Archive for the ‘pédagogie’ Category

Cauchy et Fourier

Samedi, avril 18th, 2020

Joseph Fourier

Cauchy et Fourier

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    Que l’on doive citer à brûle-pourpoint une poignée de mathématiciens… viendront sans doute Pythagore (sa table) et Thalès (son théorème), Ératosthène (son crible), Euclide (son postulat), Descartes (son plan si cartésien), Newton (sa pomme), Gauss (la courbe en cloche), Euler (les ponts de Königsberg) ; Viète, peut-être (les x et les y)… et Fourier n’apparaîtra pas. Son nom est attaché à la Théorie de la Chaleur, qui pour le profane ressort de la physique. Trop peu mathématicien Fourier ? Il maîtrisait pourtant le sujet : lorsque Lagrange a voulu le corriger, c’est Fourier qui lui a fait la leçon (et Jean-Pierre Kahane l’a bien montré : « il [Fourier] s’est heurté à l’incompréhension persistante de Lagrange, et deux pages dans les manuscrits de Lagrange, que j’ai consultées et commentées, confirment que Fourier avait raison contre Lagrange. Mais Lagrange était à l’époque de Fourier le plus respecté des mathématiciens français, et son jugement négatif sur Fourier a traversé les siècles. »).

      Mieux : Fourier a apporté sa pierre et laissé sa marque : deux notations spécifiques, très usuelles (Dhombres et Robert, dans leur ouvrage, ajoutent une autre invention de Fourier, qui touche les notations : l’équation aux dimensions. Joli jeu d’adaptation des mathématiques à la physique : les quantités numériques ne sont pas toutes de même nature. Et cela éclaire bien la nature double du génie de Fourier, mathématicien et physicien).

             

    

Elles se lisent  : « f chapeau » et « somme de 1830 à l’infini ». L’écriture ‘f chapeau’ qui renvoie aux méthodes introduites par Fourier n’a été adoptée qu’au XXe siècle lorsque l’usage de la Transformation de Fourier est devenu si courant et incontournable qu’il a fallu abréger les attendus. Tout étudiant de troisième cycle saura expliquer qu’il s’agit d’appliquer à la fonction f la transformation de Fourier qui transforme une fonction en une somme infinie de fonctions fréquentielles (sinus et cosinus). Le chapeau est une façon très raccourcie de noter ce que Fourier a expliqué en plusieurs centaines de pages dans sa Théorie de la Chaleur et que Lagrange a contesté jusqu’à son dernier souffle.

     Pour l’autre, Fourier a trouvé chez ses prédécesseurs le symbole de sommation qui était utilisé brut, sans indication de limites. Fourier y a ajouté l’indication des limites entre lesquelles cette somme est calculée et dès la terminale du lycée les élèves commencent à se familiariser avec ce symbole.

      Pour ceux qui ne seraient pas convaincus, qu’ils se tournent vers Cauchy. Cauchy (1789-1857) était de 20 ans le cadet de Joseph Fourier. Cauchy était précoce et c’est à 27 ans qu’il fut académicien, aussi les deux savants eurent-ils l’occasion de se côtoyer pendant 14 ans à l’Académie des sciences où ils siégèrent ensemble de 1816 à 1830. Royaliste convaincu et catholique fervent, Cauchy était par ailleurs d’un caractère si exigeant qu’il ne sut pas toujours entretenir de bonnes relations avec ses proches. Quoiqu’il en soit, aucune anecdote ne nous est parvenue des relations personnelles que les deux hommes ont pu entretenir bien qu’ils aient, tous deux, abordé l’analyse mathématique.

     C’est dans les cours que Cauchy donnait à l’École polytechnique que se trouve attribuée à Joseph Fourier l’invention de la notation de l’intégrale définie (compte-tenu du caractère de Cauchy, qui faisait souvent de mesquines querelles de priorité -par exemple avec Liouville, en 1847, à l’occasion du théorème Fonctions Holomorphes-, cette attribution d’invention de notation à Joseph Fourier peut être acceptée pour avérée)

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Fourier élémentaire

Dimanche, janvier 26th, 2020

Fourier à l’école élémentaire

     La théorie de la chaleur débouche très rapidement sur des équations impliquant une bonne maîtrise du calcul différentiel, ce qui semble en interdire l’accès aux gens ordinaires. Cependant, nous avons trouvé, présentée depuis mai 2018 sur le site du CNRS, une vidéo éclairante. Olivier Druet, de l’EHESS, a voulu relever le défi et nous expliquer, sans recourir à d’autres connaissances que celles requises à la sortie de l’école élémentaire, l’idée à la base de la Théorie de la chaleur.

     Il illustre son propos en quelques étapes. Tout d’abord, il nous présente un carré magique de Dirichlet et en expose le principe de construction.

(vers 5 min 20) Olivier Druet fait le lien avec l’idée de base de la théorie de la chaleur qui nous est exposée de façon succincte, mais efficace.

(vers 13 min 40) Retour aux carrés magiques de Dirichlet pour en découvrir, de façon très naturelle, quelques propriétés et même une démonstration sur les limites des nombres contenus dans les carrés de Dirichlet et sur l’existence d’UNE solution.

(vers 28 min) Sur un exemple, est mise en place une méthode -Olivier Druet, nous invite à en trouver d’autres- qui permet de remplir un carré de Dirichlet à valeurs externes données. Le calcul commencé à la main est terminé en faisant tourner un programme réalisable sur un tableur. Les calculs sont simples (moyenne de quatre nombres) mais il faut en faire une grande  quantité et on comprend pourquoi les méthodes de Fourier n’ont réellement pris leur essor qu’après l’avènement des ordinateurs.

Nouveautés Fourier

Mardi, janvier 29th, 2019

Nouveautés Fourier 2019

 

La tendance se confirme, Fourier, s’il ne fait pas la une de la presse People, est tout de même l’objet de nombreux articles dans des publications sérieuses.

Au chapitre des publications traditionnelles :

Le 154e volume de la SSHNY est paru.

En ce début d’année 2019, la Société de Sciences Historiques et Naturelles de l’Yonne publie le 154e volume de son Bulletin qui porte sur l’année 2016. Avec en couverture le portrait de Gautherot du Musée d’Auxerre, il s’ouvre [p.15 à 36] sur le compte rendu d’une conférence de Jean Dhombres (Centre Koyré, EHESS, Paris), sur « Ce que Fourier doit à Auxerre ».

 

 

Sur le Net, les sites qui évoquent Fourier continuent à s’étoffer :

A Le Mathouriste : depuis notre dernier passage sur son site, le Mathouriste est allé en Egypte chercher des illustrations, vérifier ses sources et suivre au plus près l’actualité d’hier et d’aujourd’hui concernant les trois années que Fourier y a passées. Voir Fourier l’Egyptien, l’éclatante réussite scientifique d’un fiasco militaire . Sur ce chapitre, il faudra du temps avant d’avoir mieux à proposer tant en matière de précision et de clarté des textes que de richesse de l’illustration.

Le Mathouriste a visité l’Institut du Caire.

 

B Le site piloté par INRIA, Interstices offre un dossier Fourier de plus en plus étoffé, qu’on en juge par les huit articles disponibles ce jour :

L’héritage de Fourier 250 ans après, par Christian Jutten [Une introduction au dossier.]

De Fourier à la reconnaissance musicale, par Gaël Richard, Sébastien Fenet, Yves Grenier [aujourd’hui –29/01/2018- cet article est inaccessible]

Lire la partition de la nature grâce au programme de Fourier, par Tadeusz Sliwa [Introduction à la vision philosophique de la science selon Fourier.]

La décomposition en série de Fourier, par Romain Joly [Des illustrations pour comprendre les séries de Fourier.]

Au-delà de Fourier, un monde qui vibre, par Patrick Flandrin [Des illustrations pour comprendre l’analyse temps-fréquence.]

Le traitement du signal, au cœur de la science et de notre vie quotidienne, par Patrick Flandrin [Le point actualisé sur signal et bruit.]

Qu’est-ce que Fourier peut nous dire aujourd’hui, Par Jean-Pierre Kahane (†) [Un article de 2014 par le regretté Jean-Pierre Kahane qui ne fut pas pour rien dans la reconnaissance qui est faite à Joseph Fourier aujourd’hui.]

Démixer la musique, par Antoine Liutkus & Emmanuel Vincent [Comment isoler le jeu d’un seul instrument de l’oechestre ? ]

‘Interstices’ un site piloté par l’INRIA

Fourier et le dessin s’anime

Lundi, février 19th, 2018

Fourier… et le dessin s’anime.

 

Quand l’administrateur de ce site lit une phrase comme celle-ci sur un blog :

« Quand on voit cette animation [figure de gauche], on est en droit de ce demander par quelle sorcellerie une telle prouesse est possible ? Pour le savoir, il va falloir fouiller du côté des épicycloïdes et de la théorie de Fourier»

…il ne peut que se précipiter. Voici l’adresse, je vous laisse découvrir : ici .

http://eljjdx.canalblog.com/archives/2018/02/15/36145181.html

Merci à « El Jj » pour ce petit bijou.

L’étude des formes des trajectoires avec des épicycloïdes est un ancien problème d’astronomie. Aujourd’hui, l’étude des formes de courbes à partir de « descripteurs de fourier », qui possèdent des propriétés dites d’invariance, très prisées, ce notamment à des fins de reconnaissance automatique, est un domaine de recherche vivant voir des exemples ici.

 

 

 

Il est où Fourier

Samedi, février 17th, 2018

Il est où Fourier ?

Cinq situations :

  1. La découverte d’une œuvre originale (huile sur toile, acrylique…). (Les musées offrent un large choix.)
  2. L’audition d’un concert symphonique.
  3. La conversation téléphonique au cours de laquelle votre fille vous a annoncé qu’elle voulait vous présenter un garçon que vous ne connaissiez pas, mais avec lequel elle avait l’intention de faire sa vie.
  4. Le roman qui vous a captivé et que vous avez lu tout au long d’une nuit.
  5. L’instant où vous êtes entré dans le scanner, alors que votre médecin était persuadé que vos symptômes étaient ceux d’un cancer.

Rien de commun entre ces situations si ce n’est qu’elles correspondent à autant de moments d’intense émotion. Comme notre propos n’est pas d’étudier vos émotions, je vous laisse imaginer des situations équivalentes où vous ne mettrez aucun affect.

Un lien

Chacune de ces situations est susceptible de faire intervenir une numérisation, c’est à dire, d’être associée à une succession de 0 et de 1 rassemblés en un fichier, que le premier ordinateur venu saura décrypter pour vous en restituer le contenu sur écran. L’image ci-dessous est une bonne représentation d’un tel fichier (‘carré noir’=0 ; ‘carré blanc’ =1).

L’explication du lien entre ces cinq situations et Fourier est à rechercher dans le Grand Dictionnaire Universel de Pierre Larousse (vers 1875) à l’article Fourier : « L’analyse mathématique doit à Fourier la découverte de la formule connue sous le nom de série de Fourier, qui permet de développer toute fonction quelconque analytique ou concrète, continue ou discontinue, variable suivant des lois quelconques dans certains intervalles, constante dans d’autres, etc., en une suite infinie de termes formés des sommes des sinus et des cosinus des multiples de la variable, affectés de coefficients convenables. »

Fourier n’avait aucune idée de ce que seraient les codes-barres 2D, Flash Codes, QR-codes ou autres Beetagg… mais, comme Larousse nous l’indique, l’outil qu’il a inventé pour étudier la transmission de la chaleur allait trouver dans l’étude des fonctions un terrain d’application illimité… or, un code-barres 2D est une fonction.

Paradoxe :

Le tableau, sa photo, s’imposent instantanément au regard ; l’audition d’une symphonie s’étale dans le temps. Tous deux sont susceptibles d’être numérisés de la même manière. Le flash-code, représentation d’une transformation de Fourier, peut être perçu instantanément comme le tableau, mais il peut aussi rendre compte d’événements qui s’échelonnent dans la durée : le coup de cymbale de la 137e mesure de la symphonie m’est proposé immédiatement dans le spectre de la Transformation de Fourier de cet enregistrement. Sans être chronologique, stricto sensu, une transformation de Fourier peut rendre compte d’événements qui se succèdent chronologiquement.

En guise de conclusion

Je ne m’offusque pas qu’on mette en doute mes qualités de dessinateur, j’invite donc chacun à découvrir l’œuvre originale de René Magritte : crée en 1929, elle est exposée au Musée d’art du comté de Los Angeles, il suffit de faire le voyage.

Le lien entre cette représentation et la véritable pipe qui a servi de modèle est le même qu’entre la Transformation de Fourier et la situation dont elle rend compte. Un siècle plus tard, les réflexions de Magritte sur la Trahison des Images restent d’actualité, tout comme la Transformation de Fourier, inventée il y a deux cents ans par Fourier. Lequel Fourier aurait eu 250 ans en 2018.

 

Notons encore que la Transformée de Fourier 2D est parfois utilisée en reconnaissance de patterns / motifs / textures.

 

Fourier des cordes aux ondelettes

Samedi, août 5th, 2017

Fourier : des Cordes aux Ondelettes

Fourier :

des Cordes aux Ondelettes

Des cordes aux ondelettes. L’analyse en temps et en fréquence avant et après Fourier. Un inverseur de l’équation de la chaleur de Fourier : le calorimètre à conduction

Bernard Escudié (†), Claude Gazanhes, Henri Tachoire, Vincenç Torra. Préface de Bernard Picinbono. Publications de l’université de Provence, 2002, 482 pages

 

Il y a eu le travail de défrichement de Jean-Pierre Kahane, les récompenses obtenues par Daubechies puis par Meyer ; progressivement, l’analyse harmonique a élargi son influence. Son impact est aussi assourdissant auprès des spécialistes, qu’il est inaudible au grand public.

            Nous avons déjà déploré ici le déficit pédagogique qui confine toute explication des théories de Fourier à un auditoire hyper spécialisé, fin connaisseurs des équations différentielles.

            L’ouvrage peut aider à sortir de ce confinement et donner à entendre l’intérêt et l’étendue des domaines d’application de l’analyse harmonique. On doit se faire une raison, sans bases mathématiques solides, il n’est pas question d’envisager la compréhension de l’analyse harmonique, ici, cependant, la large place faite à la description des méthodes, à l’évolution historique des objets d’étude, les illustrations permettent de toucher du doigt l’importance de cette branche d’étude ; pour le chercheur c’est l’occasion de prendre du recul et de replacer ses recherches dans un cadre plus large.

     L’œuvre de Joseph Fourier constitue une pierre angulaire. Elle joue un rôle pivot par la rupture qu’introduit dans la Théorie de la chaleur une méthode fructueuse qui ouvre la voie aux recherches tant théoriques que pratiques qui vont féconder la science des XIXe, XXe et maintenant XXIe siècles. Par elle, le concept de fréquence, qui trouve son origine au temps de Pythagore, atteint sa maturité ; elle ouvre la voie au traitement du signal, à l’analyse en temps et en fréquence, à la construction d’analyseurs et de synthétiseurs de la parole et de la musique. Les grands progrès théoriques sont illustrés essentiellement par des problèmes d’acoustique. Une large place est faite aux des moyens pratiques qui, avant l’apparition des ordinateurs, ont permis de déterminer les coefficients de la décomposition de Fourier. Chaque système amène son lot d’applications techniques : l’analyseur et le prédicteur de marées de lord Kelvin (1878), l’analyseur de Koenig permettant la visualisation du signal de parole (1867), les systèmes de repérage de sources sonores par l’acoustique (début XXe siècle) entre autres. Du début du XXe siècle aux années 1960, ce champ de recherches profite de l’évolution générale des techniques développées pour les calculateurs analogiques ou numériques.

      Un des mérites des auteurs est de trouver un bon équilibre entre explications techniques et illustrations pratiques qui permettent à l’honnête homme de notre époque de suivre le fil du discours et d’apprécier les vertus pédagogiques de l’exposé.

     Il est appréciable de trouver les éléments biographiques et contributions de scientifiques, d’une kyrielle de chercheurs moins illustres que Fourier ou Kelvin : Blondel (1863-1938), Tian (1880-1972) ou encore Calvet (1895-1966), souvent négligés.

     L’ouvrage montre comment l’évolution du traitement du signal a lancé un grand nombre d’applications et de nouveaux instruments repris dans diverses disciplines, et comment l’analyse spectrale s’est nourrie de concepts émanant de branches de savoir a priori éloignées.

 

Merci à Loïc Petitgirard, La revue pour l’histoire du CNRS, 2003, mis en ligne le 7 mars 2006, consulté le 5 août 2017.

 

Une introduction aux travaux de Fourier (2)

Mardi, novembre 24th, 2015

Une introduction aux travaux de Fourier (2)

     Le Mathouriste fidèle aux engagements qu’il a pris, et que nous avions annoncés ici, sur ce même site, après « Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique? … Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.1) ». nous livre aujourd’hui la suite : Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique?… Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.2) 

     Le propos mathématique y est plus dense que dans les précédente publications, mais ceux qui se sentiront débordés par les mathématiques, incapables de suivre les calculs issus de la pensée des mathématiciens Fourier, Bessel et consorts [1]… auront la possibilité de se raccrocher aux illustrations sonores et visuelles : on peut très bien apprécier un concert sans savoir lire la partition d’orchestre.

[1] Au terme de l’étude, le lecteur découvrira la nouveauté, l’envergure et la profondeur de la synthèse que Fourier propose mais il n’en reste pas moins qu’à son époque même plusieurs mathématiciens étaient tout a fait capables de l’entendre, mais aucun n’eut la fraîcheur d’esprit de Fourier. Ainsi, Laplace, que Fourier rencontra en tête à tête pour le convaincre du bien-fondé des méthodes qu’il utilisait : Laplace, obnubilé par les conditions de stabilité du mouvement des planètes qui les posaient des problèmes ardus, ne put se résoudre à valider les travaux de son jeune et bouillant confrère.

Lionel Hampton, dans son costume spécialement réalisé pour célébrer le bicentenaire de la Révolution Française... un an après! Nice, jardins de Cimiez, 12 Juillet 1990, 22h

Lionel Hampton, dans son costume spécialement réalisé pour célébrer le bicentenaire de la Révolution Française… un an après!
Nice, jardins de Cimiez, 12 Juillet 1990, 22h

Pour mémoire, rappelons le plan d’étude que nous propose le Matouriste pour découvrir les travaux de Fourier :

Introduction :

  1. a) « Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique?… Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.1) ».
  2. b) « Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique?… Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.2) »

Travaux de Fourier :

  1. a) Naissance des Séries de Fourier (Promenade dans la Théorie Analytique, #1)
  2. b) l’Armille, la Sphère, le Cylindre et les Autres…(Promenade dans la Théorie Analytique, #2)
  3. c) Naissance de la Transformée de Fourier (Promenade dans la Théorie Analytique, #3) [23/11/2015] : publication à venir

Au détour de ces pages, le lecteur découvrira, un parallèle entre l’écriture de formules par Fourier et les même formules écrites avec la symbolique d’aujourd’hui. Lorsque Fourier ouvre la voie, il doit expliciter beaucoup ; ses successeurs, empruntent des voies balisées, la formule semble plus claire, malheureusement, le concept sous-jacent reste le même. Ceci explique une partie des aversions aux mathématiques que l’on rencontre : une écriture simplifiée masque parfois un long chemin d’appropriation des concepts.

écriture Fourier

 

 

Une Introduction aux travaux de Fourier

Dimanche, novembre 8th, 2015

Une introduction aux travaux de Fourier

   L’actualité des publications concernant Joseph Fourier est aujourd’hui à rechercher sur le blog du Mathouriste qu’anime Alain Juhel et où il publie « Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique? … Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.1) ».

Nice, Jardins de Cimiez 10 Juillet 1990, 23h

Nice, Jardins de Cimiez
10 Juillet 1990, 23h

     Le Mathouriste propose cette page en préliminaire à sa promenade dans la Théorie Analytique de la Chaleur. Sa lecture n’est pas indispensable pour lire les suivantes, mais elle peut aider à mieux appréhender le travail de Fourier

  • en précisant certains éléments historiques qui entourent cette découverte;
  • en se plaçant dans un contexte a priori plus naturel et plus accessible parce que plus familier: celui des ondes sonores et des instruments de musique.

     L’approche des travaux de Fourier par la musique permet une illustration avec un minimum d’équations ; les non-mathématiciens seront certainement très sensibles à cette attention. Ce préliminaire vise à introduire des publications antérieurement publiées. Si on rétablit la chronologie de lecture, on obtient donc :

Introduction :

a)« Harmonique, vous avez dit: Analyse Harmonique?… Une Promenade Fouriériste! (Partie 0.1) ».

b) [08/11/2015] : suite de la publication à venir

Travaux de Fourier :

a) Naissance des Séries de Fourier (Promenade dans la Théorie Analytique, #1)

b) l’Armille, la Sphère, le Cylindre et les Autres…(Promenade dans la Théorie Analytique, #2)

c) Naissance de la Transformée de Fourier (Promenade dans la Théorie Analytique, #3) [08/11/2015] : publication à venir.

l’Armille de Fourier

Mercredi, octobre 14th, 2015

l’Armille de Fourier,

annonce de la 2e partie offerte par le Mathouriste

         Dans un précédent billet, nous nous sommes  fait écho de l’effort pédagogique du Mathouriste. Les lecteurs qui ont apprécié la première partie de la promenade Fouriériste que nous offre le Mathouriste vont être satisfaits et pouvoir continuer leurs pérégrinations en prenant connaissance de la deuxième partie de la promenade qui est maintenant disponible en ligne. Ils observeront comment la pensée de Joseph Fourier chemine et décrit la propagation de la chaleur dans des corps de formes diverses. Le lecteur qui n’a pas la formation mathématiques suffisante pour comprendre intimement les formules qui sont exposées pourra, grâce à l’éclairage de commentaires bienvenus, comprendre le travail nécessaire pour mettre en forme les calculs après l’intuition de départ.

Deux autres promenades sont annoncées :

un prologue (ondes et harmonie),

suivi ultérieurement de la présentation de la transformée de Fourier.

Nous les attendons en nous réjouissant par avance.

 

Naissance des séries de Fourier

Lundi, septembre 28th, 2015

la Naissance des séries de Fourier

Présentation d’une page publiée sur le site du Mathouriste

            Il m’a toujours semblé navrant que les sujets scientifiques soient si peu et si mal traités dans une presse qui consacre par ailleurs tant de d’énergie à développer des sujets futiles. Mais, journaliste ou lecteur, qui serait en mesure de suivre la pensée d’un prix Nobel scientifique ?

            Les travaux de Fourier datent du début du XIXe siècle, nombre de savants tant mathématiciens que physiciens les ont lus, relus, analysés et ces travaux sont maintenant enseignés dans toutes les facultés. Fort de ce recul, il est possible de revenir sur la genèse de l’entreprise et de l’exposer pour le profit du plus grand nombre. Le Mathouriste auquel nous avons déjà renvoyé le lecteur sur ce même site lorsque nous avons traité de la vie de Fourier est revenu sur le Traité de la chaleur.

      C’est une lecture roborative que nous ici offre Alain Juhel. Le Mathouriste ne se cantonne pas à des propos touriste. Il nous offre une lecture au contenu substantiel. Pour en profiter pleinement, il convient de maîtriser des connaissances de première année de licence. Le texte devenant clair pour quelqu’un qui possède le niveau de deuxième année de licence. Mais, il reste appétissant pour un élève de TS curieux. Quant au lecteur naïf, il doit faire confiance à Alain Juhel pour sa lecture des équations et se contenter de suivre, de l’extérieur, la pensée de Joseph Fourier. Ceci ne va pas sans charme.

     Nous avons déjà dit l’intérêt que Fourier portait à l’âge de la Terre, cet intérêt l’a conduit, pour préciser une évaluation très différente des valeurs admises à son époque à étudier l’effet de serre. Quitte à tordre un peu la réalité, nous résumons l’œuvre de Joseph Fourier à cette unique préoccupation « quel est l’âge de la Terre ? ».

     Alain Juhel nous présente une page consacrée à la naissance des séries de Fourier, à travers manuscrits et Théorie Analytique. Cette étape est formalisée très tôt de la pensée du savant (le premier mémoire est de 1807, et pour ce qui est de sa pensée, on pourrait au moins remonter avec certitude à 1804 -arrivée à Grenoble-), même si la Théorie Analytique est publiée en 1822. Le texte présenté sur le site du Mathouriste est un remake, pas mal étendu, de conférences et dossiers de travail « offerts » aux étudiants en 2007 et 2012. Il est un bon moyen aider un lecteur qui veut entrer dans l’ouvrage, ou savoir ce qui s’y passe, sans tout lire.

   In fine, l’auteur annonce une suite… nous l’attendrons ave impatience. Nous souhaiterions aussi, qui sait, avoir une idée d’un « avant » : les théories ne naissent pas de rien et le Mathouriste a montré qu’il avait le talent nécessaire pour nous guider dans cette connaissance.

La deuxième partie annoncée ci-dessus est maintenant visible  ici.