Comprendre Fourier, vecteur

Comprendre Joseph Fourier – préliminaires 2 – vecteur, produit scalaire

Comprendre Joseph Fourier

Qu’est-ce qu’un vecteur ?

La catégorie « pédagogie » dans ce blog dédié à Fourier, sa vie, son œuvre, ne vise pas à présenter avec rigueur et exhaustivité un cours sur l’œuvre mathématique de Joseph Fourier, mais à planter quelques jalons pour orienter le lecteur. L’œuvre de Joseph Fourier aborde à un niveau élevé des questions délicates de la généralisation de notions qui n’ont été vraiment utilisées qu’à partir de la fin du XIX^e siècle et ont donné leur pleine mesure à la fin du XX^e siècle. Ces deux points (difficulté et exploitation tardive) ont entraîné, hors de milieux très étroits de spécialistes, une longue méconnaissance de l’homme et de son œuvre. Aujourd’hui encore, bien que les transformées de Fourier soient utilisées dans de multiples applications qui seraient inefficaces sans elles, Fourier reste inconnu du grand public.

Nous présentons quelques billets concernant les domaines de pensée où l’apport de Joseph Fourier a été déterminant pour le développement de la science des XX^e et XXI^e siècles. La pensée de Joseph Fourier nécessite très vite une bonne maîtrise des dérivées partielles, des équations différentielles, toutes techniques étudiées après le baccalauréat dans les grandes écoles scientifiques ou les sections mathématiques des facultés de sciences. Nous supposerons que nos lecteurs maîtrisent les seules mathématiques exigées au baccalauréat, aussi n’entreront nous pas dans le détail de démonstrations ardues, nous en tenant souvent à des généralités accessibles à l’honnête homme.

 En préliminaire, nous reviendrons d’abord sur des notions très souvent utilisées par Joseph Fourier, soit implicitement, soit explicitement. Ces notions sont toujours plus ou moins sous-jacentes et imbriquées : Préliminaire1 : Angle droit ; Produit scalaire ; Fonctions orthogonales – Préliminaire2 : – Notion de vecteur – Préliminaire3 : Les invariants en mathématique

 

Les vecteurs ont été introduits progressivement en sciences, notamment dans l’étude des forces. Dans ce cadre, un vecteur est la composante d’une force sur les dimensions de espace euclidien (R², plan à deux dimensions) ou de l’espace à trois dimensions, R³. Leur étude purement algébrique a commencé à être explorée par William Rowan Hamilton (1805 – 1865) qui publie en 1843 sa découverte du corps des quaternions, de dimension quatre.

 En s’affranchissant des restrictions à R² et R³, la définition du vecteur peut être élargie et s’appliquer à de nombreux domaines. Le calcul vectoriel définit les règles applicables dans tous les cas, quel que soit le champ de définition du vecteur.

 Nous prendrons quelques exemples inhabituels de vecteurs pour montrer la généralité de la notion.

 Exemple 1 :

Un questionnaire médical demande la température corporelle et la tension artérielle. Ces deux données forment un vecteur à deux composantes sur un espace vectoriel à deux dimensions. Ce vecteur permet de classer les patients en ‘potentiellement sain’ ou ‘potentiellement malade’.

 Il est possible d’enregistrer les deux données ci-dessus en continu pour un même patient. Cet enregistrement est une fonction du temps qui est définie dans l’espace vectoriel défini ci-dessus.

 Exemple 2 :

Questionnaire sociologique à quarante items (du type agent recenseur : sexe, âge, profession, locataire/propriétaire…. ) fournit un autre exemple de vecteur (sur un espace vectoriel de dimension quarante).

 Il peut sembler anachronique de lier le nom de Fourier à la notion de vecteur, cependant, outre que Fourier avait certainement une assez claire vision de ce qui deviendra un vecteur, les développements du calcul vectoriel doivent beaucoup aux théories de Fourier.

Produit scalaire

Sur R² : aux vecteur u = (u₁, u₂) et v = (v₁, v₂), on associe le scalaire (le nombre)

<u.v> = u₁ v_{1 +} u₂ v₂

Le produit scalaire est maximum en valeur absolue si les vecteurs sont colinéaires : |<u.v>| = |u₁ v_{1 +} u₂ v_2|

Ce maximum du produit scalaire est un moyen de déterminer si deux vecteurs ont même direction.

 En terme de relevé de données : des vecteurs (ensemble de données) seront d’autant plus dépendants que leur produit vectoriel sera maximum ; cette remarque ouvre le champ de l’étude de la corrélation des données enregistrées.

Le produit scalaire se généralise naturellement aux espaces vectoriels autres que R².

b) Généralisation du produit scalaire :

Hors de toute prétention géométrique plane, on généralise la notion de vecteur :

u = (u₁, u_2,….)             v = (v₁, v_2,….)

les u_n  v_n sont alors des valeurs en nombre indéfini qui peuvent être des mesures, discrètes ou continues, d’un ou plusieurs paramètres.

Si le relevé de ces mesures n’est plus ponctuel, mais s’effectue de façon continue, la série des u_n devient une fonction. En tant que fonction elle est approchable selon les méthodes de Fourier, il est alors loisible de l’écrire comme somme de sinus et cosinus. Lorsque la fonction est périodique, on parle de Série de Fourier (et on peut égrener les coefficients des sinus et des cosinus). Lorsque la fonction n’est pas périodique, on parle de transformée de Fourier (il n’existe alors pas de fondamentale, toutes les harmoniques sont présentes ; le calcul des coefficients est alors ardu et la détermination des coefficients nécessite le recours à la puissance de calcul des ordinateurs).

Le produit scalaire se généralise :  <u.v> = u₁ v_{1 +} u₂ v_{2 +}…. + u_n v_n

 Une des propriétés du produit scalaire est d’être nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux.

Réciproquement, sa nullité implique des directions orthogonales.