Chacun sa part : une situation de proportionnalité méconnue

 

Objectifs
  • Découvrir une situation de proportionnalité peu connue des élèves
  • Etudier la proportionnalité sous plusieurs aspects
  • Utiliser les fractions, fraction d’une quantité et pourcentage
Niveau / B.O
  • Fin de cycle 3, à distance du travail mené sur la proportionnalité
  • Pourquoi pas en cycle 4 à propos de la notion de ratio puisque le B.O y fait explicitement référence dans les compétences associées à l’étude de la proportionnalité :

Modus Operandi

Prévoir au moins une séance pour chaque situation. Un travail de groupe peut s’avérer utile. On peut aussi imaginer une présentation orale du travail produit par les groupes avec un orateur choisi au sein du groupe et les autres en soutien.

Déroulement / Relances

Un diaporama peut permettre d’introduire auprès des élèves la situation.

On précisera ce qu’est un budget commun et à quoi il sert. Par une discussion de classe habilement menée, on amènera les élèves à prendre conscience que le partage en trois parts égales ne convient pas. On en profitera pour faire oraliser les élèves :  « Chacun va récupérer des sommes différentes car au départ chacun a versé des sommes différentes ».  L’idée de cette présentation est simplement de faire comprendre les grandeurs en jeu dans le problème sans en dévoiler les pistes éventuelles de résolution. D’où le fait qu’il n’y figure pas de variable didactique fixée. Bien sur, on pourra laisser les élèves rejeter eux-même le partage en trois parts égales. Dans tous les cas, à ce stade, se garder de parler de proportionnalité, c’est une démarche de modélisation qui devra rester à la charge des élèves.
Une fois la situation clarifiée (pas de partage en trois parts égales) et les élèves en situation de recherche, on peut s’attendre à certaines difficultés. L’affaire n’est pas simple et des blocages sont à prévoir. Si certains groupes calculent naturellement la somme totale 2500 + 300 + 450 = 1000, ne pas hésiter à demander aux groupes qui n’y pensent pas, de le faire. Cette somme est un bon levier pour la compréhension de la situation. Ensuite, les élèves devront trouver rapidement la somme correspondant à Alice. On pourra relancer les élèves bloqués en demandant ce que représente la somme d’Alice par rapport à la somme totale. A ce stade, de nombreuses stratégies pourront apparaître, à condition de laisser les élèves chercher. L’usage d’un tableau pourra être conseillé pour des élèves qui n’arrivent pas à s’organiser.
La situation 2 pourra être traitée de façon identique.

Stratégies / productions D’ÉLÈVES

Elles sont nombreuses et sont même susceptibles de se croiser. En voici quelques-unes (liste non exhaustive) :

  • Pourcentages : Alice donne 25 % de la somme de départ donc
    reçoit 25% de la somme restante.
  • Fractions : Alice a versé 1/4 de la somme de départ donc elle reçoit 1/4 en retour.
  • Coefficient de proportionnalité : Il vaut 155/1000 = 0,155. S’il apparaîtra assez rarement dans les travaux d’élèves, il s’avère néanmoins terriblement efficace. Son usage pourra être montré dans un bilan final.
  • Une fois la somme d’Alice trouvée, des arguments de proportionnalité (voir plus loin, « un peu de mathématiques« ) pourront être utilisés pour Bertrand et Chloé : Si Alice perçoit 38,75 € en ayant versé au départ 250 elle aurait perçu 7,75 € si elle avait versé 50 € (5 fois moins) et donc, Bertrand percevra 6 fois plus. . .
    D’autres élèves remarqueront peut-être que Bertrand a versé 1,2 fois plus qu’Alice et qu’il percevra de même 1,2 fois plus. On pourra faire le lien entre les écritures 6/5, 1 + 1/5 et 1,2.

Dans tous les cas, la diversité des techniques de résolution permettra de faire
un point assez complet sur la notion de proportionnalité mais aussi sur les écritures fractionnaires et les fractions d’une grandeur.
Enfin, on pourra faire remarquer aux élèves qui trouvent la somme de Chloé par différence, que c’est astucieux mais qu’ils perdront une occasion simple de vérifier leurs trois sommes.

Variables didactiques

Pour la situation 1, les données sont choisies de façon à obtenir des résultats au centime près en valeurs exactes. Un travail spécifique peut être entrepris dans la situation 2 pour rechercher un partage au centime près « le plus juste possible ». Dans les deux situations, les enjeux ne sont donc pas tout à fait les mêmes. La situation 1 est davantage axée sur la méthode de résolution et la situation 2 est davantage axée sur la recherche de précision.

  • Un coefficient de proportionnalité arrondi (0,29 ou même 0,299) ne
    donne pas de bons résultats :
    0,29 x 6800 € + 0,29 x 5200 € + 0,29 x 3700 € = 4694,30 € et non pas 4700 €. Certains élèves se poseront alors la question du partage des 5,70 € restant entre les trois amis.
  • La méthode qui consiste à utiliser un pourcentage donne de
    moins bons résultats.
  • Il pourra donc être utile de chercher un coefficient fractionnaire
  • Une simple troncature  au centième des trois résultats calculés à l’aide de fractions donne une somme totale égale à 4699,98 €, inférieure de 2 centimes à 4700 € ! On profitera de cette occasion pour rappeler comment arrondir un résultat au centième près.
Un peu de mathématiques
  • Les sommes d’argent récupérées par les trois amis sont dans le ratio des sommes versées, c’est à dire,  250 : 300 : 450 (ou encore 25 : 30 : 45 ou même 5 : 6 : 9). Cela signifie que si a, b et c sont les sommes récupérées par Alice, Bertrand et Chloé, on a a / 250 = b / 300 = c / 450 et donc, en utilisant un argument de proportionnalité, a / 250 = b / 300 = c / 450 = ( a + b + c ) / (250 + 300 +450)  soit, puisque dans notre cas a + b + c = 155 a / 250 = b / 300 = c / 450 = 155 / 1000. On en déduit alors facilement a, b et c.
    Un théorème de calcul algébrique permet d’étayer l’argument de proportionnalité. En effet si a = b alors on a aussi,
    a = b = ( x + y ) / ( a + b )
    En effet si a = b alors il existe un nombre k tel que x = k . a et y = k . b. On a donc ,
    ( x + y
    ) / ( a + b ) = ( k . ak . b ) /  ( a + b )  = k = a = b
    CQFD.
    Ce théorème permet alors d’écrire, dans la situation d’Alice, Bertrand et Chloé, l’égalité surprenante :
    a / 5 = b / 6 = c / 9 = (a + b + c ) / (5 + 6 + 9 ) = 155  / 20
    On retrouve ce qui sous-tend les productions d’élèves citées plus haut, celles qui utilisent des arguments de proportionnalité.
  • Les partages selon un ratio données font parties d’exercices « classiques ». On en retrouve par exemple ici (exercices 15 à 18) : http://www.math.univ-angers.fr/~labatte/institut/Exprop.pdf
  • Le site de Serge Mehl consacre un article assez complet sur la proportionnalité, on y trouve peut-être une origine à la notation a : b : c http://serge.mehl.free.fr/anx/proportionnalite.html
Fichiers utiles

Enoncé.pdf
Presentation.pdf

Un peu de musique pour terminer

Et puisqu’on parle de partage…

Heures décimales en 6ème

Voici une activité qui permet de faire travailler les élèves sur les différentes écritures des durées.

Matériel

Étiquettes à découper + consigne. Prévoir aussi des trombones.

Objectif

Comprendre et utiliser l’écriture des durées sous forme décimale.

Niveau

Fin de cycle 3 – sixème

Déroulement

Prévoir deux séances et un peu de temps pour un bilan.
Lors d’une séance précédente, en fin d’heure, nous pouvons poser, au tableau, la question de la signification de l’écriture 1,3 h. On pourra alors mettre en évidence qu’il ne s’agit ni de 1 h 3 min ni de 1 h 30 min (1,3 = 1,30 est une connaissance bien ancrée chez les élèves). Certains feront alors sans doute la remarque que 1,5 h = 1 h 30 min et que dons, 1,3 h c’est moins que 1 h 30 min… La question initiale ne devra pas être résolue, les élèves quitteront la classe avec l’idée que « ce n’est pas si simple ». On pourra tout de même évoquer que 1,3 se lit aussi 1 et 3 dixième et bien sûr que 1 h = 60 min.

Les élèves sont placés en équipe de deux de façon à favoriser les échanges rapides. Préparer et distribuer un jeu d’étiquettes mélangées pour chaque équipe, distribuer les consignes et rappeler au tableau ce qui a été fait lors de la séance précédente (1,3 h, 1 h 3 min etc). Dire qu’il faudra coller les étiquettes sur une copie double. La copie double permettant de ne pas perdre les étiquettes entre deux séances.

On pourra vérifier que chaque groupe a identifié que le jeu d’étiquettes était composé de trois types d’écriture. Les élèves les mieux organisés auront déjà constitué leurs trois tas.

La calculatrice pourra être utilisée pour accélérer les recherches et éviter les erreurs de calculs mais une simple table de 60 réalisé à l’aide d’un tableur, imprimé et distribuée pourra être une aide suffisante.

Indiquer aux élèves que, dans un premier temps, ils ne s’occuperont que des associations d’écritures, les calculs venant plus tard comme justification.

Relances / difficultés

Les élèves les plus en difficulté pourront se limiter, dans un premier temps, aux écriture heures-minutes et minutes. On pourra alors demander aux élèves le nombre de minutes dans 1 h, dans 2 h, etc de façon à trouver les premières associations. L’algorithme « nombre d’heure x 60 min = écriture en minutes » sera automatisé.

En classant les durées dans l’ordre croissant (ou décroissant), certains élèves, même s’ils ne sont pas au clair sur le sens d’une écriture décimale des heures,   réussiront néanmoins à établir toutes les associations. Les laisser faire, ils termineront rapidement, les féliciter pour leur perspicacité mais leur demander alors de justifier leurs résultats en indiquant leurs calculs.

Les relances sur les écritures décimales pourront se faire sur les écritures 1,5 h, 7,5 h, 1,25 h, etc dans un premier temps. Les demis et quarts d’heure sont connues pour certains élèves. On pourra aussi montrer qu’en doublant 1 h 30 min d’une part et 1,5 h d’autre part, on obtient bien la même durée.

Ensuite il conviendra de revenir sur le sens de l’écriture 1,3 h. C’est à dire 1 h et 3/10 h. Si les fractions d’une quantité ont été traitées avec la classe, cela sera d’autant plus aisé. C’est là le nœud de cette activité. Si l’ensemble est assez ludique (les élèves peuvent apprécier la forme, les étiquette à coller)  le discours qui accompagne ce travail doit rester rigoureux et n’avoir qu’un seul but : le sens des écritures décimales de durées.

Productions d’élèves / bilan

Voici quelques productions d’élèves qui sont classées par ordre de complexité croissante. Les premières, sans aucun calcul, permettent de valoriser le travail de tous. Elles mettent aussi en lumière le travail qui reste à accomplir.

Viennent ensuite des tentatives de calculs. Seuls les résultats apparaissent.

Ensuite des calculs plus précis apparaissent mais ils ne permettent pas encore de justifier ou de comprendre les écritures décimales.

Avec certaines productions, on pourra, revenir sur la rigueur des écritures du type 60 x 3 = 180 + 10 = 190. Ce qui est à gauche du signe « = » doit être égal à ce qui est à droite du signe « = ». Est-ce le cas ici ?

Plus rares, des productions d’élèves permettront de tirer un bilan assez complet de ce travail sur les écritures décimales.

Lors d’un bilan, après avoir passé en revue les différentes productions dont on s’attachera à montrer les aspects positifs comme les améliorations possibles, on pourra faire vérifier les égalités heures-minutes / minutes puis les égalités heures décimales / minutes en faisant écrire aux élèves les différents calculs en jeu.

Institutionnalisation / technique

Voici un résumé que l’on pourra distribuer aux élèves en toute fin d’activité.

Il est toujours intéressant de faire remarquer aux élèves que certaines questions sont encore non résolues.

Conclusion

Si cette activité a pour but de faire comprendre le sens des écritures décimales des durées, elle n’en donne pas les raisons d’être. Quelle est l’utilité de telles écritures ?  A quoi servent-elles en mathématique ? Où apparaissent-elles hors-mis dans le cours de mathématique ? Autant de questions non résolues dans cet article…