Partie 1 : Calculer une probabilité

Résolution par lecture de la table de Gauss

Soit Z une variable aléatoire. On rappelle que P est la probabilité, c’est-à-dire l’aire sous la courbe qui décrit la distribution de la variable aléatoire Z.

On écrit cette probabilité : P(Z ≤ x) = p pour une valeur x donnée et p la probabilité correspondante.

Traduction : Si l’on connaît x on peut trouver p, connaissant l’espérance et l’écart-type

Exemple : On souhaite trouver la probabilité p(X < 1,65)

Lecture dans la table P(X < 1,65) = 0,9505

Remarque : on décompose x = 1,65 en 1,6 + 0,05

1,6 permet de trouver la ligne
0,05 permet de trouver la colonne

où trouver la probabilité relative à la variable aléatoire x.

Résolution par EXCEL

On utilisera la fonction LOI.NORMALE(x ; ESPERANCE ; ÉCART-TYPE ; CUMULATIVE) et on remplacera

x par la valeur de Z = 1,65
ESPÉRANCE par la valeur 0 (loi normale centrée réduite)
ÉCART-TYPE par la valeur 1 (loi normale centrée réduite)
CUMULATIVE (Ceci indique que nous utilisons la fonction cumulative) par la valeur 1

Sélectionner une case du tableur excel et rentrer la formule

=LOI.NORMALE(1,96;0;1;1) puis valider.

On retrouve bien la valeur de 0,9505

Exercice 1

Calculer sous EXCEL

P(Z < 1,96) avec Z=N(0,1)
P(Z > 1,96) avec Z=N(0,1)
P(Z < 0) avec Z=N(0,1)
P(Z > 2) avec Z=N(0,1)
P(Z < -2) avec Z=N(0,1)
P(-2 < Z < 2) avec Z=N(0,1)
P(1 < Z < 1,5) avec Z=N(0,1)
P(Z > 8) avec Z=N(3, 5)
P(Z > 250) avec N(200, 40)
P(Z < 100) avec N(200, 40)
P(180 < Z < 220) avec N(200, 40)

Exercice 2

Une embouteilleuse un peu fatiguée remplit des bouteilles de 1 litre. En moyenne, les bouteilles contiennent bien 100 cl mais il existe un écart-type de 1,5 cl.

Quelle est la probabilité qu’une bouteille contienne moins de 98 cl ?
Quelle est la probabilité qu’une bouteille contienne plus de 102,5 cl ?

Exercice 3

Calculer sous EXCEL la probabilité de l’aire hachurée sous la courbe, sachant que

Valeur x=25
Moyenne μ =20
Ecart-type σ=2

VÉRIFIER VOTRE RÉSULTAT AVEC LA TABLE DE GAUSS

Partie 2 :

On a P(X ≤ a) = p

Dans cette partie, il s’agit de trouver la valeur d’une variable aléatoire X suivant une loi normale donnée, pour une probabilité p donnée, sachant que l’on connaît la moyenne, l’écart type.

Avec Excel on utilise la fonction

« LOI.NORMALE.INVERSE(p, moyenne, écart_type)” ”LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(p, moyenne, écart_type)”.

Exercice 4

Trouver a et b tels que

P(X < a) = 0, 975
P(Y < b) = 0, 9)

Exercice 5

Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque chanson stockée sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que X suit la loi normale d’espérance 200 et d’écart-type 20.
On écoute un morceau musical au hasard.

Donner une valeur approchée à 10 ^-3 près de P (180 ≤ X ≤ 220).
Donner une valeur approchée à 10 ^-3 près de la probabilité que le morceau choisi dure plus de 4 minutes.
Sachant que P (X ≤ x) = 0,160 , déterminer x.
Que peut-on en conclure ?

On retient :