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N9 – Puissances

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Objectifs de ce chapitre :
– Connaître la définition d’une puissance.
– Connaître et utiliser les propriétés des puissances.
– Écrire un nombre en écriture scientifique.
– Algorithmes : utiliser les boucles (POUR et TANT QUE).

Activités d’introduction :

a) l’échiquier de Sissa :
« On place un grain de riz sur la première case d’un échiquier.
Si on double à chaque case le nombre de grains de la case précédente, combien de grains faut-il pour les 64 cases de l’échiquier ? »
> vidéo par Mickaël Launay : ( 3 min )

b) les bactéries : ( IREM – Rectorat Clermont-Ferrand )
Un laboratoire fait des recherches sur le développement d’une population de bactéries.
On a observé que le nombre de bactéries a été multiplié par 3 toutes les heures à partir du moment où l’étude a commencé.
Par combien le nombre de bactéries a-t-il été multiplié au bout de 24 heures ?

c) l’énigme du nénuphar :
Sachant qu’un nénuphar qui double de taille chaque jour et qu’il met 30 jours à recouvrir la totalité d’un étang,
combien de temps mettra t-il pour en recouvrir la moitié ?

I – Définition de la notion de puissance
La multiplication est une opération qui « résume » la répétition d’additions.
     Exemple : 4+4+4+4+4+4+4 = 7×4
La puissance est une opération qui « résume » la répétition de multiplications.
     Exemple : 3x3x3x3x3 = 

 est une puissance du nombre 3 et se lit « 3 exposant 5 » ou « 3 à la puissance 5 ».

II – Propriétés des puissances
On démontre les propriétés suivantes en revenant aux multiplications.

…

III -Puissances de dix et préfixes du Système International

On utilise des préfixes pour simplifier le nom et l’écriture de mesures exprimées en puissances de dix de certaines unités.

Préfixe giga méga kilo (unité) milli micro nano
Symbole G M k m ? n

IV – Ecriture scientifique

La notation scientifique d’un nombre décimal différent de 0 est la seule écriture de la forme .
Et a est un nombre décimal compris entre 1 et strictement inférieur à 10.
Et n est un nombre entier relatif.

Algo – Principe des boucles
Algobox – Calculateur de puissances … exemple de boucle POUR
Algobox – Exerciseur sur les puissances … exemple de boucle TANT QUE

– – – – – – –
Exercices / Questions intéressantes :
– Quel est le chiffre des unités de « 2 exposant 2020″ (année en cours) » ?
– Trouver les deux entiers a et b tels que : a^b = b^a.

N7 – Multiples et diviseurs

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[ Connaître la définition des mots « multiple », « diviseur ». ]
Lorsque l’on récite une table de multiplication d’un nombre, on fait la liste de ses multiples. Un multiple d’un nombre égale à ce nombre multiplié par un autre.
Les multiples n du nombre a s’écrivent : n = a x k
Exemple : Les multiples de 2 sont 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; … ; 28 ; … ; 2018 ; …
2018 = 2 x 1009

Lorsque l’on écrit une division (opération qui correspond au partage), nous avons au départ deux nombres :
– le nombre que l’on veut diviser (partager) appelé le dividende.
– le nombre qui divise appelé le diviseur.

En particulier, quand le partage « tombe juste », qu’il ne reste plus rien – il reste 0.
On dit alors que le nombre qui divise est un diviseur du nombre divisé.
Exemple : 36 divisé par 9, il y va 4 fois 9 et il reste 0.
On dit alors que 9 est un diviseur de 36. 36 = 9 x 4
On dit aussi que 36 est un multiple de 9.

Exemple : 2014 = 2 x 1007 = 2 x 1007 + 0.
Le reste de la division euclidienne de 2014 par 2 est égal à zéro.

2014 est un multiple de 2.
2014 est divisible par 2.
2 est un diviseur de 2014.
2 divise 2014.

Activité : Le jeu de Juniper-Green. Dans un tableau de nombres, il faut d’un nombre à un nombre uniquement si il y a une relation de multiple (réciproquement de diviseur) entre eux.

[ Connaître et utiliser les critères de divisibilité (par 2, 3, 4, 5, 9 et 10). ]
Un nombre entier est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 si et seulement si son chiffre des unités est 0.

Un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Un nombre entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Démonstrations (3e) !

Exercice : Les nombres suivants sont-ils divisibles par 2, par 3, par 4, par 5, par 9, par 10 ? Les nombres de l’exercice sont : 56 ; 290 ; 360 ; 37 ; 126.

[ Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, … ]
 a) lorsque l’on multiplie par 10 ; par 100 ou par 1000.
Pour multiplier un nombre par 10, on décale la virgule de 1 rang vers la droite.
Pour multiplier un nombre par 100, on décale la virgule de 2 rangs vers la droite.
Pour multiplier un nombre par 1 000, on décale la virgule de 3 rangs vers la droite.

b) lorsque l’on divise par 10 ; par 100 ou par 1 000.
Pour diviser un nombre par 10, on décale la virgule de 1 rang vers la gauche.
Pour diviser un nombre par 100, on décale la virgule de 2 rangs vers la gauche.
Pour diviser un nombre par 1 000, on décale la virgule de 3 rangs vers la gauche.

[ Connaître et utiliser la notion de nombre premier.]
Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs positifs.
Pour les déterminer, nous avons une méthode, un algorithme : le crible d’Eratosthène.

a) Ecrire la liste des nombres entiers positifs, commençant par 2.
(1 est exclu, il n’a qu’un seul diviseur lui-même.)
2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ;  12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; …
b) Entourer le premier nombre non barré et non entouré de la liste.
c) Barrer les multiples de ce nombre, dans votre liste.
d) Recommencer les étapes b) et c) jusqu’à l’épuisement de votre liste.

(lien wikipédia) : Le crible d’Eratosthène.

La liste des nombres premiers commence par : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; …
Les nombres qui ne sont pas premiers sont dits composés, car ils s’écrivent comme un produit composé de nombres premiers.

[ Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers. ]
Tout nombre peut s’écrire comme un produit de facteurs premiers, à l’ordre des facteurs près cette décomposition est unique.

[ Ecrire une fraction sous sa forme irréductible. ]
Dans une fraction, si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs en commun, on peut alors simplifier cette fraction.
Pour trouver la fraction sous sa forme irréductible, on écrit la décomposition en produit de facteurs premiers. On entoure les facteurs communs.
Le produit des nombres restants, respectivement pour le numérateur et pour le dénominateur, forme la fraction simplifiée.