Les voici, les voilà, ils sont encore tout chaud, à peine sortis du four… J’espère qu’il n’y a pas d’erreur…

• bac2009-physique-chimie-correction: la correction des 2 premiers exercices de tronc commun + l’exercice 3 des non spécialistes
• bac2009-spephysique-correction : la correction de l’exercice de spécialité.

Beaucoup de calculs cette année, forcément on avait droit à la calculatrice, donc j’espère que vous avez fait attention aux chiffres significatifs. Quelques questions un peu spéciales qui auront peu-être posé quelques petits problèmes…

Pour réussir son épreuve de bac en physique, il faut connaître sur le bout des doigts les connaissances exigibles du programme. En Mécanique, dans le chapitre “mouvements paraboliques”, voici ce qu’il tout ce qu’il faut savoir pour réussir :

Remarque : Dans cet article, les vecteurs sont représenté en gras : g est le vecteur gravitation tandis que g est la valeur de la gravitation. On peut écrire : g=9,8 N/kg mais on écrira g=-g.k

Appliquer la deuxième loi de Newton à un projectile dans un champ de pesanteur uniforme.

On considère un projectile lancé à l’instant t=0 avec une vitesse V₀ qui forme un angle alpha avec l’horizontale. On se muni d’un repère qui va bien (voir le schéma). Dans la mesure où l’on néglige les frottements, ce projectile dans un champ de pesanteur uniforme n’est soumis qu’à son poids P=mg. Ainsi, lorsqu’on appliquera la 2nde loi de Newton dans le référentiel considéré, on trouvera : mg=ma → a=g.

Ceci se traduit par d²x/dt²=0, d²y/dt²=0 et d²z/dt²=-g.

qui s’intègre en : dx/dt=A, dy/dt=B, dz/dt=-g.t+C où A, B et C sont des constantes d’intégration.

Pour trouver ces constantes d’intégration, on utilise les conditions initiales pour la vitesse puisque vx=dx/dt, vy=dy/dt et vz=dz/dt.

Ainsi, à t=0, dx/dt=A, dy/dt=B et dz/dt=C. Or, v_x0=V₀.cosα, v_y0=0 et v_z0=V₀.sinα d’où :

A=V₀.cosα, B=0 et C=V₀.sinα

et on peut donc écrire : dx/dt=V₀.cosα, dy/dt=0, dz/dt=-g.t+V₀.sinα

Pour conclure, il ne reste plus qu’à intégrer tout ça encore une fois : x=V₀.cosα.t+D, y=E, z=-g.t²/2+V₀.sinα.t+F où D, E et F sont de constantes d’intégration.

Une nouvelle fois, pour trouver la valeur de ces constantes d’intégration, il faudra aller voir du côté des conditions initiales. Mais cette fois-ci ce n’est pas la vitesse initiale qui nous intéresse mais la position initiale. Comme on a centré le repère sur la position initiale, x₀=y₀=z₀=0, d’où D=E=F=0.

Ainsi, on trouve au final que : x(t)=V₀.cosα.t, y(t)=0, z(t)=-g.t²/2+V₀.sinα.t

Ces trois équations sont les équations horaires du mouvement. Bien sûr, selon l’énoncé elles peuvent être légèrement différente. Par exemple, si le projectile n’est pas lancé à partir du sol, mais d’une hauteur h, on on trouvera pour z : z(t)=-g.t²/2+V₀.sinα.t+h

Montrer que le mouvement est plan.

Ceci est clair dans les équations horaires du mouvement où l’on a trouvé que y(t)=0. Ainsi, il ne se passe rien selon y, le projectile reste dans le plan d’equation y=0, c’est à dire Oxz.

On aurait pu le dire un peu plus tôt, lorsqu’on a trouvé que dy/dt=0 : la vitesse selon y est toujours nulle, le mouvement reste dans le plan Oxz.

Établir l’équation de la trajectoire à partir des équations horaires paramétriques.

Un grand classique. Il faut passer de ce jeu d’équation : x(t)=V₀.cosα.t, y(t)=0, z(t)=-g.t²/2+V₀.sinα.t à une équation reliant x et z (on vient de démontrer que tout se passe dans le plan Oxz).

Pour cela, rien de plus simple, il faut éliminer le temps : x=V₀.cosα.t implique que t=x/(V₀.cosα) puis il faut injecter cette expression du temps dans z=-g.t²/2+V₀.sinα.t ce qui donne : z=-g/(2.V²₀.cos²α).x²+tanα.x

Les connaissances exigibles ne disent pas qu’il faut être capable d’aller plus loin puisque le reste relève des mathématiques, pas de la physique. Cependant, il est bon de savoir exploiter ces relations.

Par exemple, comment savoir où le projectile va retomber ? C’est à dire quelle est la portée ? Il faut écrire z=0. On trouve 2 solutions : x=0 et x=2.V²₀.cosα.sinα/g. Ainsi, le projectile part de x=0 et atterit à x=2.V²₀.cosα.sinα/g plus loin.

Comment savoir jusqu’où le projectile peut monter ?C’est à dire quelle est la flèche ? On peut cherche le moment où la vitesse vz s’annule : -g.t+V₀.sinα=0 → t=V₀.sinα/g. Ensuite, on regarde quelle est l’altitude du projectile à ce moment : z=-g.t²/2+V₀.sinα.t avec t=V₀.sinα/g ce qui donne après simplification : z=V²₀.sin²α/(2.g).

Savoir exploiter un document experimental reproduisant la trajectoire d’un projectile : tracer des vecteurs vitesse et accélération, déterminer les caractéristiques du vecteur accélération, trouver les conditions initiales.

Voici le genre de choses qu’il faut savoir faire :

La vitesse est tangente à la courbe. Le vecteur accélération se trace par différence entre 2 vecteurs vitesse (voir la mécanique de Newton, ce qu’il faut en retenir). Puisque le projectile n’est soumis qu’à son poids, on doit trouver celle-ci verticale, dirigée vers le bas.

Pour s’entraîner on pourra faire un sujet de bac de la catégorie “projectiles” trouvé sur la page mécanique de labolycee.org.

La radioactivité est bien loin en ces périodes de révisions et une petite fiche pour explorer les connaissances exigibles en radioactivité ne peut pas faire de mal.

Connaître la signification du symbole _Z^AX et donner la composition du noyau correspondant.

Voici une vieille connaissance qui date de la seconde :

_Z^AX : noyau de symbole X qui a pour nombre de masse A et numéro atomique Z. Un noyau _Z^AX est donc constitué de Z protons et A-Z neutrons.

Définir l’isotopie et reconnaître des isotopes.

2 noyaux isotopes ont le même nombre de protons mais un nombre différent de neutrons. Ainsi, ils ont le même Z mais pas le même A.

Reconnaître les domaines de stabilité et d’instabilité des noyaux sur un diagramme (N,Z).

Il s’agit de reconnaitre sur un diagramme du type :

Qu’il y a une zone correspondant à des noyaux stable, donc non radioactifs. Sur le diagramme ci-dessus, c’est la zone la plus rouge. On voit que pour des petits Z, cette zone suit plus ou moins la courbe N=Z, puis s’en éloigne au fur et à mesure que les Z devient de plus en plus grand.

Et qu’autour de cette zone, les noyaux sont de plus en plus instables au fur et à mesure qu’on s’en éloigne. Le reste du diagramme (en blanc ici) correspond à des noyaux qui ont une durée de vie tellement infinitésimale qu’il n’a jamais été possible de les fabriquer.

Définir un noyau radioactif.

Un noyau radioactif est un noyau qui subit spontanément une désintégration nucléaire. Cela se traduit par l’émission d’un rayonnement et la transmutation du noyau père en un noyau fils.

Connaître et utiliser les lois de conservation.

Lors d’une désintégration nucléaire, le nombre total de nucléons et le nombre de charge se conservent. Ce sont les lois de Soddy. Ainsi, lors d’une désintégration α qui produit un noyau d’Hélium (A=4 et Z=2), on aura :

Par exemple, un noyau d’uranium 238 (A=92, Z=92) se désintègre en Thorium 234 (A=234 et Z=90).

Définir la radioactivité α, β⁺, β^- l’émission γ et écrire l’équation d’une réaction nucléaire pour une émission α, β⁺, β^- en appliquant les lois de conservation.

• La radioactivité α se caractérise par l’émission d’un noyau d’hélium He : A=4, Z=2.
• La radioactivité β⁺ se caractérise par l’émission d’un positron : un anti-électron qui porte à les mêmes caractéristiques qu’un électron si ce n’est sa charge qui est positive et A=0 (il ne s’agit pas d’un nucléon) et Z=1 (charge positive).
• La radioactivité β^- se caractérise par l’émission d’un électron : A=0 (il ne s’agit pas d’un nucléon) et Z=-1 (charge négative).
• L’émission γ correspond à la désexcitation du noyau fils. En effet, une désintégration radioactive produit beaucoup d’énergie et le noyau fils est bien souvent dans un état excité (voirs le cours de fin d’année sur la quantification des niveaux d’énergie). Le passage de l’état excité à l’état au repos passe par l’émission d’un rayonnement électromagnétique nommé rayonnement γ.

Ainsi, un noyau Cobalt 60 (symbole Co, A=60 et Z=27) radioactif β^- produira un électron (A=0, Z=-1) et son noyau fils sera carctérisé par (A=60 et Z=28) pour assurer les lois de conservation de Soddy. Si l’on regarde dans un tableau périodique des éléments, on trouvera que Z=28 correspond au Nickel (symbole Ni). L’équation de désintégration s’écrit donc :

⁶⁰₂₇Co → ⁶⁰₂₈Ni + ⁰_-1e

À partir de l’équation d’une réaction nucléaire, reconnaître le type de radioactivité.

Celle-ci est assez simple, il suffit de reconnaître l’élément éjecté : une noyau ⁴₂He c’est de la radioactivité α, un positron ⁰₁e c’est du β⁺ et un électron ⁰_-1e c’est du β^-. Attention la présence d’un noyau d’hélium dans les produits ne signifie pas obligatoirement qu’on a affaire à une radioactivité α. Il est possible également que ce soit une réaction de fusion. Besoin de se rafraîchir la mémoire ? Jetez donc un oeil sur la fiche Réaction nucléaire.

Connaître l’expression de la loi de décroissance et exploiter la courbe de décroissance.

Une population de noyau décroit en suivant la loi de décroissance suivante : N(t)=N₀e^-λt. Cela se traduit par :

Sur le graphique, on trouvera comment lire la valeur de N₀ et comment trouver λ.

Savoir que 1 Bq est égal à une désintégration par seconde.

Dit comme ça c’est un peu rapide. Déjà il faut savoir que le Becquerel, Bq, (du nom d’un physicien qui a compté… on fait comme ça en physique : on donne le nom des gens qui comptent à des unités comme ça on est sûr que les apprentis retiendront leur nom même s’ils ne savent pas de qui il s’agit) est l’unité de l’activité d’une source radioactive. Et donc, lorsque pour une source radioactive il y a une désintégration par seconde, alors son activité est de 1 Bq. Ainsi le Bq est égal à des s^-1.

Pour info : 1 Bq c’est tout petit, une source radioactive qui émet une particule par seconde, c’est à peine détectable. Dans un exercice où l’on vous fait calculer l’activité d’une source radioactive, ne vous étonnez pas de trouver de très grand nombre. Avant le Bq, on utilisait le Ci (de Curie) qui vaut 3,7·10¹⁰ Bq. C’est une unité plus adaptée à la radioactivité mais elle n’est pas “standard”.

Expliquer la signification et l’importance de l’activité dans le cadre des effets biologiques.

Une source radioactive émet des radiations très énergétique. lorsque ces radiations arrivent sur un organisme vivant, c’est comme un éléphant dans un magasin de porcelaine : ça fait beaucoup de dégat (voir les effets biologiques de la radioactivité I & II). Ainsi, l’activité qui mesure le nombre de désintégration par seconde donne une bonne idée de la dangerosité d’une source. Plus elle est active, plus elle est susceptible d’avoir un impact biologique.

Connaître la définition de la constante de temps et du temps de demi-vie.

La constante de temps est l’inverse de la constante radioactive λ qui apparaît dans l’expression de la loi de décroissance radioactive : N(t)=N₀e^-λt. τ=1/λ.

Le temps de demi-vie est la durée pour qu’une population de noyau soit divisée par 2 : N(t_1/2)=N₀/2.

Utiliser les relations entre τ et λ et t_1/2.

Noter bien qu’il est dit “utiliser” et pas “savoir les démontrer”, donc à priori, il n’est pas nécessaire de savoir démontrer que N(t_1/2)=N₀/2 implique que t_1/2=ln2/λ. Cependant, ce calcul est parfois demandé (voir par exemple Liban 2008 sur labolycee.org). Pour mémoire :

N(t_1/2)=N₀/2 ↔ N₀e^-λt1/2 = N₀/2 ↔  e^-λt1/2 = 1/2 ↔ e^λt1/2 = 2 ↔ λ.t_1/2=ln2

D’où t_1/2=ln2/λ et en se rappelant que τ=1/λ on peut écrire : t_1/2=τ.ln2.

Pour l’application de ces expressions, attention aux unités : si τ est en seconde, alors t_1/2 l’est aussi. Cependant t_1/2 est souvent donner en heure ou en seconde, donc il faut le convertir en seconde pour avoir τ en seconde et λ en s^-1.

Ceci est extrêmement important car l’activité (nombre de désintégration par seconde) est égale à la dérivée de N par rapport au temps : A=dN/dt qui est égal à λN. Ainsi l’unité de λ donne l’unité de A. Comme A est en Bq (donc en s^-1) alors, il faut toujours exprimer λ en s^-1.

Un exemple ? Envisageons une source de carbone 14 contenant 1 mole de noyaux (6.10²³ noyaux). La demi-vie du carbone 14 est de 5 730 ans. Ainsi, λ=ln2/t_1/2=ln2/t_1/2=ln2/(5730*365*24*3600)=3,84 10^-12 s^-1 et A=2,3  10¹² Bq.

Déterminer l’unité de τ ou de λ par analyse dimensionnelle.

Celle-ci est assez facile : Sachant que ln2 est juste un nombre sans unité, t_1/2=ln2/λ implique que t_1/2 et λ ont une unité inverse l’une de l’autre. Si t_1/2 est en heure alors λ est en h^-1. Pour τ, t_1/2=τ.ln2 implique que t_1/2 et τ ont la même unité.

Expliquer le principe de la datation, le choix du radioélément et dater un événement.

Du fait de la décroissance exponentielle d’une population de noyaux radioactive, une source a une activité qui décroit de manière exponentielle : A(t)=A₀e^-λt. Ainsi, connaissant le temps de demi-vie de l’élément considéré et l’activité initiale, il est facile de trouver l’age de l’échantillon en mesurant son activité à l’instant présent.

Bien entendu, connaître l’activité initiale n’est pas facile. Il faut faire des raisonnements très rusé pour y arriver. Cependant, dans tous les sujets de bac traitant de datation on vous guide tout au long du raisonnement qui permet de déterminer l’activité initiale.

Un exemple classique de datation : la datation au carbone 14. Elle est basée sur le fait que le carbone 14 (isotope radioactif du carbone) est continuement régénéré dans la haute atmosphère. Ainsi le taux carbone 14 sur carbone 12 (C14/C12) est constant dans l’atmosphère, de l’ordre de 10^-12. Comme les plantes “respirent” le carbone de l’air (par le dioxyde de carbone), le taux C14/C12 des plantes est le même que celui de l’atmosphère. A partir du moment où l’organisme vivant meurt, les échanges cessent et la quantité de Carbone 14 décroit de manière exponentielle. Ainsi, une mesure de l’activité radioactive due au carbone 14 permet de savoir depuis combien de temps l’organisme est mort. Le temps de demi-vie du carbone 14 étant de 5730 ans, on peut pas remonter plus loin que 50 000 ans. Au-delà de cette durée, il n’y a plus assez de Carbone 14 pour mesurer l’activité radioactive.

C’est demain la première phase d’appel sur le site admission post bac. Un choix d’orientation vous sera proposé en fonction de votre dossier. Vous êtes perdu entre les “oui”, les “oui mais”, les “non” et les “non mais” ? Cette présentation d’étude de cas d’une élève de TS, proposé par l’académie de Lyon, vous aidera peut-être à y voir plus clair :

Que faut-il retenir du cours sur les systèmes oscillants selon les connaissances et savoir-faire exigibles du programme officiel ?

Dans cet article comme dans tous les articles de mécanique, les vecteurs sont notés en gras.

Note : cet article est en cours de rédaction, je pense le finir dans la semaine.

D’abord, quelques faits autour du pendule simple

Définir un pendule simple.

Un pendule simple, est tout simplement :

• Un objet ponctuel suspendu à un point fixe par un fil inextensible.

C’est à dire ? une petite masse accroché à un fil de longueur fixe, sans élasticité.

Qu’est-ce que cela veut dire ponctuel ? Pour un mathématicien, ça veut dire infiniment petit (ils ont des définitions du genre : vous imaginez tout ce que vous avez de plus petit et c’est encore plus petit). Bien sûr qu’il n’y a pas grand chose qui vérifie le fait d’être “ponctuel” (hormis peut-être les particules élémentaires) mais pour nous en mécanique, on considérera que la masse est “ponctuelle” du moment que ses dimensions sont plus petites que la longueur du fil (et pas du moment qu’elle arrive à l’heure…).

Justifier la position d’équilibre dans le cas d’un pendule simple.

Comme le solide est soumis à 2 forces (le poids et la tension du fil), sa position d’équilibre est lorsque ces deux forces se compensent : lorsque le fil est vertical. Si l’objet est dans cette position sans vitesse, comme la somme des forces est nulle, l’accélération l’est aussi et le solide perdure dans cette position.

Définir l’écart à l’équilibre, l’abscisse angulaire, l’amplitude, la pseudo-période, la période propre et les mesurer sur un enregistrement.

Si l’on écarte l’objet de la position d’équilibre, le fil forme un angle avec la verticale. Cet angle, généralement noté θ, est une mesure de l’écart à l’équilibre. On l’appelle abscisse angulaire. Lorsque l’on trace les variations de cet grandeur en fonction du temps, on trouve quelque chose comme ça :

Qui s’étudie de la même façon que la dernière fois que nous avons rencontré ce genre d’évolution temporelle : avec le dipôle RLC. Sur le schéma ci-dessus, l’amplitude des oscillations diminue progressivement, il s’agit d’un régime apériodique. La pseudo-période se trouve en mesurant le temps mis pour que la courbe passe 2 fois par zéro dans le même sens, ici : 2 secondes.

Enoncer la loi d’isochronisme des petites oscillations.

Une petite loi toute simple à apprendre et à comprendre :

• Pour des oscillations de faible amplitude (on considère généralement θ inférieur à 15°), la période est indépendante de l’amplitude.

Ce qui veut dire que le pendule met toujours le même temps pour parcourir un aller-retour lorsque l’amplitude n’est pas trop élevée.

Savoir comment un système peut atteindre un régime apériodique.

Dans le cas idéal où il n’y a pas de frottement, le pendule oscille indéfiniment autour de sa position d’équilibre et l’amplitude reste toujours constante. Dès lors qu’il y a des frottements, il y a amortissement et l’amplitude des oscillations se met à diminuer. C’est le régime apériodique.

Savoir que dans le cas d’un amortissement faible, la pseudo-période est voisine de la période propre.

Tout est dit. Que dire de plus ?

Pour un pendule simple, justifier la forme de l’expression de la période propre par analyse dimensionnelle.

Ah, c’est là que les choses deviennent intéressantes. Pour le pendule simple, la période propre s’exprime T₀=2.pi.√(l/g) [2 pi racine de l sur g] où l est la longueur du fil.

Cette expression est homogène, c’est à dire que l’unité du membre de droite est égale à l’unité du membre de gauche.

En effet, g s’exprime en N/kg mais également en m/s² (mais si, rappelez-vous de ce que l’on a vu dans la chute libre, a=g donc g a la même unité que l’accélération). Ainsi, l/g est homogène à m/(m/s²)=s². La racine de l/g est donc homogène à des secondes. Comme 2.pi n’a pas d’unité, 2.pi.√(l/g) est bien homogène à du temps. CQFD !

À partir d’une série de résultats expérimentaux, vérifier la validité de l’expression de la période propre d’un pendule simple.

Il s’agit en fait de vérifier l’expression précédente. Pour cela, on procède généralement en mesurant la période propre pour plusieurs longueurs de fils. On obtient alors des valeurs de T₀ en fonction de l. Pour vérifier la validité de l’expression T₀=2.pi.√(l/g), il ne reste plus qu’à tracer T₀ en fonction de √(l). On devrait trouver une droite de pente 2.pi/√(g)

Et puis tout sur le système solide-ressort

Connaître les caractéristiques de la force de rappel exercée par un ressort.

La force de rappel d’un ressort est proportionnelle à l’élongation et dirigée vers la position de repos. Si l’on note l₀, la longueur du ressort “à vide” c’est à dire sans contrainte, la force de rappel est égale à k.(l-l₀) où k est la constante de raideur du ressort, qui s’exprime en N/m. Le point d’application de cette force est le point d’attache du ressort au solide.

Dans le cas d’un solide accroché à un ressort, celui-ci s’allonge de sorte à compenser le poids. Cela permet de mesurer la constante de raideur k. En effet, dans la position d’équilibre, les forces se compensent. Le poids est vertical dirigé vers le bas, tandis que la force de rappel du ressort est verticale dirigée vers le haut. Les normes des 2 vecteurs sont égales : m.g=k.(l-l₀) ce qui permet de calculer k=m.g/(l-l₀).

Dans le cas d’une configuration horizontale, on note généralement x, l’écart à la position d’équilibre du centre d’inertie de l’objet. Lorsque x est nul, le ressort à sa longueur à vide et la force de rappel est nulle. Dans ces conditions, la force de rappel du ressort s’exprime : F=-k.x.i où F est l’expression vectorielle de la force de rappel et i le vecteur unitaire. On peut vérifier que cette expression marche bien dans les 2 sens : si x est positif, F_x est négatif dirigée de sorte à diminuer x; si x est négatif, F_x est positif, de sorte à augmenter x. Ainsi F est toujours dirigé de sorte à ramener le solide vers la position x=0.

Appliquer la deuxième loi de Newton au solide et effectuer la résolution analytique dans le cas d’un dispositif oscillant horizontalement.

Voilà le coeur du problème, ce qui est technique et qu’il faut être capable de restituer :

1. On pose le problème :
   Envisageons un solide relié à un ressort. à t=0, on éloigne le solide de la position d’équilibre, et on le lache sans vitesse initiale. Notons u_x le vecteur unitaire horizontal, et prenons x=0 à la position d’équilibre, u_z le vecteur unitaire verticale. Ce solide est soumis à 4 forces :
   1. Le poids : P=-mg.u_z
   2. La réaction du support : R=R.u_z
   3. La force de rappel du ressort : F=-k.x.u_x
   4. Une force de frottement visqueux (optionnel) qui s’oppose au mouvement : f=-μ.v
2. On écrit la seconde loi de Newton : P+R+F+f=m.a
   Le mouvement étant horizontal, a=a_x.u_x et v=v_x.u_x
   Ainsi, le seconde loi de Newton peut se réécrire : -mg.u_z+R.u_z-k.x.u_x-μ.v_x.u_x=m.a_x.u_x
3. On regarde ce qui se passe sur chaque axe :
   Ce qui donne selon u_z : R-m.g=0 → la réaction du support compense le poids
   et selon u_x : -k.x-μ.v_x=m.a_x ↔ m.a_x+μ.v_x+k.x=0
   Dans le cas où l’on néglige les frottements (ce qui est demandé au niveau du programme), on trouve l’équation du mouvement, en se rappelant que a_x=d²x/dt² : m.d²x/dt²+k.x=0
4. On résout l’équation différentielle :
   On retrouve une équation d’un genre que l’on a déjà vu dans le cas du dipôle RLC. La solution est de la forme : x(t)=X_m.cos(2.pi.t/T₀+phi)
   Nous verrons au point suivant que la signification de chacun des termes de cette expression doit être connue.
   Pour la suite, c’est du classique, on l’a déjà fait plusieurs fois en électricité : après avoir dérivé 2 fois x(t) et injecter l’expression de d²x/dt² et de x(t) dans l’équation différentielle, on obtient : -m.(2.pi./T₀)².X_m.cos(2.pi.t/T₀+phi)+k.X_m.cos(2.pi.t/T₀+phi)=0 qui n’est possible à chaque instant que si -m.(2.pi./T₀)²+k=0 soit T₀=2.pi.√(m/k)
5. On regarde ce que ça donne avec les conditions initiales :
   x(0)=X₀ → X_m.cos(phi)=X₀
   dx/dt(0)=0 → X_m.sin(phi)=0 → phi=0 et donc  X_m.cos(phi)=X₀
6. On recolle tous les morceaux :
   La solution est x(t)=X₀.cos(2.pi.t/T₀) avec T₀=2.pi.√(m/k)

Connaître la signification de tous les termes intervenant dans la solution de l’équation différentielle et leur unité.

L’équation différentielle que nous avons obtenue est : m.a_x+μ.v_x+k.x=0

• m.a_x : correspond à l’inertie, c’est la produit de la masse (en kg) par l’accélération (en m/s²)
• μ.v_x : correspond aux frottements fluide, c’est le produit du coefficient de frottement (en N.s/m) par la vitesse (en m/s)
• k.x : correspond à la force de tension du ressort, c’est le produit du coefficient de raideur (en N/m) par la position du solide (en m)

Connaître et savoir exploiter l’expression de la période propre, vérifier son homogénéité par analyse dimensionnelle.

L’expression de la période propre est T₀=2.pi.√(m/k). Savoir exploiter cette relatin veut dire être capable de calculer T₀ lorsqu’on vous donne m ou k, ou bien déduire k si l’on mesure T₀ et m (k=(2.pi/T₀)².m).

Pour vérifier l’homogénéité de la relation, il faut se rappeler que k est en N/m et que des Newton sont équivalent à des kg.m/s². En effet, les forces (en N) sont égales au produit d’une accélération (en m/s²) par une masse (en kg). Ainsi, m/k a pour unité : kg/(kg.m/s²)=s². La racine de m/k est donc homogène à des secondes. Pour 2.pi, ce n’est qu’un coefficient numérique sans unité.

Savoir que la résonance mécanique se produit lorsque la période de l’excitateur est voisine de la période propre du résonateur.

Ce point concerne la résonnance, le phénomène qui apparaît lorsqu’on couple un excitateur avec un système oscillant (appelé dans ce cas résonateur) : l’amplitude du mouvement du résonateur est maximale lorsque la fréquence de l’excitateur est égale à la fréquence propre du résonateur. Autrement dit, lorsque la période de l’excitateur est égale à celle du résonateur. Tout est dit dans l’énoncé de la connaissance exigible.

Savoir que l’augmentation de l’amortissement provoque une diminution de l’amplitude.

Sans amortissement, le phénomène de résonance entraîne la destruction du résonateur (voir la vidéo de l’hélicoptère à la fin de l’article la résonance en vidéo). L’amortissement modère le phénomène et une augmentation de l’amortissement provoque une diminution de l’amplitude.

Connaître des exemples de résonance mécanique.

L’exemple classique est constitué d’un système excitant un système solide-ressort verticale (voir par exemple le sujet Réunion 2003 - merci labolycee.org) mais on trouvera d’autres exemples (plus ou moins classique) dans l’article la résonance en vidéo.

Oui je sais c’est partisan, mais bon, on ne va pas regarder l’eau monter en se croisant les doigts…

L’ombre de la lune sur terre, le 11 Août 1999

Cette photo prise de la station orbitale Russe Mir (quelques mois avant sa destruction) montre l’ombre de la lune sur la terre. Cette ombre se déplace à la vitesse de variant entre 1 706 km/h à l’équateur, et environ 3 380 km/h aux pôles (voir sur le site d’astrosurf). Le 11 Août 99, dans l’ombre de la lune, voici ce qu’on pouvait voir  :

Le plus surprenant dans le phénomène de l’éclipse c’est que la lune occulte parfaitement le soleil. Cela veut dire que vus de la terre, la lune et le soleil ont le même diamètre.
Comme le soleil est 400 fois plus loin de la terre que la lune cela signifie qu’il est exactement 400 fois plus gros que la Lune. Étonnant, non ?

Le prix Nobel de physique a été attribué cette année à 1 chercheur américain, M. Yoichiro Nambu et 2 chercheurs japonnais, M. Makoto Kobayashi et Toshihide Maskawa “pour la découverte du mécanisme de brisure spontanée de symétrie en physique subatomique” (Réf : le monde - le site officiel des prix nobel).

Si le prix nobel de physique 2007 était un tant soit peu compréhensible par les non-initié à travers ses applications pratiques (voir Un prix Nobel Français dans notre ordinateur !) le prix Nobel 2008 semble beaucoup plus éloigné de nos préoccupations quotidiennes. De quoi s’agit-il ?

La symétrie et la physique

La symétrie des objets naturels (les flocons de neige, certaines fleurs) a quelque chose de fascinant car relativement rare. Lorsqu’on parle de symétrie en physique, il ne s’agit pas de celles des objets naturels. Il s’agit en fait de la symétrie des lois de la physique. Mais que vient faire la symétrie dans ces lois ?

La symétrie pour les physiciens est la capacité à rester insensible à certaines transformations. Ainsi, un objet symétrique comme un carré, une sphère ou un flocon de neige n’est pas discernable de son reflet dans un miroir. Si l’on compare l’objet original et son reflet, on verra le même objet : on parle dans ces conditions de symétrie par réflexion dans un miroir.

Dans leur recherche de loi pour comprendre et prévoir le monde, les physiciens ont tendance à rechercher de telles symétries pour simplifier ces lois. C’est à dire qu’ils élaborent des lois qui sont inchangées lorsqu’on appliquent certaines transformations.

La symétrie par translation dans l’espace

Prenons un exemple simple de symétrie : la symétrie par translation dans l’espace. C’est une symétrie suivie par les lois de la physique. Celle-ci stipule que si l’on fait une certaine mesure ou qu’on applique une certaine loi quelque part dans l’espace les résultats que l’on obtiendrait ne dépendent pas de l’endroit où l’on fait la mesure. Cette loi parait bien étrange si l’on réfléchit un peu. En effet, si je mesure la valeur de la gravitation exercée par la Terre à Paris, je n’obtiendrais par la même valeur que si je faisais la mesure 400 km au-dessus du sol Parisien.

La symétrie par translation ne serait-elle pas vérifiée ? En réalité pour appliquer la symétrie par translation dans l’espace à la gravitation exercée par la terre, il faudrait également déplacer la terre de 400 km à la verticale de Paris. Dans ces conditions, la valeur de la gravitation sera la même.

Cela parait stupide d’inventer une loi qui dit que la valeur de la gravitation à Paris serait la même si on déplace la Terre dans l’espace. Quel est l’intérêt de chercher à vérifier une telle symétrie ? Cela permet de simplifier l’expression de la loi de gravitation : au lieu d’exprimer la loi de la gravitation à chaque position possible de la terre, on l’exprime d’une manière générale à une certaine distance de la terre. D’ailleurs, la preuve que la symétrie par translation d’espace est bien vérifiée est obtenue en se rappelant que la terre est toujours en mouvement autour du soleil et que s’il on fait la mesure de la gravitation Terrestre un certain jour à une certaine heure à Paris, on trouvera la même valeur un autre jour alors que nous sommes plusieurs millions de kilomètre plus loin.

La recherche de la symétrie dans les lois de la physique n’est donc pas une recherche esthétique de perfection mais plutôt une recherche de simplification de ces lois.

Quelles sont les symétries vérifiées par les lois de la physique ?

Il y a comme on vient de le voir la symétrie par translation dans l’espace. On admet généralement que la symétrie par translation de temps est également juste : les lois physiques vérifiée aujourd’hui était vrai hier et seront vrais demain (par exemple si l’on recréé les conditions du big bang dans le LHC ce qu’on trouvera était valable au moment du big bang). Bien entendu, cette loi est difficile à vérifier au-delà de la mémoire humaine mais elle est nécessaire pour décrire ce qu’a été le monde avant que la science ne commence à le décrire. Si cette symétrie était violée, alors on ne pourrait plus dire grand chose du passé puisque cela voudrait dire que les lois de la physique telles qu’elles s’expriment aujourd’hui n’étaient pas valable dans le passé.

Une symétrie fondamentale pour l’histoire de la physique est la symétrie de vitesse constante en ligne droite. Celle-ci affirme que toutes les lois physiques doivent être les même pour 2 observateurs en déplacement à vitesse constante l’un par rapport à l’autre. Autrement dit, si l’on se déplace à vitesse constante en ligne droite et que l’on ne peut pas observer l’environnement (imaginons par exemple un voyage interstellaire dans un vaisseau sans hublot), aucune expérience ne nous permet de déterminer si nous sommes en mouvement ou non. Cette symétrie est à l’origine de la relativité d’Einstein : c’est en réalisant qu’elle n’était pas vérifiée par les lois du mouvement de Newton appliquée à l’électromagnétisme qu’Einstein proposa de nouvelles lois du mouvement.

Un dernier exemple de symétrie qui fonctionne : les phénomènes ne sont pas modifiés lorsqu’on remplace un atome par un autre du même type.

Certaines symétries ne fonctionnent pas

Bien entendu, cela devient tout de suite plus intéressant (et du coup plus compliqué) lorsqu’on s’intéresse aux symétries qui ne sont pas vérifiées. On parle alors de brisure de symétrie.

La dépendance au changement d’échelle en est un exemple assez simple à se représenter. Imaginons un objet qui ait une taille de l’ordre de 1 m : une table en bois par exemple. Peut-on construire de la même façon une table avec une échelle différente ? Une table de 10 m ? Une table de 100 m ? Une table de 1 km ? Il est évident que non. Il arrivera un moment où le plateau de bois s’affaissera sous son propre poids. Les lois de la physique ne sont donc pas insensibles au changement d’échelle.

Une autre symétrie classique qui ne fonctionne pas est celle évoquée au début de cet article sur la réflexion par un miroir. C’est difficile à expliquer mais même si 99.9% des lois de la physique vérifient une symétrie droite-gauche, toutes ne le sont pas. En particulier, dans le monde des particules, la droite et la gauche est définie de manière absolue.

La brisure de symétrie Matière-antimatière

Une brisure de symétrie qui présente un intérêt tout particulier pour nous (et pour les lauréats du prix Nobel de physique 2008) est la brisure de symétrie Matière-Antimatière.

Toutes les particules qui constituent la matière ont une soeur jumelle “anti-particulaire”. Ainsi, il existe une particule nommée positon qui a toutes les caractéristiques d’un électron mais qui est chargé positivement. La rencontre entre une particule et son homologue anti-particule est détonante : les 2 entités disparaissent et libèrent toute leur énergie de masse (voir l’article “la masse de ce produit contient l’équivalent de 21 000 tonnes de TNT par gramme”). Conseil de physicien : si vous rencontrez un jour un extra-terrestre assurez-vous qu’il est fait de matière car une poignée de main entre un terrien-matière et un extraterrestre-antimatière ne donnerait qu’un flash intense d’énergie.

La symétrie matière-antimatière stipule qu’un monde fait d’antiparticule a exactement les mêmes caractéristiques qu’un monde fait de particules. C’est à dire que nos lois de la physique ne font pas la différence entre matière et anti-matière : pour notre extraterrestre-antimatière la tartine tombe toujours du côté beurré de sa planète-antimatière.

Au moment du big bang, il y a 14 Milliards d’année, la quantité de matière et d’antimatière était exactement la même. Comme nous habitons dans un univers fait de matière, il faut bien qu’il y ait une petite différence entre une particule et son homologue antiparticule. Cette différence accordant un petit avantage à la matière qui a pu perdurer au-delà des premières seconde du big bang. Les travaux des 3 Nobels de physique 2008 ont permis d’expliquer cette petite différence, cette brisure spontanée de symétrie matière-antimatière.

Comme l’ont dit les membres du comité Nobel “nous sommes tous des enfants de la brisure de symétrie” et cela valait bien un Nobel à ceux qui ont su l’expliquer.

Références bibliographiques : chapitre “la symétrie en physique” in la nature de la physique - R. Feynman

Les connaissances et savoir-faire exigibles du programme officiel sont essentielles pour réussir son année de terminale. Les connaître sur le bout des doigts est la clé de la réussite. Commençons par le commencement (pour une fois…) et voyons ce qu’il faut retenir sur les ondes mécaniques progressives :

Définir une onde mécanique et sa célérité.

Définition “officielle” : une onde mécanique est le phénomène de propagation d’une perturbation dans un milieu matériel sans transport matériel.

La célérité est la vitesse de propagation du phénomène

Définir et reconnaître une onde transversale et une onde longitudinale.

Onde transversale : la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation. Exemples : onde sur une corde, vagues sur l’eau, ondes sismiques S mais aussi mon exemple d’onde favori : la ola.

Onde longitudinale : la perturbation a lieu dans le même sens que la direction de la propagation. Ex. : onde sonore, onde sismique P.

Connaître et exploiter les propriétés générales des ondes.

4 propriétés à connaître :

• Direction : Une onde se propage à partir de la source dans toutes les directions possibles.
• Energie : La perturbation se transmet de proche en proche : il y a transfert d’énergie mais sans transport de matière.
• Célérite : La célérité est une propriété du milieu, sauf mention contraire, elle ne dépend pas des propriétés de l’onde.
• Croisement : 2 ondes peuvent se croiser sans se perturber

Définir une onde progressive à une dimension et savoir que la perturbation en un point du milieu, à l’instant t, est celle qu’avait la source au temps t’ = t - τ, τ étant le retard (dans un milieu non dispersif).

Une onde progressive à une dimension est une onde qui se propage dans une seule direction. C’est par exemple le cas d’une onde qui se propage sur une corde ou d’une onde sonore qui se propage dans un tube.

Lorsque le milieu est non dispersif (nous y reviendrons plus tard), la perturbation se transmet de proche en proche et le mouvement d’un point est le même que celui de ses prédécesseurs, mais décalé dans le temps. Ainsi, tous les points reproduisent le mouvement de la source avec un décalage dans le temps. Ce décalage est appelé retard.

Exploiter la relation entre le retard, la distance et la célérité.

Si l’on considère 2 points séparés par une distance d, leur mouvement est décalé dans le temps d’un retard τ. Par définition de la célérité v, on peut écrire v=d/τ.

Exemple d’application : imaginons que l’on entende le tonnerre 5 secondes après avoir vu l’éclair. Sachant que la célérité du son dans l’air est de 340 m/s on en déduit que la foudre est tombée à une distance d=v.τ soit d = 340×5 = 1700 m.

Exploiter un document expérimental (chronophotographies, vidéo) donnant l’aspect de la perturbation à des dates données en fonction de l’abscisse : interprétation, mesure d’une distance, calcul d’un retard et/ou d’une célérité.

Il s’agit d’exploiter des documents du type :

Les mesures de distance se font directement sur le schéma en utilisant l’échelle approprié. Le retard se détermine à l’aide du temps entre les 2 mesures. Par exemple, sur le schéma ci-dessus, on voit que les points A et B sont distants de 50 cm et que le point B reproduit le mouvement de A avec un retard de 0,25 s, on en déduit donc que la célérité vaut 0,5/0,25=2 m/s

Exploiter un document expérimental (oscillogrammes, acquisition de donnéesavec un ordinateur…) obtenu à partir de capteurs délivrant un signal lié à la perturbation et donnant l’évolution temporelle de la perturbation en un point donné : interprétation, mesure d’un retard, calcul d’une célérité, calcul d’une distance.

Ce point ressemble beaucoup au point précédent mais traite de l’évolution temporelle en un point et non pas de la forme de la courbe à un instant donné. Il s’agit donc de document du type :

A l’aide de ce document, on peut déterminer la célérité : on voit que le point B a un retard de 0,25 s sur A (il se met en mouvement à 0,55 s alors que A se met en mouvement à 0,3 s). Sachant qu’ils sont séparés de 0,5 m, on déduit que la célérité est égale à 0,5/0,25 = 2 m/s.

Cette photo serait la première photo d’une planète extra-solaire !

Cela reste encore a démontrer mais le cercle rouge de la photo ci-dessus serait une planète de masse 8 fois supérieure à Jupiter qui serait en orbite autour d’une étoile de type solaire à 330 fois la distance Terre-soleil. Celle-ci est située à 500 années-lumière de la terre.

Jusqu’à maintenant, toutes les preuves d’existence de planètes extra-solaires était indirectes. En effet, les astronomes détectent la présence de planète autour d’une étoile par les variations de luminosité de cette dernière : lorsque la planète passe devant l’étoile, elle intercepte un peu de sa lumière. Cette variation de luminosité est infime ce qui rend la détection de planète extra-solaire très difficile. Cette photo serait donc une première historique puisqu’on y voit un objet qui pourrait être une planète orbitant autour d’une étoile autre que le soleil !

Il reste encore à démontrer que c’est bien le cas, ce qui devrait prendre environ 2 ans : le temps de vérifier que cet objet se déplace bien avec son étoile.

Petite correction Nov 2008 (voir les commentaires) : L’observatoire Européen ESO avait déjà pris une photo d’une planète extra-solaire en Avril 2004. A noter, cependant que l’étoile de la photo ci-dessus est une étoile type soleil alors que celle ci-contre est une jeune étoile faiblement lumineuse.

Source : Gemini observatory (pour la première photo), ESO (pour la seconde)