Objectifs:
– Identifier, dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre.
– Calculer la mesure d’un angle inscrit et d’un angle au centre
– Construire des polygones réguliers
– Utiliser des propriétés des polygones réguliers

I – Angle inscrit, angle au centre

Définition : Dans un cercle (C) de centre O, on considère trois points A, B et M appartenant au cercle (C).
L’angle AMB est un angle inscrit du cercle (C) et
l’angle AOB est un angle au centre du cercle (C).

Propriété : Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

Propriété : Dans un cercle, si deux angles interceptent le même arc de cercle,
alors ils ont même mesure.
Démonstration : Dans un même cercle, on considère deux angles inscrits qui interceptent un même arc. Les deux angles inscrits mesurent la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc.
Donc les deux angles inscrits ont la même mesure.

II – Polygones réguliers

Définition : Un polygone régulier est une figure a plusieurs côtés
dont tous les sommets appartiennent à un même cercle et
dont tous les côtés ont la même longueur.
Le centre du cercle est appelé centre du polygone régulier.

Vocabulaire : On considère un polygone régulier de centre O.
Les points A, B et C sont trois sommets consécutifs du polygone.
L’angle ABC est un angle du polygone. L’angle AOB est un angle au centre du polygone.

Propriété : n est un nombre entier strictement supérieur à 2.
Si un polygone est régulier à n côtés, alors tous ses angles au centre ont la même mesure égale à 360°/n.

Comment construire un polygone régulier ?
– Construire un cercle (C) de centre O.
– Placer un point A sur le cercle (C), c’est le premier sommet du polygone régulier.
– Placer un point B sur le cercle (C), en mesurant l’angle au centre AOB du polygone régulier.

Propriété : Si un polygone est régulier, alors tous ses angles ont la même mesure.

Propriété (admise) : Si un polygone est inscrit dans un cercle et si tous ses angles au centre ont la même mesure alors ce polygone est régulier.

Exercice : Choisir un nombre entier n. Calculer la mesure de l’angle au centre 360°/n.
Tracer ce polygone régulier.

EXERCICES THÉMATIQUES AU D.N.B.

Centre étrangers, juin 2014 (Ex 3).
Inde, avril 2011.
Métropole, juin 2014 (Ex 1)
Métropole, juin 2010.
Asie, juin 2014 (Ex 3)
Asie, juin 2009.