Objectifs :
– Connaître et utiliser la médiatrice (équidistance des points).
– Construire le cercle circonscrit à un triangle.
– Connaître et utiliser la médiane.

I – Différents triangles

Il existe plusieurs types de triangles :
– le triangle quelconque : aucune particularité.
– le triangle isocèle : deux côtés de même longueur ; deux angles de la base de même mesure.
– le triangle équilatéral : trois côtés de même longueur ; trois angles égaux.
– le triangle rectangle : un angle droit.
– le triangle isocèle rectangle.

II – Droites  et points particuliers du triangle.

• les médiatrices d’un triangle se rencontrent en un point le centre du cercle circonscrit au triangle.
  Rappel : Une médiatrice d’un segment est une droite qui passe perpendiculairement par le milieu de ce segment.
• les médianes d’un triangle se rencontrent en un point le centre de gravité du triangle.
  Rappel : Une médiane d’un triangle est la droite qui passe par le milieu d’un côté et passe par le sommet opposé.
• (abordé dans un chapitre futur) Les hauteurs d’un triangle se rencontrent en un point l’orthocentre du triangle.
  Rappel : Une hauteur d’un triangle est une droite qui est perpendiculaire à un côté et passe par le sommet opposé.
• Les bissectrices d’un triangle se rencontrent en un point le centre du cercle inscrit dans le triangle.
  Rappel : Une bissectrice d’un angle est une droite qui partage un « angle » en deux « angles » égaux.

III – Propriétés du triangle rectangle

Propriété : Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans le cercle dont un diamètre est l’hypoténuse du triangle.

Remarques :
Le centre du cercle est le milieu de l’hypoténuse, ici c’est le point O.
Le rayon du cercle mesure la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

Propriété : Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane relative à son hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de son hypoténuse.

IV – Reconnaître un triangle rectangle

Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l’un de ces côtés, alors ce triangle est rectangle.

Propriété : Si, dans un triangle, la longueur d’une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, alors ce triangle est rectangle (et le côté correspondant est l’hypoténuse du triangle).