Fourier par Deltheil & Leconte

        Les trois derniers sous-chapitres de l’ouvrage de Deltheil et Leconte, Éléments de calcul différentiel et de calcul intégral, traitent des transformées de Fourier. L’ouvrage fut publié en 1926, à une époque les idées de Fourier n’avaient pas encore trouvé la pleine efficacité qu’elles ont aujourd’hui dans la recherche, l’industrie, les communications. La présentation qu’en font les auteurs qui est caractéristiques de l’époque : en ce temps, les séries et la transformation de Fourier donnent matière à exercices illustrant le calcul différentiel et intégral.

Notons la remarque de la page 204 : « La théorie rigoureuse des séries trigonométriques est difficile et nous devrons, le plus souvent, nous borner à énoncer des résultats sans les démontrer. » De nos jours, les méthodes de Fourier ont donné naissance à d’incontournables outils largement utilisés par les techniciens, cependant cette remarque reste vraie : nous cherchons toujours le pédagogue qui saura donner à un public étendu, une vue en profondeur des questions qui préoccupaient Joseph Fourier.

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 R. Deltheil et Th. Leconte, Éléments de calcul différentiel et de calcul intégral, tome 1, 220 p. Collection Armand Colin, section de mathématiques, n°72, 1926, (6e édition – 1941)

Extrait de la troisième partie, les développements en séries,  chapitre X, III, séries trigonométriques ; p. 204 à 216 :

 

83. Série de Fourier d’une fonction donnée.

Euler a montré que si une fonction donnée f(x) est, dans un intervalle d’étendue 2?, égale à la somme de la série trigonométrique :

a₀ + a₁ cos x + b₁ sin x+ … + an cos nx + bn sin nx + …

les coefficients de la série s’expriment simplement au moyen de la fonction  f(x). Ce calcul repose sur la possibilité, que nous admettrons[1], d’intégrer les séries trigonométriques représentant les fonctions que nous envisagerons.

Plaçons-nous, par exemple, dans l’intervalle (-?, ?). Le terme constant a₀ se calcule en intégrant,  f(x) et la série de – ? à ? ; comme les fonctions cos nx, sin nx admettent pour primitives sin nx / n, – cos nx/n, les intégrales de tous les termes sont nulles, sauf celle du terme constant et l’on peut écrire :

le terme constant est donc la valeur moyenne de la fonction f(x) dans l’intervalle (-?, ?). Le coefficient a_n se calcule en intégrant de –? à ?. la fonction f(x) cos nx et, terme à terme, la série multipliée par cos nx ; l’intégrale du terme a₀ cos nx est nulle, de même que celles des termes   a_p cos nx cos px (n ? p) ,   b_p cos nx sin px   (quels que soient n et p) (§ 65) ; quant à l’intégrale du terme a_n cos² nx, elle est égale à ?a_n (§ 65) ; le calcul de b_n est analogue, d’où les formules :

a_n b_n sont donc égaux aux doubles des valeurs moyennes des fonctions  f(x) cos nx, f(x) sin nx dans l’intervalle (-?, ?). L’interprétation géométrique de ces coefficients est intéressante ; la figure 63 donne celle de a₄ :

 

les courbes C, C’ représentent les fonctions f(x), –f(x), la courbe en trait plein, la fonction f(x) cos 4x (§ 39, 5°) ; ?a₄ est la somme algébrique des aires indiquées par des teintes grises, les aires placées au-dessus de Ox étant positives, celles placées au-dessous étant négatives.

C’est d’abord à propos de la vibration des cordes (ex. 35 et des fonctions périodiques qui s’introduisent dans cette étude que s’est posé le problème de la représentation d’une fonction par une série trigonométrique. Mais le calcul des intégrales qui fournissent les coefficients est pénible pour les fonctions périodiques les plus simples. Le véritable intérêt du problème n’est pas là, ainsi que l’ont montré la théorie et les applications. Il se trouve dans le fait que les formules d’Euler ont un sens pour toute fonction, périodique ou non, et conduisent à une série trigonométrique attachée à cette fonction, série appelée série de Fourier de la fonction, pour rappeler que Fourier, le premier, a appelé l’attention sur le degré de généralité du résultat. Dirichlet a ensuite montré que, moyennant des conditions très larges, la série de Fourier d’une fonction f(x) est convergente et a pour somme f(x) dans l’intervalle considéré d’étendue 2?. L’énoncé précis de Dirichlet est le suivant :

Soit une fonction f(x) continue dans un intervalle d’étendue 2?, sauf en un nombre fini de points où il y a discontinuité de première espèce (valeurs limites à gauche et à droite, saut brusque, § 10, fig. 12), et admettant dans cet intervalle un nombre fini de maxima et de minima. La série de Fourier de cette fonction est convergente. Sa somme est f(x) dans tout l’intervalle sauf aux extrémités et aux points de discontinuité ; en un point de discontinuité, la somme de la série de Fourier est la demi-somme des valeurs limites de f(x), à gauche et à droite ; aux extrémité de l’intervalle, (-?, ?) par exemple, la somme de la série de Fourier est la demi-somme des nombres f(-?), f(?).

 

84. Applications. –

1° Soit à trouver la série de Fourier de la fonction x/2 envisagée dans l’intervalle (-?, ?).

Les intégrales qui donnent les coefficients a portent sur des fonctions impaires parce que la fonction donnée est elle-même impaire ; leurs limites sont opposées ; les aires qu’elles représentent sont formées de deux parties, limitées par Oy, ayant des valeurs opposées; ces coefficients sont donc nuls. Le calcul de b_n se fait simplement et donne :

Cette série est convergente et a pour somme x/2 a l’intérieur de l’intervalle (-?, ?) d’après le théorème de Dirichlet, et nous vérifions qu’elle a bien pour valeur, aux extrémités -?, ? de l’intervalle, la moyenne arithmétique, zéro, des valeurs prises par la fonction. La somme de cette série définit, x variant de  moins l’infini à plus l’infini, une fonction périodique de période 2?, discontinue pour tous les multiples impairs de ? (fig. 64).

2° Cherchons la série de Fourier de la même fonction x/2 envisagée dans l’intervalle 0, 2?. Les formules qui donnent les coefficients sont analogues aux précédentes, le seul changement porte sur les limites des intégrales qui sont ici 0, 2? ; mais le calcul de certains coefficients n’est plus immédiat par des considérations de symétrie et il y a ici à utiliser les primitives x²/4 de x/2 et (x sin nx)/2n + cos nx / 2n² de (x cos x)/2 . On Parvient ainsi à la série ?/2 – sin x – (sin 2x)/2 + (sin 3 x) /3 …  sur laquelle on fera des remarques analogues à celles que nous avons présentées à propos de l’exemple précédent. 

La figure 65 donne la représentation graphique de la fonction périodique définie comme somme de cette série ; la comparaison des figures 64 et 65 suggère le moyen de passer de la seconde fonction à la première par le changement de y en (? /2) + y, de x en (? + x), ce qui se vérifie sur les séries.

 3° Cherchons la série de Fourier de la fonction égale à – ? /4 de – ? à 0, à  ?/4 de 0 à ? ; la série obtenue sera nulle pour x=- ?, x= ? (et pour tout multiple impair de ? ), puisque zéro est la demi-somme des valeurs de la fonction aux extrémités de l’intervalle ; mais elle le sera aussi pour x=0 (et pour tout multiple pair de – ?), parce que la fonction proposée est discontinue pour cette valeur et que zéro est la demi-somme des valeurs limites de la fonction à gauche et à droite.

visiblement, les coefficients a sont nuls ; b_n est égal à 1/n ou est nul suivant que n est impair ou pair : d’où la série : sin x + (sin 3x)/3 + (sin 5x) / 5 +….   dont la somme est une fonction de x représentée graphiquement sur la figure 66.

On remarquera que dans les trois exemples que nous venons de traiter, les séries obtenues convergent d’après le théorème de Dirichlet et non en vertu des règles de convergence que nous avons données (ex. 223) ; de plus, il n’entre que 1/n au dénominateur du terme général, nous ne sommes pas dans le cas où la convergence est normale ; il est intéressant de rapprocher ces remarques de la constatation que, dans ces trois cas, la somme de la série présente des discontinuités.

 4° Cherchons la série de Fourier de la fonction égale à |x/2| lorsque x varie de – ? à ?. L’intérêt présenté par cet exercice est le suivant : la fonction considérée, bien que formée de l’association de deux fonctions distinctes, x/2 et –x/2, est continue dans l’intervalle (– ? à ?) et elle prend même valeur ?/2 aux extrémités de l’intervalle ; la série de Fourier obtenue sera donc une fonction continue pour toute valeur de x (fig. 67).

La fonction donnée étant paire, les deux intégrales qui donnent b_n ont des valeurs opposées parce que les intervalles d’intégration sont formés de valeurs opposées ; les coefficients a sont donc nuls ; les coefficients a se calculent aisément : a₀= ?/4, a_n est égal à – 2/?n² ou à zéro suivant que n est impair ou pair ; nous obtenons donc la série :

  ?/4 – 2/? (cos x + (cos 3x )/3²+…) qui est normalement convergente quel que soit x, fait à rapprocher de la propriété de la somme de cette série d’être une fonction continue quel que soit x.

5° Dans les exemples précédents, nous avons cherché la série de Fourier d’une fonction impaire définie dans l’intervalle (-? à ? ) (fig. 64, 66) et nous n’avons trouvé que des termes en sinus ; nous avons cherché (fig. 67) la série de Fourier d’une fonction paire définie dans l’intervalle (-? à ?) et nous n’avons trouvé que des termes en cosinus.

Ces résultats sont généraux ; si f(x) est impaire, l’intégrale de f(x) ou celle de f(x) cos nx de – ? à ? est nulle, car cette intégrale se représente géométriquement par une aire formée de deux parties dont les valeurs sont opposées ; si f(x) est paire, l’intégrale de f(x) sin nx de -? à ? est nulle pour une raison analogue ; cette remarque permet d’annuler a priori les coefficients a dans le premier cas, les coefficients b dans le second.

 6° Les exemples 1, 2, 4 nous ont conduits à trois développements de la fonction x/2, en séries trigonométriques, valables dans l’intervalle (0, ?) ; c’est une remarque importante et facile à justifier qu’une fonction donnée peut posséder une infinité de développements en séries trigonométriques dans un intervalle d’étendue moindre que 2 ?. Soit en effet la fonction f(x) dans l’intervalle (0, ?) par exemple ; associons-lui la fonction g(x) choisie quelconque dans l’intervalle (-?, 0) ; supposons cependant que la fonction h(x) ainsi définie dans l’intervalle (-?, ?) satisfasse aux conditions de Dirichlet ; écrivons son développement en série de Fourier, le développement obtenu dépendra évidemment du choix de g(x) ; en particulier, si h(x) est paire, condition qui détermine g(x), le développement ne contiendra que des cosinus ; si h(x) est impaire, condition qui détermine g(x), le développement ne contiendra que des sinus.

 7° Nous avons eu l’occasion dans les exemples qui précèdent de donner une idée du rapport qui existe entre la rapidité de la convergence d’une série de Fourier et le fait que sa somme présente ou non des discontinuités. En vue d’insister sur ce point, cherchons la série de Fourier de la fonction égale à (1 – cos x) = 2 sin² x, de 0 à ? et qui est impaire, ce qui achève de la déterminer dans l’intervalle (-?, ?). Les coefficients a sont nuls ;

Cette série a pour somme une fonction f(x) toujours continue (fig. 68, courbe en traits pleins), dont la dérivée f’(x), périodique comme f(x), est égale à 2sin 2x, de 0 à ?, à -2sin 2x, de -? à 0, et est toujours continue (fig. 68, courbe en traits pointillés).

Ces résultats sont à rapprocher du fait que la terme général de la série de Fourier trouvée contient n³ au dénominateur, que le terme général de la série dérivée

contient n² au dénominateur ; la série dérivée est donc normalement convergente et par suite (§7, elle représente f’(x).

Dans le même ordre d’idées, il est bon de remarquer que les séries trigonométriques de termes généraux aⁿ sin nx, aⁿ cos nx,  ?a? < 1, dont nous avons trouvé les sommes dès le début, sont dérivables terme à terme autant de fois qu’on le voudra.

 

85. Cas d’une période quelconque.

La série trigonométrique a₀ +a₁ cos ?t + b₁ sin ?t + a₂ cos 2?t + b₂ sin 2?t+…. dans laquelle ? est un nombre et t la variable, a pour somme, lorsqu’elle est convergente, une fonction périodique de période T=2 ?/? ; elle se ramène à la forme adoptée jusqu’ici par le changement de variable ?t=x ; on dit que la partie a₁ cos ?t+b₁ sin ?t ou u₁ sin (?t+a₁), de période T est le terme fondamental ; la partie en n?t, de période T/n est le n^ième  harmonique.

Pour représenter dans l’intervalle (a, b), a < b, une fonction f(t) par une série trigonométrique qui admette pour période b – a=T=2 ?/? on opérera le changement de variable ?t = x ; on obtiendra la fonction f(x/?), x variant dans l’intervalle (?a, ?b) d’étendue 2 ?, et on cherchera la série de Fourier de cette fonction. En modifiant légèrement, le changement, de variable, soit ?t = x + c, on peut faire en sorte que l’intervalle de variation de x soit un intervalle quelconque d’étendue 2 ? ; ainsi, pour obtenir l’intervalle (-?, ?), il suffit de choisir c= (? (a + b))/2

 Comme application, cherchons le développement, de la fonction f(t) qui de 0 à T/2 est égale à zéro et de T/2 à T est égale à a.

Si l’on transporte les axes O’t’, O’y’, O’ étant le point de coordonnées T/2, a/2 (fig. 69), on se trouve ramené, aux dimensions près, au cas de la figure 66 ; on obtient donc le développement :

2a/ ? (sin (2 ?t’/T) + 1/3 sin (6 ?t’/T) + ….)

et, puisque y = y’ + a’/2,  t = t’ + T/2, le développement cherché est

a/2 – 2a/ ? (sin (2 ?t/T) + 1/3 sin (6 ?t/T) + ….).

 

Exercices

Exercice : 216. Développer en série trigonométrique la fonction 1/(2+ cos x).

(Écrire

et calculer a de manière à obtenir à un facteur constant près 2 + cos x au dénominateur.)

 Exercice : 217. Trouver la série de Fourier de la fonction égale à – sin x de –? à 0 et à sin x de 0 à ?), de la fonction égale à e^x de –? à ?, de la fonction égale à e^x, de 0 à 2?, de la fonction égale à x²/4 de –? à ?. On peut retrouver les coefficients de ce dernier développement (sauf a₀) en intégrant terme à terme la série qui donne x/2 de -? à ?.

 Exercice : 218. – Trouver les développements en séries trigonométriques de période T, des fonctions de t suivantes :

1° celle qui est nulle, t variant de 0 à T/3, égale à a/2 de T/3 à 2T/3, égale à a de 2T/3 à T ;

2° celle qui est égale à  a((tT/2) + t²) de –T/2 à 0, égale à  a((tT/2) –t²) de 0 à T/2 (les deux arcs de paraboles représentatifs sont tangents à l’origine) ;

 3° celle qui donne l’abscisse d’un point animé sur une droite d’un mouvement périodique ainsi défini : du temps 0 au temps T/2, le mobile va de A en B, AB = a, avec une vitesse constante v et du temps T/2 au temps T revient de B en A avec la même vitesse (suivre les indications du § 85).

 Exercice : 219. – La série de Fourier d’une fonction f(x) définie dans un intervalle d’étendue 2?, (0, 2?) par exemple, et telle que  f(x+ ?) = –f(x) ne contient pas de sinus et cosinus des  multiples pairs de X.

 Exercice : 220. – Dans la fonction f(t) =  u₀ + u₁ sin (2 ? t/T + ?₁) +… on remplace t par , t+? (décalage de ?) ; écrire le développement de la fonction f(t) + f(t+ ?)

(Appliquer la formule sin p + sin q = 2 sin (p+q)/2 cos (p–q)/2 ). Cas d’un décalage de T/2.

 Exercice : 221.-Dans la fonction f(t) =  u₀ + u₁ sin (2 ? t/T + ?₁) +… on opère des décalages de T/3, 2T/3. Montrer que le développement de la fonction f (t + T/3) + f (t + 2T/3) est de la forme :

Exercice : 222. – La valeur efficace I (§ 53) de la fonction f(t) =  u₀ + u₁ sin (w t + ?₁) + u₂ sin (2 ? t + ?₂) + … pour la période 2 ? /? est donnée par l’égalité  I² = u₀² +(( u₀²+ u₁²)/2) +…

(Admettre qu’on peut élever la série au carré, ce qui est démontré pour nous lorsque la série ?u_n? est convergente. Seules les intégrales relatives aux termes carrés ne sont pas nulles.)

Appliquer à la fonction  x/2 qui dans l’intervalle (-?, ?) admet pour développement sin x + sin 2x /2 + sin 3x /3 … et en déduire que le nombre S = 1 + 1/2² + 1/3² +1/4² +…. est égal à ? ²/6.

Appliquer à la fonction égale à – ? /4 de – ?  à 0 de 0 à ?  qui admet le développement sin x + sin 2x/2 + sin 3x /3 … et en déduire que le nombre S = 1 + 1/3² + 1/5² +… est égal à ? ²/8.

 D’ailleurs, la relation S = S + S/4 s’obtient immédiatement en sommant séparément dans S, les termes pris de deux en deux.

Exercice : 223. a₀ + a₁ cos x + a₂ cos 2x +… est convergente (sauf peut-être pour x = 2k ? ) si les nombres a sont positifs, décroissent et tendent vers zéro (montrer, en appliquant la formule : 2 cos px  sin x/2 = (sin (2p+1)/2)x  – (sin (2p-1)/2)x  que 2S_n sin x/2  est égal à : a₀ + a₁ sin x/2 + (a₀ – a₁)  sin x/2 +… + (a_n-1 – a_n)  sin ((2n-1)/2)x + a_n sin ((2n+1)/2)x.

 Laissant de côté le dernier terme, qui tend vers zéro, on obtient la somme des (n+1) premiers termes d’une série absolument convergente puisque le terme général est inférieur en valeur absolue à a_n-1 – a_n, terme général d’une série positive convergente. La méthode s’applique également à la série b₁ sin x + b₂ sin 2x + … les nombres positifs b décroissant et tendant vers zéro. Exemples : les séries de termes généraux cos nx/n, (x ? 2k?), sin nx/n sont convergentes.

 

[1] La théorie rigoureuse des séries trigonométriques est difficile et nous devrons, le plus souvent, nous borner à énoncer des résultats sans les démontrer.