I – INDICATEURS DE TENDANCES ET PARAMÈTRES DE POSITION : MOYENNE, MÉDIANE, MODE, QUARTILES, DÉCILES
1) Moyenne
| DÉFINITION La moyenne est l’indicateur le plus simple pour résumer l’information fournie par un ensemble de données statistiques : elle est égale à la somme de ces données divisée par leur nombre. (Insee) |
| EXEMPLE Tristan a obtenu 5 notes en mathématiques : 12, 15, 17, 10, 16 La somme de ces notes est 12 + 15 + 17 + 10 + 16 = 70 Le nombre de note (effectif) = 5 La moyenne = 70 ÷ 5 = 14 |
2) Médiane
| DÉFINITION La médiane est un indicateur de position permettant de situer la valeur qui caractérise le milieu d’un jeu de données, de sorte que 50 % des unités ont une valeur inférieure ou égale à la médiane et 50 % des unités ont une valeur supérieure ou égale à la médiane. |
| MÉTHODE DE CALCUL Pour déterminer la valeur de la médiane : On commence par classer les n modalités de la série statistique dans un ordre croissant. Si n est impair n=2p+1 la médiane est la valeur d’indice p+1. Si n est pair n=2p la médiane est la moyenne arithmétique entre les valeurs d’indices p et p+1. |
| EXEMPLE Soit la série statistique : 5, 31, 12, 25, 7. On ordonne d’abord les valeurs de la série dans l’ordre croissant : 5, 7, 12, 25, 31 Effectif n = 5 (impair) Donc la médiane se situe la position p+1 obtenue en résolvant 5=2p+1 On trouve p = 2 et donc p+1 = 3 La médiane est la 3ème valeur de la série statistique et vaut 12. |
3) Mode
| DÉFINITION Le mode d’une série statistique indique la modalité avec l’effectif maximal. |
| EXEMPLE Soit la série : 1, 4, 2, 9, 4, 2, 3, 2, 2, 3, 5, 2, 6. Le mode de la série est 2 car cette valeur apparaît cinq fois. 2 est la modalité avec l’effectif le plus important. |
4) Quartiles
| DÉFINITION Le quartile inférieur, ou premier quartile (Q1), est la valeur au-dessous de laquelle se trouvent 25 % des données lorsqu’elles sont arrangées en ordre croissant.Le quartile supérieur, ou troisième quartile (Q3), est la valeur au-dessous de laquelle se trouvent 75 % des données arrangées en ordre croissant. |
II – INDICATEURS DE DISPERSION : L’ÉTENDUE, ÉCART INTERQUARTILE, VARIANCE ET ÉCART-TYPE
Dispersion statistique : On appelle dispersion statistique, la tendance qu’ont les valeurs de la distribution
d’un caractère à s’étaler, à se disperser, de part et d’autre d’une valeur centrale.
1) L’étendue (Minimum & Maximum)
| DÉFINITION L’étendue d’une série statistique est la différence entre la valeur la plus grande (Maximum) et la valeur la plus petite de cette série (Minimum).L’étendue est un indicateur de la dispersion des valeurs de cette série statistique. |
| EXEMPLE Soit la série statistique : 17, 5, 23, 11, 6, 13, 20.Voici la série de donnée dans l’ordre croissant : 5, 6, 11, 13, 17, 20, 23Minimum = 5 Maximum = 23 Étendue = Maximum – Minimum Étendue = 23 – 5 = 18 |
| UTILITÉ L’étendue permet de voir si la série statistique est concentrée (étendue faible), ou au contraire dispersée (étendue grande). |
2) Écart interquartile
| DÉFINITION L’écart interquartile représente la différence entre le premier quartile et le troisième quartile : Q3-Q1. |
| MÉTHODE DE CALCUL L’écart interquartile donne une idée de la dispersion des données, lorsque le jeu des données est petit. Pour calculer sa valeur : il faut d’abord identifier les quartiles.Le quartile inférieur, ou premier quartile (Q1), est la valeur au-dessous de laquelle se trouvent 25 % des données lorsqu’elles sont arrangées en ordre croissant.Le quartile supérieur, ou troisième quartile (Q3), est la valeur au-dessous de laquelle se trouvent 75 % des données arrangées en ordre croissant.Une fois les quartiles trouvés, il est facile de mesurer la dispersion, en calculant l’écart interquartile Q3 – Q1. |
| EXEMPLE On reprend la série ci dessus déja classée dans l’ordre croissant : 5, 6, 11, 13, 17, 20, 23 Effectif de la série N = 7 (impair) 25 % = 1 / 4 75 % = 3 / 4 Le 1er Quartile se situe au rang N × 1/4 = 7 / 4 = 7 ÷ 4 = 1,75 -> 2 (2ème valeur de la série statistique) = « 6 » Donc Q1 = 6Le 3ème Quartile se situe au rang N × 3/4 = (7 × 3)/ 4 = 21 ÷ 4 = 5,25 -> 6 (6ème valeur de la série statistique) = « 20 » Donc Q3 = 20Calcul de l’écart interquartile Q3 – Q1 = 20 -6 = 14 |
3) Variance & Écart-type
| MÉTHODE DE CALCUL La variance est l’écart carré moyen entre chaque donnée de la série statistique et le centre de la distribution représenté par la moyenne. L’écart-type correspond à la racine carrée de la variance. |
| FORMULE POUR LA VARIANCE
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| EXEMPLE Calculons la variance de l’ensemble suivant : 12, 7, 3, 13, 9.Étape 1 : Calcul de la moyenne Moyenne = (12 + 7 + 3 + 14 + 9) ÷ 5 Moyenne = 45 ÷ 5 = 9 Étape 2 : Calcul de l’écart élevé au carré entre chaque valeur et la moyenne. Étape 3 : Addition des écarts carrés Étape 4 : Division du résultat de cette somme par l’effectif N des valeurs Ici N = 5 Etape 5 : Calcul de l’écart-type Ici on trouve pour l’écart-type 3,85 |
| UTILITÉ L’écart-type permet de mesurer la dispersion d’un ensemble de valeurs autour de leur moyenne. Plus l’écart-type est faible, plus la population est homogène. L’écart-type est utile pour comparer la dispersion de deux ensembles de données de taille semblable présentant approximativement la même moyenne. Plus une distribution est dispersée, plus son écart-type est élevé. |
III – REPRÉSENTATION GRAPHIQUE : LA BOÎTE À MOUSTACHE (DIAGRAMME EN BOÎTE)
| UTILITÉ Cinq valeurs peuvent résumer une série statistique lorsque le jeu des données est petit : le Minimum, les trois quartiles Q1, M, Q3 et le Maximum. La boîte à moustaches (ou diagramme en boîte) permet la représentation graphique de ces cinq valeurs, une méthode pratique pour visualiser le résumé en cinq nombres. |
| EXEMPLE BOX PLOT DU NOMBRE DE POINTS PAR MATCH EN 2020-21 POUR LEBRON vs CURRY vs DURANT  |
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