sommes pas dans le cas où la convergence est normale ; il est intéressant de rapprocher ces remarques de la constatation que, dans ces trois cas, la somme de la série présente des discontinuités.

 4° Cherchons la série de Fourier de la fonction égale à |x/2| lorsque x varie de – ? à ?. L’intérêt présenté par cet exercice est le suivant : la fonction considérée, bien que formée de l’association de deux fonctions distinctes, x/2 et –x/2, est continue dans l’intervalle (– ? à ?) et elle prend même valeur ?/2 aux extrémités de l’intervalle ; la série de Fourier obtenue sera donc une fonction continue pour toute valeur de x (fig. 67).

fig_67

formule_p84_4

La fonction donnée étant paire, les deux intégrales qui donnent bn ont des valeurs opposées parce que les intervalles d’intégration sont formés de valeurs opposées ; les coefficients a sont donc nuls ; les coefficients a se calculent aisément : a0= ?/4, an est égal à – 2/?n² ou à zéro suivant que n est impair ou pair ; nous obtenons donc la série :

  ?/4 – 2/? (cos x + (cos 3x )/3²+…) qui est normalement convergente quel que soit x, fait à rapprocher de la propriété de la somme de cette série d’être une fonction continue quel que soit x.

5° Dans les exemples précédents, nous avons cherché la série de Fourier d’une fonction impaire définie dans l’intervalle (-? à ? ) (fig. 64, 66) et nous n’avons trouvé que des termes en sinus ; nous avons cherché (fig. 67) la série de Fourier d’une fonction paire définie dans l’intervalle (-? à ?) et nous n’avons trouvé que des termes en cosinus.

Ces résultats sont généraux ; si f(x) est impaire, l’intégrale de f(x) ou celle de f(x) cos nx de – ? à ? est nulle, car cette intégrale se représente géométriquement par une aire formée de deux parties dont les valeurs sont opposées ; si f(x) est paire, l’intégrale de f(x) sin nx de -? à ? est nulle pour une raison analogue ; cette remarque permet d’annuler a priori les coefficients a dans le premier cas, les coefficients b dans le second.

 6° Les exemples 1, 2, 4 nous ont conduits à trois développements de la fonction x/2, en séries trigonométriques, valables dans l’intervalle (0, ?) ; c’est une remarque importante et facile à justifier qu’une fonction donnée peut posséder une infinité de développements en séries trigonométriques dans un intervalle d’étendue moindre que 2 ?. Soit en effet la fonction f(x) dans l’intervalle (0, ?) par exemple ; associons-lui la fonction g(x) choisie quelconque dans l’intervalle (-?, 0) ; supposons cependant que la fonction h(x) ainsi définie dans l’intervalle (-?, ?) satisfasse aux conditions de Dirichlet ; écrivons son développement en série de Fourier, le développement obtenu dépendra évidemment du choix de g(x) ; en particulier, si h(x) est paire, condition qui détermine g(x), le développement ne contiendra que des cosinus ; si h(x) est impaire, condition qui détermine g(x), le développement ne contiendra que des sinus.

 7° Nous avons eu l’occasion dans les exemples qui précèdent de donner une idée du rapport qui existe entre la rapidité de la convergence d’une série de Fourier et le fait que sa somme présente ou non des discontinuités. En vue d’insister sur ce point, cherchons la série de Fourier de la fonction égale à (1 – cos x) = 2 sin² x, de 0 à ? et qui est impaire, ce qui achève de la déterminer dans l’intervalle (-?, ?). Les coefficients a sont nuls ;

img_p212

Cette série a pour somme une fonction f(x) toujours continue (fig. 68, courbe en traits pleins), dont la dérivée f’(x), périodique comme f(x), est égale à 2sin 2x, de 0 à ?, à -2sin 2x, de -? à 0, et est toujours continue (fig. 68, courbe en traits pointillés).

fig_68

Ces résultats sont à rapprocher du fait que la terme général de la série de Fourier trouvée contient n3 au dénominateur, que le terme général de la série dérivée

formule_p84_7

contient n² au dénominateur ; la série dérivée est donc normalement convergente et par suite (§78), elle représente f’(x).

Dans le même ordre d’idées, il est bon de remarquer que les séries trigonométriques de termes généraux an sin nx, an cos nx,  ?a? < 1, dont nous avons trouvé les sommes dès le début, sont dérivables terme à terme autant de fois qu’on le voudra.

 

  1. Cas d’une période quelconque.

La série trigonométrique a0 +a1 cos ?t + b1 sin ?t + a2 cos 2?t + b2 sin 2?t+…. dans laquelle ? est un nombre et t la variable, a pour somme, lorsqu’elle est convergente, une fonction périodique de période T=2 ?/? ; elle se ramène à la forme adoptée jusqu’ici par le changement de variable ?t=x ; on dit que la partie a1 cos ?t+b1 sin ?t ou u1 sin (?t+a1), de période T est le terme fondamental ; la partie en n?t, de période T/n est le nième  harmonique.

Pour représenter dans l’intervalle (a, b), a < b, une fonction f(t) par une série trigonométrique qui admette pour période b – a=T=2 ?/? on opérera le changement de variable ?t = x ; on obtiendra la fonction f(x/?), x variant dans l’intervalle (?a, ?b) d’étendue 2 ?, et on cherchera la série de Fourier de cette fonction. En modifiant légèrement, le changement, de variable, soit ?t = x + c, on peut faire en sorte que l’intervalle de variation de x soit un intervalle quelconque d’étendue 2 ? ; ainsi, pour obtenir l’intervalle (-?, ?), il suffit de choisir c= (? (a + b))/2

 Comme application, cherchons le développement, de la fonction f(t) qui de 0 à T/2 est égale à zéro et de T/2 à T est égale à a.

fig_69

Si l’on transporte les axes O’t’, O’y’, O’ étant le point de coordonnées T/2, a/2 (fig. 69), on se trouve ramené, aux dimensions près, au cas de la figure 66 ; on obtient donc le développement :

2a/ ? (sin (2 ?t’/T) + 1/3 sin (6 ?t’/T) + ….)

et, puisque y = y’ + a’/2,  t = t’ + T/2, le développement cherché est

a/2 – 2a/ ? (sin (2 ?t/T) + 1/3 sin (6 ?t/T) + ….).

 

Exercices

Exercice : 216. Développer en série trigonométrique la fonction 1/(2+ cos x).

(Écrire

formule_p85_2

et calculer a de manière à obtenir à un facteur constant près 2 + cos x au dénominateur.)

 Exercice : 217. Trouver la série de Fourier de la fonction égale à – sin x de –? à 0 et à sin x de 0 à ?), de la fonction égale à ex de –? à ?, de la fonction égale à ex, de 0 à 2?, de la fonction égale à x²/4 de –? à ?. On peut retrouver les coefficients de ce dernier développement (sauf a0) en intégrant terme à terme la série qui donne x/2 de -? à ?.

 Exercice : 218. – Trouver les développements en séries trigonométriques de période T, des fonctions de t suivantes :

1° celle qui est nulle, t variant de 0 à T/3, égale à a/2 de T/3 à 2T/3, égale à a de 2T/3 à T ;

2° celle qui est égale à  a((tT/2) + t²) de –T/2 à 0, égale à  a((tT/2) –t²) de 0 à T/2 (les deux arcs de paraboles représentatifs sont tangents à l’origine) ;

 3° celle qui donne l’abscisse d’un point animé sur une droite d’un mouvement périodique ainsi défini : du temps 0 au temps T/2, le mobile va de A en B, AB = a, avec une vitesse constante v et du temps T/2 au temps T revient de B en A avec la même vitesse (suivre les indications du § 85).

 Exercice : 219. – La série de Fourier d’une fonction f(x) définie dans un intervalle d’étendue 2?, (0, 2?) par exemple, et telle que  f(x+ ?) = –f(x) ne contient pas de sinus et cosinus des  multiples pairs de X.

 Exercice : 220. – Dans la fonction f(t) =  u0 + u1 sin (2 ? t/T + ?1) +… on remplace t par , t+? (décalage de ?) ; écrire le développement de la fonction f(t) + f(t+ ?)

(Appliquer la formule sin p + sin q = 2 sin (p+q)/2 cos (pq)/2 ). Cas d’un décalage de T/2.

 Exercice : 221.-Dans la fonction f(t) =  u0 + u1 sin (2 ? t/T + ?1) +… on opère des décalages de T/3, 2T/3. Montrer que le développement de la fonction f (t + T/3) + f (t + 2T/3) est de la forme :

formule_p85_3

Exercice : 222. – La valeur efficace I (§ 53) de la fonction f(t) =  u0 + u1 sin (w t + ?1) + u2 sin (2 ? t + ?2) + … pour la période 2 ? /? est donnée par l’égalité  I² = u0² +(( u0²+ u1²)/2) +…

(Admettre qu’on peut élever la série au carré, ce qui est démontré pour nous lorsque la série ?un? est convergente. Seules les intégrales relatives aux termes carrés ne sont pas nulles.)

Appliquer à la fonction  x/2 qui dans l’intervalle (-?, ?) admet pour développement sin x + sin 2x /2 + sin 3x /3 … et en déduire que le nombre S = 1 + 1/2² + 1/3² +1/4² +…. est égal à ? ²/6.

Appliquer à la fonction égale à – ? /4 de – ?  à 0 de 0 à ?  qui admet le développement sin x + sin 2x/2 + sin 3x /3 … et en déduire que le nombre S = 1 + 1/3² + 1/5² +… est égal à ? ²/8.

 D’ailleurs, la relation S = S + S/4 s’obtient immédiatement en sommant séparément dans S, les termes pris de deux en deux.

Exercice : 223. a0 + a1 cos x + a2 cos 2x +… est convergente (sauf peut-être pour x = 2k ? ) si les nombres a sont positifs, décroissent et tendent vers zéro (montrer, en appliquant la formule : 2 cos px  sin x/2 = (sin (2p+1)/2)x  – (sin (2p-1)/2)x  que 2Sn sin x/2  est égal à : a0 + a1 sin x/2 + (a0 a1)  sin x/2 +… + (an-1 an)  sin ((2n-1)/2)x + an sin ((2n+1)/2)x.

 Laissant de côté le dernier terme, qui tend vers zéro, on obtient la somme des (n+1) premiers termes d’une série absolument convergente puisque le terme général est inférieur en valeur absolue à an-1 an, terme général d’une série positive convergente. La méthode s’applique également à la série b1 sin x + b2 sin 2x + … les nombres positifs b décroissant et tendant vers zéro. Exemples : les séries de termes généraux cos nx/n, (x ? 2k?), sin nx/n sont convergentes.

 

[1] La théorie rigoureuse des séries trigonométriques est difficile et nous devrons, le plus souvent, nous borner à énoncer des résultats sans les démontrer.