Objectifs du chapitre :
– Connaître et utiliser la définition d’une bissectrice
– Utiliser différentes méthodes pour tracer une bissectrice
– Caractériser les points d’un bissectrice (équidistance des deux côtés de l’angle)
– Construire le cercle inscrit dans un triangle

I – Bissectrice d’un angle
Définition : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.

Propriétés :
Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle.
Si un point est équidistant des côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
II – Bissectrices dans un triangle, cercle inscrit au triangle
Propriétés : Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle :
c’est-à-dire le cercle tangent à chacun des trois côtés du triangle.

Voici une vidéo de Maxicours présentant la définition, la construction de la bissectrice d’un angle :
[youtube]http://youtu.be/2WdyTyH9ZiQ?t=6s[/youtube]

Objectifs :
– Utiliser les notations de la géométrie.
– Reconnaître et nommer des figures géométriques simples.
– Définir le cercle et utiliser ses propriétés.
– Construire une figure d’après un schéma ou un programme de construction.
– Savoir construire un cercle donné.
– Savoir construire un triangle dont on connaît les 3 longueurs.

I – Polygones
Définition : Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des segments.

Quel est le plus petit nombre de côtés pour un polygone ? …

 a) Les triangles … polygones à trois côtés
Définition : Un triangle est un polygone à trois côtés.

Cas particuliers :
– Un triangle qui possède deux côtés de même longueur est un triangle isocèle.
– Un triangle dont les trois côtés ont la même longueur est un triangle équilatéral.
– Un triangle qui possède un angle droit est un triangle rectangle.

Exercice : Construire un exemple pour chaque triangle.

b) Les quadrilatères … polygones à quatre côtés.
Définition : Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.

Cas particuliers :
– Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme.
– Un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur est un losange.
– Un quadrilatère qui a quatre angles droits est un rectangle.
– Un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits est un carré.

Exercice : Construire un exemple pour chaque quadrilatère.

II – Cercle
Définitions : Un cercle est un ensemble de points à égale distance d’un point donné, appelé centre du cercle. La distance entre un point du cercle et le centre du cercle s’appelle le rayon du cercle.

Propriétés :
– Tout point qui appartient au cercle est à une même distance du centre.
– Tout point éloigné du centre d’une distance égale au rayon appartient au cercle.

Exercices :
a) Construire un point A. Construire un cercle de centre A et de rayon 3 cm.
b) Construire deux points O et C. Construire un cercle de centre O et passant par C.

Objectifs:
– Identifier, dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre.
– Calculer la mesure d’un angle inscrit et d’un angle au centre
– Construire des polygones réguliers
– Utiliser des propriétés des polygones réguliers

I – Angle inscrit, angle au centre

Définition : Dans un cercle (C) de centre O, on considère trois points A, B et M appartenant au cercle (C).
L’angle AMB est un angle inscrit du cercle (C) et
l’angle AOB est un angle au centre du cercle (C).

Propriété : Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

Propriété : Dans un cercle, si deux angles interceptent le même arc de cercle,
alors ils ont même mesure.
Démonstration : Dans un même cercle, on considère deux angles inscrits qui interceptent un même arc. Les deux angles inscrits mesurent la moitié de la mesure de l’angle au centre interceptant le même arc.
Donc les deux angles inscrits ont la même mesure.

II – Polygones réguliers

Définition : Un polygone régulier est une figure a plusieurs côtés
dont tous les sommets appartiennent à un même cercle et
dont tous les côtés ont la même longueur.
Le centre du cercle est appelé centre du polygone régulier.

Vocabulaire : On considère un polygone régulier de centre O.
Les points A, B et C sont trois sommets consécutifs du polygone.
L’angle ABC est un angle du polygone. L’angle AOB est un angle au centre du polygone.

Propriété : n est un nombre entier strictement supérieur à 2.
Si un polygone est régulier à n côtés, alors tous ses angles au centre ont la même mesure égale à 360°/n.

Comment construire un polygone régulier ?
– Construire un cercle (C) de centre O.
– Placer un point A sur le cercle (C), c’est le premier sommet du polygone régulier.
– Placer un point B sur le cercle (C), en mesurant l’angle au centre AOB du polygone régulier.

Propriété : Si un polygone est régulier, alors tous ses angles ont la même mesure.

Propriété (admise) : Si un polygone est inscrit dans un cercle et si tous ses angles au centre ont la même mesure alors ce polygone est régulier.

Exercice : Choisir un nombre entier n. Calculer la mesure de l’angle au centre 360°/n.
Tracer ce polygone régulier.

EXERCICES THÉMATIQUES AU D.N.B.

Centre étrangers, juin 2014 (Ex 3).
Inde, avril 2011.
Métropole, juin 2014 (Ex 1)
Métropole, juin 2010.
Asie, juin 2014 (Ex 3)
Asie, juin 2009.

Objectifs :
– Utiliser les notations de la géométrie.(appartient à , n’appartient pas à)
– Utiliser les objets de la géométrie (droite, demi-droite, segment)

I – Des objets géométriques

Un point est toujours l’intersection de deux « droites » et est noté par une lettre en majuscules.

Une droite est une ligne illimitée constituée de points. La droite se note avec des parenthèses.

Une demi-droite est une portion d’une droite délimité par un point d’un seul côté. La demi-droite se note avec un crochet du côté délimité et une parenthèse du côté illimité.

Un segment est une portion d’une droite délimité par deux points des deux côtés. Il se note avec des crochets.

II – Les symboles « appartient à » et « n’appartient pas à ».

Le symbole ? signifie « appartient à ».
Le symbole ? signifie « n’appartient pas à ».

III – Le segment, sa mesure, son milieu.

L’objet segment se note avec des crochets [  ].
Exemple : le segment délimité par les points A et B est le segment [AB].

La mesure de la longueur du segment se note AB.

Le milieu du segment est le point du segment qui est à distance égale des deux extrémités.