Objectifs du chapitre :
– Déterminer les diviseurs d’un nombre entier.
– Déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers.
– Déterminer le PGCD de deux nombres entiers.
– Déterminer si deux nombres sont premiers entre eux.
– Rendre une fraction irréductible.

0 – Rappels : Les critères de divisibilité.
Un nombre est divisible …
… par 2 : si il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
… par 3 : si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (c’est-à-dire dans la table de 3).
… par 4 : si ces deux derniers chiffres sont divisibles par 4.
… par 5 : si il se termine par 0 ou 5.
… par 9 : si la somme de ses chiffres est divisible par 9 (c’est-à-dire dans la table de 9).

Exemple : le nombre 12 345
12 345 ne se termine pas par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. Donc 12 345 n’est pas divisible par 2.
12 345 se termine par un 5. Donc 12 345 est divisible par 5.
1+2+3+4+5=15.
15 est dans la table de 3. Donc 12 345 est divisible par 3.
15 n’est pas dans la table de 9. Donc 12 345 n’est pas divisible par 9.
45 n’est pas dans la table de 4. Donc 12 345 n’est pas divisible par 4.

Exercice : Choisis un nombre et vérifie tous les critères de divisibilité.

I – La division euclidienne
Pour deux nombres entiers positifs a et b,
on effectue la division euclidienne de « a » par « b » , on peut ensuite écrire : a = b*q+r.

a est le dividende
b est le diviseur (toujours différent de 0)
q est le quotient
r est le reste 

Définitions : a et b deux nombres entiers positifs, avec b différent de 0.
On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier q tel que: a = b*q (c’est-à-dire le reste égal 0 dans la division euclidienne).
On dit aussi : « a est divisible par b » ou « a est un multiple de b » ou « b divise a« .

II – Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

1) Méthode « la liste des diviseurs »
On fait la liste des diviseurs de chacun des deux nombres.
On regarde tous les diviseurs communs aux deux nombres.
On prend le plus grand des diviseurs communs.

Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.
Les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.
Le Plus Grand Commun Diviseur de 60 et 24 est : 12. On note : PGCD(60 ; 24) = 12.

Les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 21.
Les diviseurs de 46 sont : 1 ; 2 ; 23 ; 46.
Le Plus Grand Commun Diviseur de 21 et 46 est : 1. On note : PGCD(21 ; 46) = 1.

2) Méthode « des soustractions successives »
Le principe de cette méthode de calcul est : un diviseur de deux nombres divise aussi la différence de ces deux nombres, et en particulier le PGCD de ces deux nombres.
On calcule ensuite la différence entre le plus petit des deux nombres et le résultat de la soustraction. On continue jusqu’à un résultat égal à zéro. Le PGCD est le dernier résultat non nul.

Exemple : Quel est le PGCD de 60 et 24 ?
60 – 24 = 36. Le PGCD de 60 et 24 est un diviseur de 46.
On continue avec le résultat obtenu et le plus petit des termes de la soustraction.
36 – 24 = 12. Le PGCD de 60 et 24 est un diviseur de 12.
24 -12 = 12
12 – 12 = 0.
Le PGCD est le dernier résultat non nul.
Ici, le PGCD de 60 et 24 est 12. On note : PGCD(60 ; 24) = 12.

Exemple : Calcul du PGCD de 189 et 105.
189 – 105 = 84
105 – 84 = 21
84 – 21 = 63
63 – 21 = 42
42 – 21 = 21
21 – 21 = 0
Le PGCD de 189 et 105 est 21. On note : PGCD ( 189 ; 105 ) = 21.

3) Méthode « des divisions successives » : l’algorithme d’Euclide.
Cette méthode est très utile pour des grands nombres !

On divise le plus grand des deux nombres par le plus petit ; puis on continue en divisant le plus petit des deux nombres par le reste. Le PGCD est le dernier reste non nul dans les divisions successives.

Exemple : Quel est le PGCD de 60 et 24 ?
60 = 2*24 + 12
24 = 2*12 + 0
Le PGCD de 60 et 24, le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide, est : 12.

Exemple : Calcul du PGCD de 1452 et 1020.
1452 = 1*1020 + 432
1020 = 2*432 + 156
432 = 2*156 +120
156 = 1*120 + 36
120 = 3*36 + 12
36 = 3*12 + 0
Le PGCD de 1452 et 1020 est 12. On note : PGCD ( 1452 ; 1020 ) = 12.