Définition de l’implication :
L’implication s’écrit : A => B.
En logique formelle, une implication est un connecteur qui relie 2 propositions (vraies ou fausses) qui exprime que :
– B (le conséquent) est la condition nécessaire de A (l’antécédent).
– A est la condition suffisante de B.
En dépit de sa notation (?) qui pourrait laisser suggérer une relation de cause à effet, le temps ne joue pas de rôle.
En logique formelle, l’implication n’a donc pas de caractère séquentiel ou chronologique.
La contraposée d’une implication :
La contraposition est un type de raisonnement logique consistant à affirmer une implication (« si A alors B ») et à poser ensuite la négation du conséquent (« or, Non B ») pour en déduire la négation de l’antécédent (« donc Non A »). En d’autres termes, puisque la cause d’une implication engendre la conséquence, alors l’absence de la conséquence implique automatiquement l’absence de la cause.
exemples :
- « si je bois (A), alors je ne dois pas conduire (B). » -> la contraposée est : « si je dois conduire (Non B) , alors je ne bois pas (Non A). »
- « s’il fait beau (A), alors Bernard porte une cravate jaune (B) » -> la contraposée est : « Si Bernard ne porte pas de cravate jaune (Non B), alors il y a du mauvais temps (Non A). »
L’implication et sa réciproque :
Il faut bien distinguer la contraposée de la réciproque : la réciproque de « A implique B » est « B implique A ».
Le fait que l’une soit vraie ne dit rien sur l’autre à moins qu’on ait montré, par ailleurs, qu’il existe une équivalence entre A et B (« A si et seulement si B ») auquel cas, l’implication et la réciproque sont toutes deux vraies ensemble ou fausses ensemble.
Ainsi, même si l’implication « s’il pleut, alors le sol est mouillé » est vraie, on ne peut rien en déduire sur sa réciproque (« si le sol est mouillé, alors il pleut »), qui en l’occurrence peut être fausse.
L’implication et la négation de l’antécédent :
Il ne faut pas confondre non plus la contraposition avec la négation de l’antécédent « non-A implique non-B » (« s’il ne pleut pas, alors le sol n’est pas mouillé ») qui, elle, n’est pas équivalente à l’implication mais à sa réciproque (c’est en fait la contraposée de la réciproque).
Utiliser la négation de l’antécédent conduit à un raisonnement faux ou sophisme.
En effet, dans notre exemple le sol peut avoir été mouillé par autre chose que la pluie, de même que le sol peut être encore mouillé alors que la pluie s’est arrêtée, ce n’est donc pas parce qu’il ne pleut pas que le sol n’est pas mouillé.
Différence entre implication et équivalence :
Voici un exemple de relation d’implication : « il fait beau » ? « je suis heureux ». Cette proposition est vraie si je suis toujours heureux quand il fait beau.
À ne pas confondre avec la relation d’équivalence qui elle implique que je ne sois heureux QUE lorsqu’il fait beau. Cette confusion est à l’origine du sophisme de l’affirmation du conséquent.
La relation d’implication représente le SI (?) une condition suffisante dans un sens, une condition nécessaire dans l’autre : dans A ? B, A est une condition suffisante de B, et B est une condition nécessaire de A.
La relation d’équivalence représente le SI ET SEULEMENT SI (?), une condition nécessaire et suffisante ;
A ? B équivaut à (A ? B) ET (B ? A)
Table de vérité par l’exemple :
| Proposition A |
Implique |
Proposition B |
Résultat |
| Il pleut (vrai) |
=> |
Le sol est mouillé (vrai) |
vrai |
| Il pleut (vrai) |
=> |
Le sol n’est pas mouillé (faux) |
faux |
| Le sol n’est pas mouillé (faux) |
=> |
Il ne pleut pas (faux) |
vrai (1) |
| Il ne pleut pas (faux) |
=> |
Le sol est mouillé (vrai) |
vrai (2) |
(1) Dans ce cas, on exprime la contraposée de l’implication qui consiste à exprimer la négation du conséquent pour en déduire la négation de l’antécédent. En d’autres termes, puisque la cause d’une implication engendre la conséquence, alors l’absence de la conséquence implique automatiquement l’absence de la cause.
(2) Une implication dont le conséquent est vrai est toujours vraie, quelle que soit la valeur de l’antécédent.
Explication :
Cette propriété non intuitive n’est pas démontrable bien que faisant partie intégrante de l’axiomatique de l’implication. En revanche, il est possible de la justifier, c’est-à-dire de montrer que cette propriété se fonde sur une forme d’expérience.
Justification :
Raisonnons causalement pour faciliter la compréhension du raisonnement.
Le conséquent de l’implication représente ici la conséquence et l’antécédent la cause.
Or, la conséquence (« le sol est mouillé ») admet plusieurs causes possibles.
(le sol peut être mouillé alors qu’il s’est arrêté de pleuvoir)
Autre exemple :
L’implication « Ne pas boire de thé (faux) implique de faire chauffer de l’eau (vrai) » est vraie.
La cause est ici « faire chauffer de l’eau » et la conséquence « boire du thé »
Or, la cause « chauffer de l’eau » admet plusieurs conséquences possibles.
(ce n’est pas parce que on fait chauffer de l’eau qu’on va boire du thé)
Ces deux exemples montrent la propriété suivante:
Quel que soit le rapport de causalité entre l’antécédent et le conséquent, lorsque dans une proposition le conséquent (B) admet l’antécédent (A) et la négation de l’antécédent (non A), l’implication est toujours vraie.
A => B est vrai
Non A => B est vrai
L’implication indéterminable :
« Si je mens alors cette phrase est vraie. »
Cette phrase est-elle vraie ou fausse ?
Si elle est vraie, celui qui parle ment. Donc ce qu’il dit est faux, donc la phrase est fausse.
Ce qui revient à formuler la contraposée de l’implication :
« Si cette phrase est fausse alors je ne mens pas. »
Mais si elle est fausse, alors celui qui parle ne ment pas, donc la phrase est vraie.
Ce qui revient à formuler la contraposée de la contraposée, c’est-à-dire l’implication initiale.
« Si je mens alors cette phrase est vraie. »
Conclusion : si la phrase est vraie, elle est fausse, mais si elle est fausse, elle est vraie !
Donc elle ne peut être ni vraie ni fausse.
Le principe du tiers exclu (toute proposition A est vraie ou fausse) est donc violé.
Nous avons un exemple d’implication autoréférentielle indéterminable.
