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G2.5 – Angles inscrits et angle au centre. Polygones réguliers.

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Objectifs:
– Identifier, dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre.
– Calculer la mesure d’un angle inscrit et d’un angle au centre
– Construire des polygones réguliers
– Utiliser des propriétés des polygones réguliers

I – Angle inscrit, angle au centre

Définition : Dans un cercle (C) de centre O, on considère trois points A, B et M appartenant au cercle (C).
L’angle AMB est un angle inscrit du cercle (C) et
l’angle AOB est un angle au centre du cercle (C).

Propriété : Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

Propriété : Dans un cercle, si deux angles interceptent le même arc de cercle,
alors ils ont même mesure.
Démonstration : Dans un même cercle, on considère deux angles inscrits qui interceptent un même arc. Les deux angles inscrits mesurent la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc.
Donc les deux angles inscrits ont la même mesure.

II – Polygones réguliers

Définition : Un polygone régulier est une figure a plusieurs côtés
dont tous les sommets appartiennent à un même cercle et
dont tous les côtés ont la même longueur.
Le centre du cercle est appelé centre du polygone régulier.

Vocabulaire : On considère un polygone régulier de centre O.
Les points A, B et C sont trois sommets consécutifs du polygone.
L’angle ABC est un angle du polygone. L’angle AOB est un angle au centre du polygone.

Propriété : n est un nombre entier strictement supérieur à 2.
Si un polygone est régulier à n côtés, alors tous ses angles au centre ont la même mesure égale à 360°/n.

Comment construire un polygone régulier ?
– Construire un cercle (C) de centre O.
– Placer un point A sur le cercle (C), c’est le premier sommet du polygone régulier.
– Placer un point B sur le cercle (C), en mesurant l’angle au centre AOB du polygone régulier.

Propriété : Si un polygone est régulier, alors tous ses angles ont la même mesure.

Propriété (admise) : Si un polygone est inscrit dans un cercle et si tous ses angles au centre ont la même mesure alors ce polygone est régulier.

Exercice : Choisir un nombre entier n. Calculer la mesure de l’angle au centre 360°/n.
Tracer ce polygone régulier.

EXERCICES THÉMATIQUES AU D.N.B.

Centre étrangers, juin 2014 (Ex 3).
Inde, avril 2011.
Métropole, juin 2014 (Ex 1)
Métropole, juin 2010.
Asie, juin 2014 (Ex 3)
Asie, juin 2009.

N6 – Somme et différence

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Objectifs :
– Connaître le vocabulaire : somme, différence, terme.
– Calculer une somme et une différence.
– Résoudre un problème en utilisant un schéma.

I – Addition
Une addition est une opération qui permet de calculer la somme de deux ou de plusieurs nombres. Les nombres que l’on ajoute sont les termes de la somme.

table-addition

II – Soustraction
Une soustraction est une opération qui permet de calculer la différence entre deux nombres. Les nombres que l’on soustrait sont les termes de la différence.

table-soustraction

III – Calcul d’une expression avec parenthèses
Pour calculer une expression qui contient des parenthèses, on effectue d’abord les calculs situés entre les parenthèses.

1_podiums_m

G1 – Vocabulaire de base de la géométrie

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Objectifs :
– Utiliser les notations de la géométrie.(appartient à , n’appartient pas à)
– Utiliser les objets de la géométrie (droite, demi-droite, segment)


I – Des objets géométriques

Un point est toujours l’intersection de deux « droites » et est noté par une lettre en majuscules.

Une droite est une ligne illimitée constituée de points. La droite se note avec des parenthèses.

Une demi-droite est une portion d’une droite délimité par un point d’un seul côté. La demi-droite se note avec un crochet du côté délimité et une parenthèse du côté illimité.

Un segment est une portion d’une droite délimité par deux points des deux côtés. Il se note avec des crochets.

 

II – Les symboles « appartient à » et « n’appartient pas à ».

Le symbole ? signifie « appartient à ».
Le symbole ? signifie « n’appartient pas à ».

III – Le segment, sa mesure, son milieu.

L’objet segment se note avec des crochets [  ].
Exemple : le segment délimité par les points A et B est le segment [AB].

La mesure de la longueur du segment se note AB.

Le milieu du segment est le point du segment qui est à distance égale des deux extrémités.

N6.3 : Somme et différence (relatifs et fractions)

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Objectifs du chapitre :
– Calculer la somme, la différence de nombres relatifs.
– Calculer la somme, la différence de nombres en écriture fractionnaire.
– Calculer une expression algébrique

I – Somme de nombres relatifs
1) Somme de deux nombres positifs :
Le résultat est positif.
On additionne les parties numériques.
Exemple : (+3)+(+8) = (+11)

2) Somme de deux nombres négatifs :
Le résultat est négatif.
On additionne les parties numériques.
Exemple : (-6)+(-7) = (-13)

3) Somme d’un positif et d’un négatif :
Le résultat a pour signe le signe du nombre qui a la plus grande partie numérique.
On soustrait les parties numériques.
Exemple : (+9)+(-12) = – (12-9) = (- 3)

II – Différence de nombres relatifs
D’après le cours de cinquième, on sait que : a – b = a + (opposé de b)

Il n’y a pas de nouvelles règles pour la soustraction. Pour effectuer une soustraction, on commencera par la transformer en addition en utilisant la remarque ci-dessus.
Exemples :
(- 8) – ( – 2 ) = (- 8) + (+ 2) = (- 6)
(- 3) – (+ 6) = (- 3) + (- 6) = (- 9)
(+ 5) – (+ 7) = (+ 5) + (- 7) = (- 2)
(+ 8) – (- 3) = (+ 8) + (+ 3) = (+ 11)

III –  Suppression de parenthèses
Pour supprimer des parenthèses dans des additions ou des soustractions :

  •  on recopie le premier nombre sans les parenthèses ni le + s’il est positif,
    sans les parenthèses avec le – s’il est négatif.
  • pour le deuxième nombre on applique la règle des signes suivantes :
    +(+   ) donne +              -(-    )  donne +
    +(-    ) donne –               -(+   ) donne –

N7.2 : Arithmétique. (Diviser pour mieux calculer).

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Objectifs du chapitre :
– Déterminer les diviseurs d’un nombre entier.
– Déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers.
– Déterminer le PGCD de deux nombres entiers.
– Déterminer si deux nombres sont premiers entre eux.
– Rendre une fraction irréductible.

0 – Rappels : Les critères de divisibilité.
Un nombre est divisible …
… par 2 : si il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
… par 3 : si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (c’est-à-dire dans la table de 3).
… par 4 : si ces deux derniers chiffres sont divisibles par 4.
… par 5 : si il se termine par 0 ou 5.
… par 9 : si la somme de ses chiffres est divisible par 9 (c’est-à-dire dans la table de 9).

Exemple : le nombre 12 345
12 345 ne se termine pas par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. Donc 12 345 n’est pas divisible par 2.
12 345 se termine par un 5. Donc 12 345 est divisible par 5.
1+2+3+4+5=15.
15 est dans la table de 3. Donc 12 345 est divisible par 3.
15 n’est pas dans la table de 9. Donc 12 345 n’est pas divisible par 9.
45 n’est pas dans la table de 4. Donc 12 345 n’est pas divisible par 4.

Exercice : Choisis un nombre et vérifie tous les critères de divisibilité.

I – La division euclidienne
Pour deux nombres entiers positifs a et b,
on effectue la division euclidienne de « a » par « b » , on peut ensuite écrire : a = b*q+r.

a est le dividende
b est le diviseur (toujours différent de 0)
q est le quotient
r est le reste 

Définitions : a et b deux nombres entiers positifs, avec b différent de 0.
On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier q tel que: a = b*q (c’est-à-dire le reste égal 0 dans la division euclidienne).
On dit aussi : « a est divisible par b » ou « a est un multiple de b » ou « b divise a« .

II – Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

1) Méthode « la liste des diviseurs »
On fait la liste des diviseurs de chacun des deux nombres.
On regarde tous les diviseurs communs aux deux nombres.
On prend le plus grand des diviseurs communs.

Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.
Les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.
Le Plus Grand Commun Diviseur de 60 et 24 est : 12. On note : PGCD(60 ; 24) = 12.

Les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 21.
Les diviseurs de 46 sont : 1 ; 2 ; 23 ; 46.
Le Plus Grand Commun Diviseur de 21 et 46 est : 1. On note : PGCD(21 ; 46) = 1.

2) Méthode « des soustractions successives »
Le principe de cette méthode de calcul est : un diviseur de deux nombres divise aussi la différence de ces deux nombres, et en particulier le PGCD de ces deux nombres.
On calcule ensuite la différence entre le plus petit des deux nombres et le résultat de la soustraction. On continue jusqu’à un résultat égal à zéro. Le PGCD est le dernier résultat non nul.

Exemple : Quel est le PGCD de 60 et 24 ?
60 – 24 = 36. Le PGCD de 60 et 24 est un diviseur de 46.
On continue avec le résultat obtenu et le plus petit des termes de la soustraction.
36 – 24 = 12. Le PGCD de 60 et 24 est un diviseur de 12.
24 -12 = 12
12 – 12 = 0.
Le PGCD est le dernier résultat non nul.
Ici, le PGCD de 60 et 24 est 12. On note : PGCD(60 ; 24) = 12.

Exemple : Calcul du PGCD de 189 et 105.
189 – 105 = 84
105 – 84 = 21
84 – 21 = 63
63 – 21 = 42
42 – 21 = 21
21 – 21 = 0
Le PGCD de 189 et 105 est 21. On note : PGCD ( 189 ; 105 ) = 21.

3) Méthode « des divisions successives » : l’algorithme d’Euclide.
Cette méthode est très utile pour des grands nombres !

On divise le plus grand des deux nombres par le plus petit ; puis on continue en divisant le plus petit des deux nombres par le reste. Le PGCD est le dernier reste non nul dans les divisions successives.

Exemple : Quel est le PGCD de 60 et 24 ?
60 = 2*24 + 12
24 = 2*12 + 0
Le PGCD de 60 et 24, le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide, est : 12.

Exemple : Calcul du PGCD de 1452 et 1020.
1452 = 1*1020 + 432
1020 = 2*432 + 156
432 = 2*156 +120
156 = 1*120 + 36
120 = 3*36 + 12
36 = 3*12 + 0
Le PGCD de 1452 et 1020 est 12. On note : PGCD ( 1452 ; 1020 ) = 12.

D 3 : Notion de fonction

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I – Vocabulaire

Une fonction est un procédé de calcul qui, à un nombre, fait correspondre un seul autre nombre. La fonction f, au nombre x, associe  un nombre unique noté f(x).

Exemple : Programme de calcul
Choisis un nombre ;
Multiplie le par 3 ;
Ajoute 6 au résultat ;
Enlève le carré du nombre de départ au résultat. (Rappel : le carré d’un nombre est le nombre multiplié par lui-même.)

  • Je choisis 10.
    J’obtiens 30, puis 36.
    Je calcule le carré de 10 : 10 fois 10 égal 100
    J’obtiens : 36 – 100 = – 64.

Pour une fonction f donnée :

  • On dit que le nombre f(x) est l’image du nombre x par la fonction f.
  • On dit que le nombre x est un antécédent du nombre f(x) par la fonction f.

Exemple précédent :

  • – 64 est l’image de 10 par le programme de calcul.
  • 10 est un antécédent de – 64 par le programme de calcul.

Remarque : On peut définir une fonction à partir d’une phrase, d’une notation ou d’une égalité.

  • (une phrase) Tu choisis un nombre ; tu le multiplies par 3 ; tu ajoutes 6 au résultat et enfin, tu enlèves le carré du nombre de départ.
  • (une notation) f : x |——> 3x + 6 – x²
  • (une égalité) La fonction f est définie par f(x) = 3x+6 – x²

 II – Calcul d’image

Pour calculer l’image d’un nombre (par exemple 4) par une fonction f connue, il suffit de remplacer le x par le nombre (ici, c’est 4) et ensuite il faut faire le calcul.

Exemple : Soit f : x ——> 3x + 6 -x²
Voici le calcul de l’image de 4 :
f(4) = 3*4 + 6 – 4²
f(4) = 3*4 + 6 – 4*4
f(4) = 12 + 6 – 16
f(4) = 2

III – Représentation graphique

Pour éviter de très nombreux calculs, on peut s’intéresser à l’objet « fonction » à partir de sa représentation graphique qui résume toutes les informations.
Sur une courbe on retrouve toutes les informations qui nous intéressent (image et antécédent).

Les antécédents sont lus sur l’axe horizontal appelé axe des abscisses.
Les images sont lues sur l’axe vertical appelé axe des ordonnées.

 

Rappels : Les règles de signes.
Dans une multiplication,
si deux nombres ont des signes différents leur produit est négatif ;
si deux nombres ont des signes identiques leur produit est positif.

Dans une addition,
si deux nombres ont des signes identiques leur somme est du même signe que les deux nombres ;
si deux nombres ont des signes différents leur somme est du même signe que le nombre qui a la plus grande distance à zéro.

G4.3 – Cercles circonscrits

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Objectifs :
– Connaître et utiliser la médiatrice (équidistance des points).
– Construire le cercle circonscrit à un triangle.
– Connaître et utiliser la médiane.

I – Différents triangles

Il existe plusieurs types de triangles :
– le triangle quelconque : aucune particularité.
– le triangle isocèle : deux côtés de même longueur ; deux angles de la base de même mesure.
– le triangle équilatéral : trois côtés de même longueur ; trois angles égaux.
– le triangle rectangle : un angle droit.
– le triangle isocèle rectangle.

II – Droites  et points particuliers du triangle.

  • les médiatrices d’un triangle se rencontrent en un point le centre du cercle circonscrit au triangle.
    Rappel : Une médiatrice d’un segment est une droite qui passe perpendiculairement par le milieu de ce segment.
  • les médianes d’un triangle se rencontrent en un point le centre de gravité du triangle.
    Rappel : Une médiane d’un triangle est la droite qui passe par le milieu d’un côté et passe par le sommet opposé.
  • (abordé dans un chapitre futur) Les hauteurs d’un triangle se rencontrent en un point l’orthocentre du triangle.
    Rappel : Une hauteur d’un triangle est une droite qui est perpendiculaire à un côté et passe par le sommet opposé.
  • Les bissectrices d’un triangle se rencontrent en un point le centre du cercle inscrit dans le triangle.
    Rappel : Une bissectrice d’un angle est une droite qui partage un « angle » en deux « angles » égaux.

III – Propriétés du triangle rectangle

Propriété : Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans le cercle dont un diamètre est l’hypoténuse du triangle.

Remarques :
Le centre du cercle est le milieu de l’hypoténuse, ici c’est le point O.
Le rayon du cercle mesure la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

Propriété : Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane relative à son hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de son hypoténuse.

 

IV – Reconnaître un triangle rectangle

Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l’un de ces côtés, alors ce triangle est rectangle.

Propriété : Si, dans un triangle, la longueur d’une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, alors ce triangle est rectangle (et le côté correspondant est l’hypoténuse du triangle).


N1 – Rang des chiffres

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Activité d’introduction : (partie exercices)

1) Écris quelques nombres (une dizaine environ).
2) Entoure les nombres entiers.
3) Encadre les nombres décimaux.
4) Écris tous les chiffres que tu connais.

Réponses :
1) 61 ; 9,62 ; deux ; 2 100 ; 1 / 4 (un quart)
2) Un nombre entier est un nombre qui peut s’écrire « sans virgule ».
Exemples : 61 ; 2 100.
3) Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire « avec une virgule » et un nombre fini de chiffres après la virgule.
Exemples : 61 ; 9,62 ; 2 (deux) ; 2100 ; 0,25 (un quart).
4) Tous les chiffres que je connais sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8  et 9.
Les chiffres permettent d’écrire les nombres comme les lettres permettent d’écrire les mots.

Exercice : Différencier « chiffre » et « nombre ».

Bienvenue sur ce blog !

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Tu y trouveras des éléments de cours, des exemples, des exercices, etc.
Ce blog est un complément aux cours que tu as en classe, il ne remplace pas le cours.

Les commentaires sur ce blog se doivent d’être bien orthographiés et courtois.

Note : Évariste et Gustave correspondent à
evariste Évariste Galois (1811-1832)
et Gustave Courbet (1819-1877).

Gustave_Courbet_-_Le_Désespéré

Tu peux également trouver des ressources intéressantes sur les sites suivants :
(Tous niveaux) http://matoumatheux.ac-rennes.fr/accueil.htm
(Niveau collège) http://www.maths974.fr/
(Niveau collège) http://mathelot.blogspot.fr/