Comprendre Joseph Fourier – préliminaires 1 – angle droit
Comprendre Joseph Fourier
Angle droit
La catégorie « pédagogie » dans ce blog dédié à Fourier, sa vie, son œuvre, ne vise pas à présenter avec rigueur et exhaustivité un cours sur l’œuvre mathématique de Joseph Fourier, mais à planter quelques jalons pour orienter le lecteur. L’œuvre de Joseph Fourier aborde à un niveau élevé des questions délicates de la généralisation de notions qui n’ont été vraiment utilisées qu’à partir de la fin du XIXe siècle et ont donné leur pleine mesure à la fin du XXe siècle. Ces deux points (difficulté et exploitation tardive) ont entraîné, hors de milieux très étroits de spécialistes, une longue méconnaissance de l’homme et de son œuvre. Aujourd’hui encore, bien que les transformées de Fourier soient utilisées dans de multiples applications qui seraient inefficaces sans elles, Fourier reste inconnu du grand public.
Nous allons tenter de présenter en quelques billets les domaines de pensée où l’apport de Joseph Fourier a été déterminant pour le développement de la science des XXe et XXIe siècles. La pensée de Joseph Fourier nécessite très vite une bonne maîtrise des dérivées partielles, des équations différentielles, toutes techniques étudiées après le baccalauréat dans les grandes écoles scientifiques ou les sections mathématiques des facultés de sciences. Nous supposerons que nos lecteurs maîtrisent les seules mathématiques exigées au baccalauréat, aussi n’entreront nous pas dans le détail de démonstrations ardues, nous en tenant souvent à des généralités accessibles à l’honnête homme.
En préliminaire, nous reviendrons d’abord sur des notions très souvent utilisées par Joseph Fourier, soit implicitement, soit explicitement. Ces notions sont toujours plus ou moins sous-jacentes et imbriquées : Préliminaire1 : Angle droit; Produit scalaire; Fonctions orthogonales ; Préliminaire2 : – Notion de vecteur; Préliminaire3 : Les invariants en mathématique
L’angle droit joue un rôle très important dans la vie pratique et a fortiori en sciences et plus particulièrement en mathématiques. C’est le premier angle à être étudié dès le début de la scolarité obligatoire. Il est lié à la notion de perpendicularité (deux droites perpendiculaires). On peut aussi le définir comme moitié d’un angle plat.
Au collège, l’angle intervient notamment à travers le théorème de Pythagore : un triangle est rectangle si et seulement si les longueurs de ses cotés vérifient a² + b² = c², ce qui amorce un lien entre géométrie et relation numérique
La notion se généralise à l’espace où on aura des droites perpendiculaires à des plans, mais aussi des droites orthogonales entre elles sans qu’elles soient nécessairement sécantes.
On verra plus loin qu’à travers les vecteurs cette notion d’orthogonalité pourra se généraliser et s’algébriser, à travers le produit scalaire qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que deux vecteurs soient orthogonaux.
Ainsi, les outils de Fourier généralisent et exploitent la notion d’orthogonalité (cf. paragraphe ‘dimension infinie’) sur les fonctions.
En physique, lorsque dans des fonctions apparaissent des sommes de carrés, elles représentent une notion d’énergie associée aux grandeurs mesurées. C’est le cas notamment de l’énergie associée à une onde électromagnétique (optique).
