Archive for the ‘illustrations’ Category

Séries de Fourier et cristallographie

mardi, octobre 21st, 2014

Les séries de Fourier et la cristallographie

 

Nous avons déjà évoqué ici, sur ce site, l’historique de ce que les cristallographes doivent à la théorie de Joseph Fourier. En effet, on utilise les phénomènes de diffraction pour comprendre la structure fine d’un objet. C’est l’utilisation de cette technique qui a permis de découvrir la structure de l’ADN

Pour illustrer un peu mieux les phénomènes mis en jeu, nous renvoyons aujourd’hui à une animation proposée par Sylvain Ravy (synchrotron SOLEIL) et Pascale Launois  (Laboratoire de Physique des Solides d’Orsay) qui ont réalisé une petite animation [4 minutes en 26 vues] sur les séries de Fourier et la cristallographie, en prenant appui sur l’exemple de la première structure qui a été résolue entièrement par cette méthode (Robertson, 1935). Elle se trouve sur le site dédié à l’année internationale de la cristallographie en France, dans la rubrique « Formation et Ressources » puis « Documents disponibles » :

Les séries de Fourier et la cristallographie

 

Launois

On peut aussi trouver cette même animation sur Dailymotion.

Contacts :

[email protected]

[email protected]

 

 

 

 

Fourier et les médailles Fields 2014

vendredi, août 15th, 2014

Fourier et les médailles Fields 2014

      Nous connaissons maintenant le palmarès 2014 de la Médaille Fields. Un des quatre lauréats, Martin Hairer, qui est déjà multi-médaillé et membre de la Royal Society, travaille sur les équations aux dérivées partielles (EDP) stochastiques (mathématiques des processus probabilistes), domaine d’intérêt en traitement du signal comme on le découvre sur ce site du CNRS.

A partir de la page perso de Martin Hairer, on peut trouver ce cours introductif aux EDP stochastiques dans lequel on remarque que sont abordés, dans le cadre stochastique, comme exemples de « motivation », les deux EDP les plus importantes de la physique : celle de la chaleur (Fourier, Auxerre), dont on tire les principes de résolution de toutes les EDP linéaires, et celle de Navier(Dijon)-Stokes, qui cristallise toutes les difficultés et illustre une part importante de la variété des comportements non-linéaires. En somme, une bonne part de la Physique dite « classique » est Bourguignonne (surtout si on y ajoute d’autres grands personnages tel que Carnot, par exemple).

Dans ce cours, les outils d’analyse de Fourier sont utilisés seize fois.

Par ailleurs, toujours sur sa page perso, on constate que Monsieur Hairer a commis les logiciels de traitement du son suivants (évidemment basés Fourier) :

http://www.hairersoft.com/

http://man.dsd.net/amadeus/en/tools_spectrum.htm

Enfin, l’université dans laquelle il est professeur semble à la pointe sur certaines technologies liées aux outils de Fourier.

Martin Hairer

Merci à Tadeusz Sliwa, professeur  à l’Université d’Auxerre (CCSTI) de nous avoir signalé ce rapport entre les médailles Fields 2014 et le sujet que nous traitons.

 

Fourier et Lena

vendredi, août 8th, 2014

Fourier et Lena

Histoire d’une Transformation

Longtemps, très longtemps, j’ai été perplexe devant ces images que l’on annonce comme équivalentes :

Léna_01

Je ne comprenais pas le mode de passage d’une image à l’autre. Il est vrai que je suis très ignorant des mathématiques supérieures, que la théorie des dérivées partielles m’est étrangère, néanmoins mes souvenirs de bachelier auraient dû me permettre de comprendre au moins le principe de la transformation.

Au départ, il y a l’image de Lena [1], initialement publiée dans Playboy avant d’être accaparée par les chercheurs. A l’époque, c’était une image argentique ; aujourd’hui, ce serait une image numérique obtenue avec un appareil photo ou par passage au scanner d’une reproduction de l’image originale. Cette image est donc transformable en un fichier numérique : une fois numérisée l’image se traduit par une fonction qu’on peut schématiser de la façon suivante : au pixel de coordonnées (x ;y) on fait correspondre un niveau de gris, g(x ;y) traduit par un entier entre 0 (blanc) et 255 (noir). On est donc en présence d’une fonction à 2 variables (x ;y) prenant ses valeurs entières entre 0 et 255 et qui peut se représenter par un fichier numérique.

La démonstration de Fourier : 

Après avoir établit qu’une fonction périodique peut s’écrire de façon équivalente en une somme infinie de sinus et cosinus (une série de Fourier), Fourier généralise cette approche à toute fonction, périodique ou non (c’est la Transformée de Fourier). Ainsi, « Toute fonction est peut s’écrire comme une somme infinie de sinus et cosinus, affectés de coefficients »

Série de Fourier

toute : Fourier énonce un résultat de portée universelle. Les analystes de la fin du XIXème siècle (Dirichlet, Jordan, Riemann,…) apporteront plus de rigueur à la démonstration de Fourier et introduiront quelques contraintes sur les fonctions. Elle reste vraie pour des fonctions que Fourier ne connaissait pas en 1822 lorsqu’il a publié sa démonstration.

peut s’écrire comme :  la transformation fonctionne dans les deux sens ; en partant de la somme infinie des sinus et cosinus il est possible de revenir à la fonction initiale.

somme infinie de sinus et cosinus : L’intérêt est ici que l’on peut facilement intégrer ou dériver cette série. Ce qui fait le succès de la Transformée de Fourier : une fois les coefficients déterminés, elle utilise des notions élémentaires.

 Un point d’achoppement entre Fourier et les mathématiciens et les physiciens de son temps était de savoir si ces séries convergeaient bien vers la fonction initiale, y compris aux points de discontinuité. Au cours du XIXe siècle, les mathématiciens ont tranché le débat en précisant la notion d’intégrale.

Sinus et cosinus : On s’y initie bien avant le baccalauréat ; ils ne posent pas de problèmes tant qu’ils ondulent mollement de 0 à 2?, ils deviennent un peu urticants, mais les candidats bacheliers s’y font, lorsqu’il faut trouver une équivalence à sinus (2x) ou à cosinus (a + b).

Coefficients : leur calcul n’est pas évident. De nos jours des calculateurs dédiés fournissent des valeurs aussi précises que nécessaires en quelques secondes.

Cela dit, il n’est pas si simple sans bases mathématiques solides d’aborder la transformation de Fourier. On pourra le voir dans ce dialogue entre un lycéen et des étudiants-enseignants ; dialogue extrait d’un forum actif en 2011.

Spectre d’une fonction sinus :

Il n’est pas nécessaire de représenter complètement la courbe des fonctions sinus et cosinus, que l’amplitude et la fréquence suffisent à définir entièrement :

spectre_01

Le spectre (ici au bas de l’image) permet de retrouver le graphe.

L’université de Lyon a créé une animation qui permet de visualiser la représentation d’une fonction par son spectre :

http://spiral.univ-lyon1.fr/files_m/M5423/WEB/acoustique/anim/fourier/fourier.swf

 

Sans perte d’information, on peut simplifier encore davantage la représentation en n’indiquant que l’extrémité du segment (III) et aux conventions de représentation près, ces trois graphiques sont équivalents :

spectre_02

                                                          I                                                         II                                                       III

Image et transformée :

Revenons à Lena maintenant :

  1. a)      Le fichier de l’image de Léna (qui est représentée, avec les technologies courantes, par 4 Mo des données) est transformé en une somme de fonctions sinus et cosinus (à ce stade, il n’y a pas d’allégement du fichier, la quantité de données est équivalente ; les données sont fonction de la précision des calculs).
  2. b)      La transformation de Fourier du fichier est représentée sur la seconde image. Chaque pixel est l’image du spectre d’une des fonctions de la Transformée de Fourier de l’image initiale. On l’a compris, il n’y a pas correspondance entre un point de l’image initiale et un point de la Transformée. Chaque point de la Transformée rend compte d’une composante en sinus ou cosinus de l’image initiale et influe sur l’ensemble de la fonction (image initiale).

Si les deux représentations sont aussi encombrantes l’une que l’autre (4 Mo pour fixer les idées), on peut s’interroger sur l’avantage qu’il y a transformer l’image qui n’est même plus directement lisible.

Il est possible (et relativement facile) d’expérimenter sur chacune des représentations et de recueillir des informations précieuses de la comparaison des résultats. Ces expérimentations s’effectuent par le moyen de programmes informatiques assez courts, voir par exemple le site de Dimitri Bonnet :

http://kmdb.pagesperso-orange.fr/_src/_python/_formation_2010/python_formation_images.html

Le site de Caroline Petitjean donne aussi, sans entrer dans le détails de la programmation, quelques exemples d’expérimentation :

http://carolinepetitjean.free.fr/enseignements/ti/part4_M1M2_TI.pdf

On peut ainsi intervenir sur des images pour les modifier, voici un exemple trouvé sur le site de Guillaume Cheron [2] :

http://guilhem-cheron.voila.net/filtrage_echantillonnage_tf.html

On bruite Lena afin de dégrader l’image. La voici, elle, et son spectre.

bruit_01

Pour « débruiter » on applique un masque sur le spectre aux endroits qui semblent être dégradés. On obtient le résultat suivant (avec son spectre couvert par le masque)

bruit_02

 

Les illustrations ci-dessus permettent de comprendre l’intérêt de la transformation de Fourier dans le traitement des fichiers numériques (image, son ou autres).

 

Des applications multiples

Outre la retouche d’image, il est simple de supprimer certaines fréquences qui alourdissent le fichier sans apporter d’information pertinente : pour un fichier audio, par exemple, la suppression des fréquences qui ne sont pas perçues par l’oreille n’altère pas la perception. Avec cette suppression, le gain en terme de volume du fichier devient intéressant. Le codage MP3 des fichiers audio exploite cette propriété.

 

Les applications sont multiples : compression de fichiers numériques (image : suppression du bruit, des fréquences inutiles ; musique : suppression des fréquences inaudibles), mais aussi maintenance des systèmes rotatifs, imagerie scientifique ou médicale, en spectroscopie

 

Faute de connaître les technologies développées après sa mort, Fourier n’a pas pu imaginer qu’on leur applique cette Transformation dont il était l’inventeur et qui cependant leur apporte beaucoup. Un article consacré aux grandes équations de la science a ainsi pu titrer : la Transformation de Fourier est le couteau suisse de la physique mathématique. La Transformation de Fourier est ainsi utile en cristallographie, domaine dans lequel la découverte des quasi-cristaux valut à Dan Shechtman son prix Nobel.


[1] Le nom « Lenna » est le nom donné dans l’article original de Playboy, le prénom de Lena Sjööblom ayant été changé par le magazine pour que le nom soit correctement prononcé par des anglo-saxons.

Lena Söderberg (née Sjööblom, le 31 mars 1951 en Suède) est apparue comme modèle Playmate dans l’édition du magazine de Playboy en novembre 1972. Elle fut photographiée par Dwight Hooker. L’utilisation de cette image a connu quelques controverses en raison de la nudité de l’image d’origine, et surtout Playboy tenta une fois de poursuivre les utilisations non autorisées de l’image. Le magazine a depuis abandonné les poursuites et accepté l’utilisation de « Lenna » pour des raisons publicitaires.

David C. Munson, éditeur en chef lors des discussions de l’IEEE sur le traitement d’image de janvier 1996, cite deux raisons pour expliquer la popularité de cette image dans le monde de la recherche :

« Tout d’abord, cette image contient un mélange intéressant de détails, de régions uniformes, et de textures, ce qui permet de bien tester les différents algorithmes de traitement d’image. C’est une bonne image de test ! Ensuite, « Lenna » est l’image d’une femme attirante. Ce n’est pas une surprise que la communauté de la recherche dans le traitement d’image (principalement masculine) gravite autour d’une image qu’elle trouve attirante. » La coïncidence fait que Playboy a déclaré que ce numéro était sa meilleure vente : 7 161 561 exemplaires.

[2] Sur ce site, en plus de l’exemple extrait, reproduit sur cette page, l’on pourra trouver plusieurs exemples d’application de masques au traitement d’une image

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fourier et la maintenance industrielle

lundi, novembre 4th, 2013

Fourier et la maintenance industrielle

 Proximètre

Les méthodes de calcul introduites par Joseph Fourier sont remarquablement fécondes, nous avons déjà évoqué les applications à la compression d’image et de sons, à l’analyse spectrale… Ce billet se propose de présenter l’apport des méthodes de Fourier à l’industrie dans ce qu’elle a de plus traditionnel.

De nombreuses machines mettent en jeu des systèmes qui tournent (axes, roues, engrenages….). Dans les cas les plus simples, la détection des défauts de roulement est évidente et leur correction est une affaire de dextérité et d’un peu de savoir faire ; aucun de ceux qui se sont essayé à régler la tension des rayons d’une roue de bicyclette ne me démentira. Quand le système est plus complexe, la localisation des défauts est plus délicate et de le rendement de la machine dépend pour beaucoup de leur bonne correction.

Proximètre_02L’exemple ci-dessous est développé sur la page qui traite de la maintenance des systèmes mécaniques d’un site pédagogique tunisien. Nous renvoyons à ce site pour un exposé complet et détaillé des méthodes utilisées ; notre propos n’est ici que de montrer la fécondité des méthodes de calcul développées par Joseph Fourier dans un domaine fréquent en milieu industriel.

 

Voici, brièvement résumé la démarche exposée dans un document .pdf du site cité précédemment.

 

 

a) Un balourd génère un signal périodique qui peut être enregistré par un capteur :

001_balourd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) Plusieurs balourds génèrent un signal périodique complexe. La décomposition de en série de Fourier permet de mettre en évidence chacun des balourds.

003_signal type004_analyse

 

 

 

 

 

 

 

c) En pratique, on se trouve devant un signal vibratoire complexe. Cas d’un moto-compresseur.

002_signal complexe

01_motocompresseur

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Les vibrations réelles sont infiniment complexes, constituées d’un grand nombre de composantes d’origines multiples et modulées par un grand nombre de paramètres. Néanmoins, ces vibrations complexes peuvent se ramener a la superposition de composantes élémentaires purement sinusoïdales représentées chacune par leur amplitude Ai et leur fréquence Fi. La transformée de Fourier est un des outils utilisés a cet effet. Cette fonction mathématique réalise une transposition du signal de l’espace temporel vers l’espace fréquentiel. La représentation du signal obtenue est appelée un spectre en fréquences. La Transformée de Fourier est implémentée dans les analyseurs de spectres sous une forme appelée FFT (Fast Fourier Transform). Le spectre final contient l’ensemble des fréquences sinusoïdales (raies discrètes) constituant le signal vibratoire d’origine.

3. Définition d’un spectre

Un spectre est un graphe dans lequel sont représentées les amplitudes et les fréquences de toutes les composantes vibratoires élémentaires induites par le fonctionnement d’une machine. Chaque composante est représentée par un segment vertical appelé raie dont l’abscisse représente la fréquence et l’ordonnée, l’amplitude.

Notons que dans certains cas (raies confondues et dépassant largement du signal, …) nous ne parlons plus de raie, mais de pic.

4. Représentation graphique d’un spectre

Les spectres issus de signaux vibratoires réels sont très riches en raison du grand nombre de sources vibratoires présentes dans une machine. Par suite, les informations intéressantes dans le spectre ne correspondent pas forcement aux fréquences présentant des maxima d’amplitude. Des raies spectrales d’amplitude faibles au regard des autres peuvent être d’un intérêt de premier plan pour le diagnostic. Afin de pouvoir les visualiser, on utilise pour la représentation des spectres en fréquences une échelle logarithmique des amplitudes du signal. Ce type de représentation présente l’avantage de favoriser l’affichage des petites amplitudes et est donc recommande.  /…/

Le Cepstre est un outil mathématique qui permet la mise en évidence des périodicités dans un spectre en fréquence. Il résulte de la transformée de Fourier inverse d’un spectre de puissance. Le cepstre associe a une famille de raies harmoniques ou un ensemble de bandes latérales une raie unique dans sa représentation graphique. Il est utilise pour le diagnostic des phénomènes de chocs périodiques (desserrages, défauts de dentures, écaillage de roulements) et des phénomènes de modulation en fréquence ou en amplitude. La figure 4.11 montre le spectre d’un choc dû a une usure d’accouplement et le cepstre correspondant.

05_cepstre

 

 

 

 

 

 

Laplace, contemporain de Fourier

vendredi, février 15th, 2013

Laplace, un contemporain de Fourier

L’actualité éditoriale nous permet d’ évoquer Pierre Simon de Laplace, un grand savant, contemporain de Joseph Fourier.

Laplace avait une vingtaine années de plus que Fourier dont il fut le maître à l’École normale en 1795. Dans une lettre adressée à BONARD, le professeur de mathématiques du lycée d’Auxerre, Fourier décrit ses professeurs et parmi eux, Laplace : « LAPLACE paraît assez jeune, a la voix faible, mais nette ; il parle avec précision, mais non sans quelques difficultés ; il est d’un extérieur agréable et vêtu fort simplement ; il est de taille moyenne. L’instruction mathématique qu’il donne n’a rien d’extraordinaire et est fort rapide. » Plus tard, Laplace, sera membre de la commission de l’Académie de sciences qui examinera la Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides, présentée par Joseph Fourier et aura un avis réservé ou tout au moins refusera de porter un jugement sur le travail de Fourier. Les liens que Fourier a pu tisser avec Laplace l’autorisent à lui écrire en 1816, avec vigueur et ironie, pour défendre l’originalité de son œuvre face aux critiques de Poisson, et Laplace finit par comprendre en quoi le travail de Fourier est profondément nouveau et important. Le soutien de Laplace permet alors à Fourier d’envisager une candidature à l’Académie des Sciences. Par la suite Laplace et Fourier siégeront tous deux à l’Académie.

 Voici comment Daniel Reisz, présente la parution du récent ouvrage de vulgarisation consacré à Laplace, publié aux éditions Hermann : Pierre-Simon de LAPLACE (1749-1827). Le parcours d’un savant. par Jean Dhombres, avec la collaboration de Serge Sochon et Suzanne Debarbat. Editions Hermann, L’Observatoire de Paris, Novembre 2012, 352 pages en 17 x 25 (format « italien »). ISBN 9782 7056 8273 6. Prix 26€.

 » LAPLACE fait partie de ces savants qui, à côté d’une œuvre scientifique de première importance, ont eu un éminent rôle social et politique. Né roturier il devint comte d’Empire et archichancelier du Sénat par la grâce de Napoléon, puis marquis et pair de France par celle de Louis XVIII. Non seulement il finira riche mais toute sa vie durant, par une intense fréquentation du monde savant, par son mariage avec Marie-Anne Charlotte de Courty de Romange, par ses responsabilités politiques, il se fera une place dans la haute société de l’époque. Parmi ses amis très proches citons Lavoisier, non seulement éminent chimiste, académicien, mais aussi richissime fermier général et Berthollet, lui aussi chimiste, académicien, mais aussi médecin du Duc d’Orléans. En particulier par l’intermédiaire de sa femme qui lui ouvre les portes des milieux influents il devint le véritable patron de la science française.

 Son œuvre scientifique, pour l’essentiel d’ordre mathématique, est étonnamment éclectique. Au delà des grands classiques que sont la Mécanique céleste, Le système du Monde, la Théorie analytique des probabilités, assorti de l’Essai philosophique sur les probabilités, il a correspondu avec nombre de savants de toutes disciplines et écrit de très nombreux articles.

Si certains de ses textes sont ardus et demandent une bonne culture mathématique, d’autres sont tout à fait abordables. Il en est par exemple ainsi de ce qu’il a écrit sur le théorème fondamental de l’algèbre ou encore sur les probabilités.

 Jean Dhombres, avec la collaboration de Serge Sochon pour la partie normande et pour les commémorations et Suzanne Debarbat pour les travaux de Laplace au bureau des longitudes et ses liens avec l’Observatoire, nous font évidemment et avant tout pénétrer dans la pensée scientifique de Laplace, mais en même temps ils nous font vivre au quotidien la vie scientifique de l’époque et tout cet environnement social et politique de la famille Laplace. La prise en compte de cette dialectique constante entre activité scientifique et environnement socio-politique est une des originalités de cet ouvrage. L’érudition protéiforme de Jean Dhombres et de ses acolytes est assez époustouflante et le lecteur est parfois un peu perdu par cette profusion de faits et gestes. Une très riche iconographie, souvent originale et qui s’adapte bien à l’élégant format du livre, fait partie intégrante de l’ouvrage. La trame en est donnée par le titre des grands chapitres : La Vie normande ; La Vie parisienne ; Les Bouleversements de la Terreur ; La Mécanique céleste ; Une deuxième vie scientifique ; Laplace pour la postérité.

Bref, un livre d’une extraordinaire richesse tant par la profondeur des analyses que par l’éclectisme des approches. »

L’exposition du CCSTIB

lundi, février 11th, 2013

Une exposition dédiée à Joseph Fourier

Quel point commun y a-t-il entre la compression d’images, l’effet de serre, le radar, l’isolation thermique et l’imagerie à résonance magnétique (IRM) ? Tous utilisent les résultats d’études menées il y a deux siècles par Joseph Fourier, scientifique auxerrois, sur la propagation de la chaleur.

Cette exposition présente la vie de ce personnage profondément humain et s’attarde sur ses travaux en physique et en mathématiques en les mettant en lien avec la recherche scientifique actuelle et des objets de notre quotidien… Un vrai retour vers le futur de Joseph Fourier !

Titre des panneaux :

  • Joseph Fourier, retour vers le futur !
  • Joseph Fourier, l’Auxerrois
  • Un citoyen engagé & un politique éclairé
  • Une équation pour la chaleur…
  • … Et les fonctions mathématiques
  • Évolution de l’analyse de Fourier
  • Fourier dans l’actualité de la recherche scientifique
  • Fourier dans notre quotidien.

Tous ces points sont abordés dans l’exposition que le Centre de Culture Scientifique et Technique de Bourgogne (CCSTIB) consacre à Joseph Fourier.

Par ailleurs, la souscription que le même CCSTB a lancée pour remplacer à Auxerre la statue de Fourier détruite au cours de la seconde guerre mondiale continue son chemin et un texte anglophone commence à circuler outre-atlantique.

Joseph Fourier par Cédric Villani

lundi, décembre 17th, 2012

Présentation de Joseph Fourier par Cédric Villani

 Dans son dernier ouvrage, Cédric Villani, médaille Fields 2010, évoque Joseph Fourier en termes élogieux à plusieurs reprises. Au début de son livre, il explique, sans formule, l’originalité du travail de Joseph Fourier et au passage revient, avec humeur, sur un jugement de Victor Hugo que nous avons déjà présenté ici.

        « L’analyse de Fourier consiste en l’étude des vibrations élémentaires des signaux. Supposons que l’on souhaite analyser un signal quelconque, une quantité qui varie à mesure que le temps passe ; par exemple, le son est fait de légères variations de pression atmosphérique. Au lieu de s’intéresser directement aux variations complexes de ce  signal, Joseph Fourier, scientifique et homme politique du début de dix-neuvième siècle, eut l’idée de le décomposer en une combinaison de signaux élémentaires, dont chacun varie de manière très simple et répétitive : les sinusoïdes (et leurs frères jumeaux, les cosinusoïdes).

         Chaque sinusoïde est caractérisée par l’amplitude et la fréquence de ses variations ; dans la décomposition de Fourier, les amplitudes nous renseignent sur l’importance relative des fréquences correspondantes dans le signal étudié.

        Ainsi les sons qui nous entourent sont faits de la superposition d’une multitude de fréquences. La vibration à 440 battements par seconde est un la qui sera perçu avec d’autant plus de puissance que son amplitude est forte. À 880 battements par seconde, on entendra un la de l’octave au-dessus. Si l’on multiplie la fréquence par 3, on passera à la quinte, c’est-à-dire au mi; et ainsi de suite. Mais en pratique les sons ne sont jamais purs, ils sont toujours faits de la concomitance de très nombreuses fréquences qui en déterminent le timbre ; pour préparer ma maîtrise, j’ai étudié tout cela dans un passionnant cours intitulé « Musique et Mathématique ».

        Et I’analyse de Fourier sert à tout : à analyser les sons et à les graver sur un CD, mais aussi à analyser les images et à les transmettre par Internet, ou à analyser les variations du niveau de la mer et à prédire les marées…

        Victor Hugo se moquait de Joseph Fourier, « petit » préfet de l’Isère, pariant que sa gloire d’académicien et d’homme politique fanerait au soleil. Il lui opposait l’homme politique Charles Fourier, « le grand Fourier », qui passerait à la postérité pour ses idées sociales.

        Je ne suis pas sûr que Charles Fourier a goûté le compliment. Les socialistes se méfiaient de Hugo, qui était certes le plus grand écrivain de son époque, mais avait aussi un lourd passé de girouette politique, tour à tour monarchiste, bonapartiste, orléaniste, légitimiste, avant que l’exil le rendît républicain.

        Et ce qui est sûr, c’est que – avec tout le respect dû à l’écrivain surdoué dont j’ai adoré les œuvres quand j’étais enfant – l’influence de Joseph Fourier est maintenant bien plus importante que celle de Hugo lui-même ; son « grand poème mathématique » (comme disait Lord Kelvin*), enseigné dans tous les pays du monde, est utilisé chaque jour par des milliards d’humains qui ne s’en rendent même pas compte. »

 Cédric Villani – Théorème vivant – p.33-35

 

* [Lord Kelvin rend compte par cette formule ce qu’il doit à Fourier dont le travail lui à permis de proposer un calcul de l’âge de la Terre comme ce site l’évoque dans un autre article.]

Approche simpliste des séries de Fourier

lundi, juin 4th, 2012

SÉRIES DE FOURIER

(une approche simple et pratique)

utilisation d’un simulateur

Quelle est la problématique des séries de Fourier ? Il s’agit de décomposer une fonction périodique de période T (et donc de fréquence  N = 1/T) en une somme des fonctions trigonométriques (c’est à dire des sinus et des cosinus) de fréquences N, 2N, 3N, …. En se référant au vocabulaire de l’acoustique, N est dite la fréquence fondamentale, 2N, 3N, 4N,… sont les harmoniques de cette fréquence fondamentale, chacune des harmoniques intervenant avec une intensité donnée. On appelle spectre de la fonction initiale, la suite formée par ces intensités d’harmoniques.

 Ce problème avait déjà été abordé dès le milieu du XVIIIème siècle par Daniel BERNOULLI, EULER, LAGRANGE et D’ALEMBERT, dans le cadre de l’étude des cordes vibrantes.. Mais il revient à FOURIER d’avoir vu là un outil tout à fait général qui sera ensuite amélioré et approfondi tout au long du XIXème et XXème siècle.

Sans rentrer dans des questions mathématiques plus délicates (on pourra consulter pour cela des ouvrages classiques d’analyse ou des dizaines de sites Internet) prenons un exemple très simple, voire caricatural.

Soit la fonction périodique de période 2, définie sur l’intervalle [-?, ?] par y = x/2.

en voici sa représentation graphique :

 

Le début de sa série de Fourier (les trois premiers termes) est:

 y = sin x –(1/2) sin 2x + (1/3) sin 3x

 où sin x correspond à la fondamentale et les deux termes suivants aux deux premières harmoniques, la première d’intensité -1/2, la seconde d’intensité 1/3. Il n’y a pas de termes en cosinus; Le début du spectre de cette fonction est donc :

 0; 1; 0; -1/2; 0; 1/3;…

(La présence des 0 signalant l’absence des termes en cosinus)

Les représentations graphiques superposées de la fonction initiale et du début de sa série de Fourier montre déjà une assez bonne approximation de la première par la seconde.


 

Deux remarques:

1°) Si au lieu de prendre les 3 premiers termes de la série de Fourier de notre fonction, nous avions pris les 5, les 10, les 20 premiers termes, nous aurions une approximation de plus en plus précise de la fonction (approximation étant ici à prendre dans un sens complètement intuitif)

 2°) Evidemment on peut se poser la question de savoir comment on trouve les coefficients qui forment le spectre. Les formules générales qui permettent de les calculer sont nettement plus techniques et sortent du cadre de cette approche très sommaire, sans outillage mathématique très élaboré.

a) La simulation proposée par le PhET

[Initialement le  projet s’est focalisé sur les simulations physiques, et a donc été nommé le projet *Ph*ysics *E*ducation *T*echnology, ou *PhET*. Lorsqu’il a bifurqué vers la chimie, la biologie, les mathématiques et autres domaines, il fut décidé de garder le nom de *PhET *, mais de ne plus le décrire comme un acronyme.]

 L’Université du Colorado propose dans le cadre du projet PhET des simulateurs de phénomènes physiques interactifs. Parmi de nombreuses simulations qui intéresseront à la fois les professeurs de sciences physiques, de chimie, de biologie, de mathématique, on trouve une simulation qui permet de manipuler les séries de Fourier et de créer des ondes à partir des harmoniques. Les concepteurs de la simulation lancent une invitation à l’internaute : « Apprenez à faire des ondes de toutes les formes différentes en ajoutant des sinus ou des cosinus. Faire des ondes dans l’espace et le temps et mesurer leurs longueurs d’onde et leurs périodes. Voyez comment changer les amplitudes des différentes harmoniques changent les ondes. Comparer les différentes expressions mathématiques de vos ondes. »

 Le module consacré spécifiquement aux séries de Fourier d’un volume de 1 368 Ko peut être exécuté en ligne ou se télécharger pour être exécuté hors connexion.

 Voici une capture d’écran correspondant aux données ci-dessus introduites dans le simulateur (cliquez sur l’image pour agrandir) :

 

b) La simulation proposée par l’Université de Nantes :

Pour les lecteurs français, adeptes du marché de proximité, nous les invitons à se rendre sur le site de l’université des sciences de Nantes qui développe un projet similaire à l’Université du Colorado et propose des simulations-expérimentations à partir de phénomènes physiques.

On y trouve ainsi une animation centrée sur les séries de Fourier dont nous proposons aussi ci-dessous une capture d’écran.

 

 

 

 

 

 

Petites explications

mardi, mai 1st, 2012

En attendant que les membres de l’Association Joseph Fourier, mettent en ligne un cours complet sur la transformée de Fourier, vous pourrez trouver ici, façon Fourier pour les Nuls, quelques petites explications sans utiliser de formule mathématique.

Vous pouvez aussi aller voir ailleurs sur Internet pour la définition, avec quelques formules cette fois :

– des coefficients ou des séries de Fourier.

– de la transformée de Fourier.

 

Pour avoir une idée de ce que cela donne avec tout l’arsenal de formules, vous pouvez aussi consulter un cours, par exemple : ici ou.