Au Moyen-Age et jusqu’à une période récente, l’accès à une pièce d’eau était très convoité. L’exploitation des ressources piscicoles était un appoint non négligeable et les réserves en protéines pouvaient s’avérer vitales en période de disette.
La gestion des étangs et petites retenues d’eau pouvait relever de l’entreprise familiale. Pour les projets plus vastes, il y fallait l’expérience de sociétés bien organisée. C’est ainsi que le Marais poitevin a été progressivement aménagé sur la base de concessions seigneuriales à des communautés religieuses, puis à une époque plus récente par des privilèges de l’état accordés à des investisseurs.
Nasse en osier
Nasse en osier
Casier à poisson
Au Musée de la pêche en Hongrie : les moyens de conserver indéfiniment les poissons. [Aranyponty halászati múzeum]
Au début du 19e siècle, l’aménagement des marais de Bourgoin, dans l’actuel département de l’Isère restait à entreprendre : « On ne peut voir, sans en être douloureusement affecté, la triste situation des riverains de ces marais, au teint livide, au ventre bouffi, souffrant d’obstructions, de fièvres et affligés d’une vieillesse anticipée. » C’est en ces termes que le célèbre botaniste Varenne de Fenille décrit l’insalubrité des marais de Bourgoin, en 1807.
Ces terrains marécageux sont utilisés depuis des siècles par les paysans : ils y font pâturer le bétail et récoltent la laîche servant à confectionner la litière d’hiver des animaux d’élevage. Ces terres sont essentielles aux cultures vivrières de nombreuses familles alentours, mais elles sont aussi sources de graves désagréments : odeurs nauséabondes, prolifération des maladies digestives, des fièvres paludéennes… Sans compter les noyades dues à l’instabilité et à la profondeur des marais : « Le bétail qui s’éloigne un peu trop des bords est quelquefois englouti et disparaît tout à coup, écrit Varenne de Fenille. De nombreux voyageurs s’y noyèrent.» (1)(2)
Louis XIV déjà souhaitait l’assainissement des marais de Bourgoin. En 1668, il confie cette tâche au maréchal de Turenne, à qui revient la concession des terrains. Mais Turenne meurt au combat. Son héritier, Godefroy de la Tour d’Auvergne, engage deux ingénieurs hollandais, les frères Coorte, pour entreprendre les travaux.
En 1686, un traité est conclu pour le partage des futures terres asséchées : 7/10e reviennent aux Coorte, 3/10è aux communes et aux particuliers ! Ce partage est mal perçu par la population, qui se sent dépossédée. Les travaux ont lieu dans une ambiance hostile, avec de nombreux actes de vandalisme. Les frères Coorte sont finalement contraints de renoncer. Ils meurent peu après, ruinés. On raconte même qu’ils auraient été assassinés et enterrés quelque part dans les marais…
Il faudra attendre 1805 pour que le projet d’assainissement redémarre sérieusement, grâce au décret pris par Napoléon mais aussi grâce aux qualités de négociation du préfet de l’Isère, l’éminent mathématicien Joseph Fourier qui réussit à apaiser l’hostilité des riverains (3). Sont concernés 1 500 hectares s’étendant sur quarante communes.
Notre collègue Jean Charles Guillaume, va publier une étude détaillée établissant la part de Joseph Fourier dans l’assèchement des marais de Bourgoin.
Joseph Fourier, alors préfet de l’Isère, maîtrise bien son sujet ; en effet, le premier « coup de pioche » est donné le 25 novembre 1808, à Chamagnieu. C’est le début d’un chantier titanesque, mené par la société Bimar de Montpellier : 600 ouvriers sont mobilisés pour creuser des centaines de canaux. Alors que les guerres napoléoniennes vident le pays de ses hommes, la main d’œuvre est difficile à trouver et on recourt à 400 prisonniers espagnols. Les travaux se déroulent dans des conditions souvent difficiles, dues à de nombreuses intempéries. Malgré tout, l’ensemble des marais sont drainés et le chantier s’achève en 1814, dans les délais exigés par Napoléon. Les terres sont alors mises en culture et donnent bientôt de magnifiques récoltes. (3)
Le projet n’est pas anodin et sa réussite doit beaucoup à son pilotage ; pour preuve ce qui se passe après le départ de Fourier : l’euphorie ne dure qu’un temps… Quatorze ans plus tard, en 1828, la société Bimar, asphyxiée financièrement, vend ses terrains et les obligations d’entretien des ouvrages ne sont pas respectées. Dans le même temps, les paysans se mettent à extraire la tourbe des marais – utilisée pour fertiliser les terres après avoir été brûlée ou pour remplacer le bois de chauffage – à grande échelle, sans se soucier de détériorer les digues et les canaux. Les ouvrages se dégradent et des étangs réapparaissent au milieu des terres… Il faudra attendre les années 1940 pour arriver à une rénovation générale du dispositif de drainage. (3)
Pour Joseph Fourier, la référence en matière de biographie reste encore l’ouvrage de Jean G. Dhombres et Jean-Bernard Robert « Fourier, créateur de la physique-mathématique », Belin, 1998, 767 pages. Malheureusement, cet ouvrage est définitivement indisponible chez l’éditeur. D’autre part, l’évolution très rapide des applications liées aux travaux de Joseph Fourier, de nouvelles recherches dans les documents d’archives, appellent quelques compléments tant sur la biographie proprement dite que pour éclairer le regain de popularité du nom de Fourier.
Au sein de la Société Joseph Fourier d’Auxerre, sous la direction de Jean Dhombres (1), coauteur de l’ouvrage précité, une équipe s’est constituée dans le but de publier une nouvelle biographie de Joseph Fourier. L’ouvrage pourrait sortir des presses au cours du second semestre de 2015.
Nous nous efforcerons de nous informer de l’avance du projet et d’informer nos lecteurs. Ceux qui souhaitent être directement informés :
1/ des conditions de lancement d’une possible souscription
2/ de la date de sortie publique
sont invités à se signaler en laissant un message à sjf89@laposte.net .
Nous avons déjà évoqué sur ce blog, l’oubli dans lequel fut plongée la pensée de Fourier vers le milieu du XIXe siècle avant de trouver un nouvel éclat lorsqu’on sut l’exploiter avec les applications que l’on connaît maintenant.
Une autre illustration de cet oblitération est fournie par l’ouvrage de Chalamet, « Jean Felber » que nous citons plus loin. Cet ouvrage, publié en 1895, propose des lectures courantes destinées aux classes élémentaires ; il présente l’histoire d’une famille alsacienne, la guerre franco-allemande, des descriptions et excursions à travers la France. Il propose en outre une monographie de 64 pages, spécifique à chaque département. Pour l’Yonne, cette monographie est due à Arluison et Carteret, inspecteurs primaires. Davout y paraît sur plus d’une page ; une page est consacrée à Jean-Roch Coignet, soldat de l’Empire ; la biographie de Paul Bert couvre aussi une page. Quant à Joseph Fourier, il n’est évoqué qu’au détour de deux maigres paragraphes. Notons tout de même qu’à l’époque où Arluison et Carteret rédigeaient leur ouvrage, une statue de bronze représentant Fourier grandeur nature due au sculpteur Faillot ornait la place de la mairie d’Auxerre.
(Nous nous proposons de revenir dans un prochain article sur l’histoire de cette statue qui mérite d’être contée. Sans attendre la rédaction à venir de cette notice, sur la destruction de cette statue, le lecteur pressé peut consulter le tome 50 du bulletin de la Société des Sciences Historiques et naturelles de l’Yonne, année 2012/2, pages 123 à 152 « Vendanges de bronze dans l’Yonne sous l’Occupation », par Bernard Richard.)
/…/
Le XIXe siècle.
Le dix-neuvième siècle est caractérisé par un grand mouvement scientifique auquel l’Yonne a pris part.
Le département envoya, à l’Ecole normale qui se fondait, Fourier qui était professeur de mathématiques à l’école militaire d’Auxerre ; plus tard, Fourier entra à l’Ecole Polytechnique, puis il partit avec d’autres savants pour suivre Bonaparte en Egypte ; il faut secrétaire perpétuel de l’Institut d’Egypte, et composa la préface du grand ouvrage publié par les savants qui faisaient partie de cet institut.
Nommé préfet de l’Isère, puis du Rhône, il démissionna bientôt, pour se livrer à des travaux scientifiques. On lui doit plusieurs ouvrages sur les mathématiques. /…/
Chalamet, Jean Felber, 1895, éd. Alcide Picard et Kaan
Edition du département de l’Yonne avec une monographie historique, géographique, agricole et pittoresque de 64 pages, signée de MM. Arluison et Carteret, inspecteurs primaires, Officiers d’académie.
Les trois derniers sous-chapitres de l’ouvrage de Deltheil et Leconte, Éléments de calcul différentiel et de calcul intégral, traitent des transformées de Fourier. L’ouvrage fut publié en 1926, à une époque les idées de Fourier n’avaient pas encore trouvé la pleine efficacité qu’elles ont aujourd’hui dans la recherche, l’industrie, les communications. La présentation qu’en font les auteurs qui est caractéristiques de l’époque : en ce temps, les séries et la transformation de Fourier donnent matière à exercices illustrant le calcul différentiel et intégral.
Notons la remarque de la page 204 : « La théorie rigoureuse des séries trigonométriques est difficile et nous devrons, le plus souvent, nous borner à énoncer des résultats sans les démontrer. » De nos jours, les méthodes de Fourier ont donné naissance à d’incontournables outils largement utilisés par les techniciens, cependant cette remarque reste vraie : nous cherchons toujours le pédagogue qui saura donner à un public étendu, une vue en profondeur des questions qui préoccupaient Joseph Fourier.
-:-:-:-
R. Deltheil et Th. Leconte, Éléments de calcul différentiel et de calcul intégral, tome 1, 220 p. Collection Armand Colin, section de mathématiques, n°72, 1926, (6e édition – 1941)
Extrait de la troisième partie, les développements en séries, chapitre X, III, séries trigonométriques ; p. 204 à 216 :
83. Série de Fourier d’une fonction donnée.
Euler a montré que si une fonction donnée f(x) est, dans un intervalle d’étendue 2?, égale à la somme de la série trigonométrique :
a0 + a1 cos x + b1 sin x+ … + an cos nx + bn sin nx + …
les coefficients de la série s’expriment simplement au moyen de la fonction f(x). Ce calcul repose sur la possibilité, que nous admettrons[1], d’intégrer les séries trigonométriques représentant les fonctions que nous envisagerons.
Plaçons-nous, par exemple, dans l’intervalle (-?, ?). Le terme constant a0 se calcule en intégrant, f(x) et la série de – ? à ? ; comme les fonctions cos nx, sin nx admettent pour primitives sin nx / n, – cos nx/n, les intégrales de tous les termes sont nulles, sauf celle du terme constant et l’on peut écrire :
le terme constant est donc la valeur moyenne de la fonction f(x) dans l’intervalle (-?, ?). Le coefficient an se calcule en intégrant de –? à ?. la fonction f(x) cos nx et, terme à terme, la série multipliée par cos nx ; l’intégrale du terme a0 cos nx est nulle, de même que celles des termes ap cos nx cos px (n ? p) , bp cos nx sin px (quels que soient n et p) (§ 65) ; quant à l’intégrale du terme an cos² nx, elle est égale à ?an (§ 65) ; le calcul de bn est analogue, d’où les formules :
an bn sont donc égaux aux doubles des valeurs moyennes des fonctions f(x) cos nx, f(x) sin nx dans l’intervalle (-?, ?). L’interprétation géométrique de ces coefficients est intéressante ; la figure 63 donne celle de a4 :
les courbes C, C’ représentent les fonctions f(x), –f(x), la courbe en trait plein, la fonction f(x) cos 4x (§ 39, 5°) ; ?a4 est la somme algébrique des aires indiquées par des teintes grises, les aires placées au-dessus de Ox étant positives, celles placées au-dessous étant négatives.
C’est d’abord à propos de la vibration des cordes (ex. 35 et des fonctions périodiques qui s’introduisent dans cette étude que s’est posé le problème de la représentation d’une fonction par une série trigonométrique. Mais le calcul des intégrales qui fournissent les coefficients est pénible pour les fonctions périodiques les plus simples. Le véritable intérêt du problème n’est pas là, ainsi que l’ont montré la théorie et les applications. Il se trouve dans le fait que les formules d’Euler ont un sens pour toute fonction, périodique ou non, et conduisent à une série trigonométrique attachée à cette fonction, série appelée série de Fourier de la fonction, pour rappeler que Fourier, le premier, a appelé l’attention sur le degré de généralité du résultat. Dirichlet a ensuite montré que, moyennant des conditions très larges, la série de Fourier d’une fonction f(x) est convergente et a pour somme f(x) dans l’intervalle considéré d’étendue 2?. L’énoncé précis de Dirichlet est le suivant :
Soit une fonction f(x) continue dans un intervalle d’étendue 2?, sauf en un nombre fini de points où il y a discontinuité de première espèce (valeurs limites à gauche et à droite, saut brusque, § 10, fig. 12), et admettant dans cet intervalle un nombre fini de maxima et de minima. La série de Fourier de cette fonction est convergente. Sa somme est f(x) dans tout l’intervalle sauf aux extrémités et aux points de discontinuité ; en un point de discontinuité, la somme de la série de Fourier est la demi-somme des valeurs limites de f(x), à gauche et à droite ; aux extrémité de l’intervalle, (-?, ?) par exemple, la somme de la série de Fourier est la demi-somme des nombres f(-?), f(?).
Applications. –
1° Soit à trouver la série de Fourier de la fonction x/2 envisagée dans l’intervalle (-?, ?).
Les intégrales qui donnent les coefficients a portent sur des fonctions impaires parce que la fonction donnée est elle-même impaire ; leurs limites sont opposées ; les aires qu’elles représentent sont formées de deux parties, limitées par Oy, ayant des valeurs opposées; ces coefficients sont donc nuls. Le calcul de bn se fait simplement et donne :
Cette série est convergente et a pour somme x/2 a l’intérieur de l’intervalle (-?, ?) d’après le théorème de Dirichlet, et nous vérifions qu’elle a bien pour valeur, aux extrémités -?, ? de l’intervalle, la moyenne arithmétique, zéro, des valeurs prises par la fonction. La somme de cette série définit, x variant de moins l’infini à plus l’infini, une fonction périodique de période 2?, discontinue pour tous les multiples impairs de ? (fig. 64).
2° Cherchons la série de Fourier de la même fonction x/2 envisagée dans l’intervalle 0, 2?. Les formules qui donnent les coefficients sont analogues aux précédentes, le seul changement porte sur les limites des intégrales qui sont ici 0, 2? ; mais le calcul de certains coefficients n’est plus immédiat par des considérations de symétrie et il y a ici à utiliser les primitives x²/4 de x/2 et (x sin nx)/2n + cos nx / 2n² de (x cos x)/2 . On Parvient ainsi à la série ?/2 – sin x – (sin 2x)/2 + (sin 3 x) /3 … sur laquelle on fera des remarques analogues à celles que nous avons présentées à propos de l’exemple précédent.
La figure 65 donne la représentation graphique de la fonction périodique définie comme somme de cette série ; la comparaison des figures 64 et 65 suggère le moyen de passer de la seconde fonction à la première par le changement de y en (? /2) + y, de x en (? + x), ce qui se vérifie sur les séries.
3° Cherchons la série de Fourier de la fonction égale à – ? /4 de – ? à 0, à ?/4 de 0 à ? ; la série obtenue sera nulle pour x=- ?, x= ? (et pour tout multiple impair de ? ), puisque zéro est la demi-somme des valeurs de la fonction aux extrémités de l’intervalle ; mais elle le sera aussi pour x=0 (et pour tout multiple pair de – ?), parce que la fonction proposée est discontinue pour cette valeur et que zéro est la demi-somme des valeurs limites de la fonction à gauche et à droite.
visiblement, les coefficients a sont nuls ; bn est égal à 1/n ou est nul suivant que n est impair ou pair : d’où la série : sin x + (sin 3x)/3 + (sin 5x) / 5 +…. dont la somme est une fonction de x représentée graphiquement sur la figure 66.
On remarquera que dans les trois exemples que nous venons de traiter, les séries obtenues convergent d’après le théorème de Dirichlet et non en vertu des règles de convergence que nous avons données (ex. 223) ; de plus, il n’entre que 1/n au dénominateur du terme général, nous ne sommes pas dans le cas où la convergence est normale ; il est intéressant de rapprocher ces remarques de la constatation que, dans ces trois cas, la somme de la série présente des discontinuités.
4° Cherchons la série de Fourier de la fonction égale à |x/2| lorsque x varie de – ? à ?. L’intérêt présenté par cet exercice est le suivant : la fonction considérée, bien que formée de l’association de deux fonctions distinctes, x/2 et –x/2, est continue dans l’intervalle (– ? à ?) et elle prend même valeur ?/2 aux extrémités de l’intervalle ; la série de Fourier obtenue sera donc une fonction continue pour toute valeur de x (fig. 67).
La fonction donnée étant paire, les deux intégrales qui donnent bn ont des valeurs opposées parce que les intervalles d’intégration sont formés de valeurs opposées ; les coefficients a sont donc nuls ; les coefficients a se calculent aisément : a0= ?/4, an est égal à – 2/?n² ou à zéro suivant que n est impair ou pair ; nous obtenons donc la série :
?/4 – 2/? (cos x + (cos 3x )/3²+…) qui est normalement convergente quel que soit x, fait à rapprocher de la propriété de la somme de cette série d’être une fonction continue quel que soit x.
5° Dans les exemples précédents, nous avons cherché la série de Fourier d’une fonction impaire définie dans l’intervalle (-? à ? ) (fig. 64, 66) et nous n’avons trouvé que des termes en sinus ; nous avons cherché (fig. 67) la série de Fourier d’une fonction paire définie dans l’intervalle (-? à ?) et nous n’avons trouvé que des termes en cosinus.
Ces résultats sont généraux ; si f(x) est impaire, l’intégrale de f(x) ou celle de f(x) cos nx de – ? à ? est nulle, car cette intégrale se représente géométriquement par une aire formée de deux parties dont les valeurs sont opposées ; si f(x) est paire, l’intégrale de f(x) sin nx de -? à ? est nulle pour une raison analogue ; cette remarque permet d’annuler a priori les coefficients a dans le premier cas, les coefficients b dans le second.
6° Les exemples 1, 2, 4 nous ont conduits à trois développements de la fonction x/2, en séries trigonométriques, valables dans l’intervalle (0, ?) ; c’est une remarque importante et facile à justifier qu’une fonction donnée peut posséder une infinité de développements en séries trigonométriques dans un intervalle d’étendue moindre que 2 ?. Soit en effet la fonction f(x) dans l’intervalle (0, ?) par exemple ; associons-lui la fonction g(x) choisie quelconque dans l’intervalle (-?, 0) ; supposons cependant que la fonction h(x) ainsi définie dans l’intervalle (-?, ?) satisfasse aux conditions de Dirichlet ; écrivons son développement en série de Fourier, le développement obtenu dépendra évidemment du choix de g(x) ; en particulier, si h(x) est paire, condition qui détermine g(x), le développement ne contiendra que des cosinus ; si h(x) est impaire, condition qui détermine g(x), le développement ne contiendra que des sinus.
7° Nous avons eu l’occasion dans les exemples qui précèdent de donner une idée du rapport qui existe entre la rapidité de la convergence d’une série de Fourier et le fait que sa somme présente ou non des discontinuités. En vue d’insister sur ce point, cherchons la série de Fourier de la fonction égale à (1 – cos x) = 2 sin² x, de 0 à ? et qui est impaire, ce qui achève de la déterminer dans l’intervalle (-?, ?). Les coefficients a sont nuls ;
Cette série a pour somme une fonction f(x) toujours continue (fig. 68, courbe en traits pleins), dont la dérivée f’(x), périodique comme f(x), est égale à 2sin 2x, de 0 à ?, à -2sin 2x, de -? à 0, et est toujours continue (fig. 68, courbe en traits pointillés).
Ces résultats sont à rapprocher du fait que la terme général de la série de Fourier trouvée contient n3 au dénominateur, que le terme général de la série dérivée
contient n² au dénominateur ; la série dérivée est donc normalement convergente et par suite (§7, elle représente f’(x).
Dans le même ordre d’idées, il est bon de remarquer que les séries trigonométriques de termes généraux an sin nx, an cos nx, ?a? < 1, dont nous avons trouvé les sommes dès le début, sont dérivables terme à terme autant de fois qu’on le voudra.
Cas d’une période quelconque.
La série trigonométrique a0 +a1 cos ?t + b1 sin ?t + a2 cos 2?t + b2 sin 2?t+…. dans laquelle ? est un nombre et t la variable, a pour somme, lorsqu’elle est convergente, une fonction périodique de période T=2 ?/? ; elle se ramène à la forme adoptée jusqu’ici par le changement de variable ?t=x ; on dit que la partie a1 cos ?t+b1 sin ?t ou u1 sin (?t+a1), de période T est le terme fondamental ; la partie en n?t, de période T/n est le nièmeharmonique.
Pour représenter dans l’intervalle (a, b), a < b, une fonction f(t) par une série trigonométrique qui admette pour période b – a=T=2 ?/? on opérera le changement de variable ?t = x ; on obtiendra la fonction f(x/?), x variant dans l’intervalle (?a, ?b) d’étendue 2 ?, et on cherchera la série de Fourier de cette fonction. En modifiant légèrement, le changement, de variable, soit ?t = x + c, on peut faire en sorte que l’intervalle de variation de x soit un intervalle quelconque d’étendue 2 ? ; ainsi, pour obtenir l’intervalle (-?, ?), il suffit de choisir c= (? (a + b))/2
Comme application, cherchons le développement, de la fonction f(t) qui de 0 à T/2 est égale à zéro et de T/2 à T est égale à a.
Si l’on transporte les axes O’t’, O’y’, O’ étant le point de coordonnées T/2, a/2 (fig. 69), on se trouve ramené, aux dimensions près, au cas de la figure 66 ; on obtient donc le développement :
2a/ ? (sin (2 ?t’/T) + 1/3 sin (6 ?t’/T) + ….)
et, puisque y = y’ + a’/2, t = t’ + T/2, le développement cherché est
Exercice : 216. Développer en série trigonométrique la fonction 1/(2+ cos x).
(Écrire
et calculer a de manière à obtenir à un facteur constant près 2 + cos x au dénominateur.)
Exercice : 217. Trouver la série de Fourier de la fonction égale à – sin x de –? à 0 et à sin x de 0 à ?), de la fonction égale à ex de –? à ?, de la fonction égale à ex, de 0 à 2?, de la fonction égale à x²/4 de –? à ?. On peut retrouver les coefficients de ce dernier développement (sauf a0) en intégrant terme à terme la série qui donne x/2 de -? à ?.
Exercice : 218. – Trouver les développements en séries trigonométriques de période T, des fonctions de t suivantes :
1° celle qui est nulle, t variant de 0 à T/3, égale à a/2 de T/3 à 2T/3, égale à a de 2T/3 à T ;
2° celle qui est égale à a((tT/2) + t²) de –T/2 à 0, égale à a((tT/2) –t²) de 0 à T/2 (les deux arcs de paraboles représentatifs sont tangents à l’origine) ;
3° celle qui donne l’abscisse d’un point animé sur une droite d’un mouvement périodique ainsi défini : du temps 0 au temps T/2, le mobile va de A en B, AB = a, avec une vitesse constante v et du temps T/2 au temps T revient de B en A avec la même vitesse (suivre les indications du § 85).
Exercice : 219. – La série de Fourier d’une fonction f(x) définie dans un intervalle d’étendue 2?, (0, 2?) par exemple, et telle que f(x+ ?) = –f(x) ne contient pas de sinus et cosinus des multiples pairs de X.
Exercice : 220. – Dans la fonction f(t) = u0 + u1 sin (2 ? t/T + ?1) +… on remplace t par , t+? (décalage de ?) ; écrire le développement de la fonction f(t) + f(t+ ?)
(Appliquer la formule sin p + sin q = 2 sin (p+q)/2 cos (p–q)/2 ). Cas d’un décalage de T/2.
Exercice : 221.-Dans la fonction f(t) = u0 + u1 sin (2 ? t/T + ?1) +… on opère des décalages de T/3, 2T/3. Montrer que le développement de la fonction f (t + T/3) + f (t + 2T/3) est de la forme :
Exercice : 222. – La valeur efficace I (§ 53) de la fonction f(t) = u0 + u1 sin (w t + ?1) + u2 sin (2 ? t + ?2) + … pour la période 2 ? /? est donnée par l’égalité I² = u0² +(( u0²+ u1²)/2) +…
(Admettre qu’on peut élever la série au carré, ce qui est démontré pour nous lorsque la série ?un? est convergente. Seules les intégrales relatives aux termes carrés ne sont pas nulles.)
Appliquer à la fonction x/2 qui dans l’intervalle (-?, ?) admet pour développement sin x + sin 2x /2 + sin 3x /3 … et en déduire que le nombre S = 1 + 1/2² + 1/3² +1/4² +…. est égal à ? ²/6.
Appliquer à la fonction égale à – ? /4 de – ? à 0 de 0 à ? qui admet le développement sin x + sin 2x/2 + sin 3x /3 … et en déduire que le nombre S = 1 + 1/3² + 1/5² +… est égal à ? ²/8.
D’ailleurs, la relation S = S + S/4 s’obtient immédiatement en sommant séparément dans S, les termes pris de deux en deux.
Exercice : 223. a0 + a1 cos x + a2 cos 2x +… est convergente (sauf peut-être pour x = 2k ? ) si les nombres a sont positifs, décroissent et tendent vers zéro (montrer, en appliquant la formule : 2 cos px sin x/2 = (sin (2p+1)/2)x – (sin (2p-1)/2)x que 2Sn sin x/2 est égal à : a0 + a1 sin x/2 + (a0 – a1)sin x/2 +… + (an-1 – an)sin ((2n-1)/2)x + an sin ((2n+1)/2)x.
Laissant de côté le dernier terme, qui tend vers zéro, on obtient la somme des (n+1) premiers termes d’une série absolument convergente puisque le terme général est inférieur en valeur absolue à an-1 – an, terme général d’une série positive convergente. La méthode s’applique également à la série b1 sin x + b2 sin 2x + … les nombres positifs b décroissant et tendant vers zéro. Exemples : les séries de termes généraux cos nx/n, (x ? 2k?), sin nx/n sont convergentes.
[1] La théorie rigoureuse des séries trigonométriques est difficile et nous devrons, le plus souvent, nous borner à énoncer des résultats sans les démontrer.
Nous avons eu connaissance de la mise en souscription d’un ouvrage concernant signé de monsieur Jean-Charles Guillaume, Président de la Société des Sciences de l’Yonne. Nous ne pouvons manquer de nous en faire l’écho :
L’image de Joseph Fourier (1768-1830) à Auxerre est bien connue. Cet orphelin a huit ou neuf ans, sorti de la classe ouvrière, est monté, « par son seul mérite, aux premiers rangs de la société ». Plus tard, son rôle à la Société populaire et au Comité de surveillance lui permet « d’empêcher beaucoup de mal et de faire un peu de bien ».
Cette image est-elle conforme à la réalité ? N’a-t-elle pas été construite par ceux qui ont prononcé son éloge après sa mort – François Arago, à l’Académie des Sciences et Victor Cousin, à l’Académie française ?
La réponse à ces questions passe par une analyse des vingt-deux premières années de la vie de Joseph Fourier, dont dix-huit passées à Auxerre, puis par celle des cinq années de la période révolutionnaire.
__________________
Bon de souscription à retourner à : Société des Sciences Historiques et Naturelles de l’Yonne,
1 rue Marie Noël 89000 AUXERRE :
La Jeunesse de Joseph Fourier à Auxerre (1768-1794) : une nouvelle approche ?
de Jean-Charles Guillaume, 52 pages noir et blanc, format A4 reliées en spirale
Nom……….
Prénom : ……………..
Adresse : ……………………. Code postal : ………….. Ville : …………..
Adresse courriel : ………………..
Je désire recevoir l’ouvrage La jeunesse de Joseph Fourier à Auxerre.
Je joins un chèque de 15 €, frnaco de port, à l’ordre de la SSHNY
L’intérêt d’un roman est de nous faire découvrir ce qui nous serait autrement resté à tout jamais inaccessible. Ainsi en est-il des pensées du vigile ivoirien posté à titre dissuasif dans un magasin parisien :
« TRANSFORMÉES DE LAPLACE. Comment en arrive-t-on à penser aux « transformées de Laplace » en regardant une vieille femme aux cheveux teint en violet clair fouiller dans le rayon des Gaby 24,55€ soldés à -70%, de laids gilets rayés beige caca d’oie ?
[Gauz, Debout-payé, Le Nouvel Attila, 2014, p. 28]
/…./ TRANSFORMÉES DE LAPLACE 2. C’est une opération mathématique complexe inventée par le scientifique éponyme, qui permet de décrire les variations dans le temps de certaines fonctions. De nos jours, cette opération sert à faire du pricing, c’est-à-dire fixer des prix. On utilise les « transformées de Laplace » par exemple pour trouver les démarques et les prix optimaux à appliquer pendant la période des soldes. Un truc si compliqué pour des choses si vaines. »
[Gauz, Debout-payé, Le Nouvel Attila, 2014, p. 29]
Nous avons déjà présenté plus longuement Laplace ici, nous n’y reviendront donc que brièvement.
Pierre Simon Laplace (1747-1827) est contemporain de Joseph Fourier (1768-1830). Lorsqu’il arriva à l’École normale, en 1795, Joseph Fourier fut élève de Laplace avant qu’ils ne deviennent confrères. L’élève Fourier décrit son professeur dans une de ses lettres : « LAPLACE paraît assez jeune, a la voix faible, mais nette ; il parle avec précision, mais non sans quelques difficultés ; il est d’un extérieur agréable et vêtu fort simplement ; il est de taille moyenne. L’instruction mathématique qu’il donne n’a rien d’extraordinaire et est fort rapide. »
Joseph Fourier s’imprégna des travaux de Laplace qu’il utilisa dans ses propres recherches.
L’étude d’un fonction est grandement facilitée lorsque l’on est capable de l’écrire sous deux formes différentes. Chaque forme permet de l’examiner sous un angle original pour en tirer des conclusions nouvelles.
Euler, en 1748, reprenant les travaux antérieurs de Roger Cotes, a ouvert la voie en établissant le lien entre les fonction trigonométriques et les fonctions exponentielles (encore que l’écriture de cosx + i sinx sous forme exponentielle est une simple affaire de définition qui vient du lien entre les exponentielles complexes et les fonctions trigonométriques) :
En 1774, dans une étude concernant les probabilités, Laplace introduit que :
Cette formule permet d’écrire une fonction sous forme d’intégrale d’une fonction exponentielle. Avec cette transformée ainsi qu’avec la transformée de Fourier, ci-dessous, on dépasse la vision d’Euler évoquée plus haut et on change de façon beaucoup plus fondamentale la fonction à transformer. On pourrait presque dire qu’on passe d’un espace de fonctions à un autre espace de fonctions.
Fourier exploite les travaux de Laplace dans son étude sur la chaleur. La transformée de Fourier d’une fonction est un cas particulier de la transformée de Laplace :
Si une de nos lectrices se reconnaît dans la vieille dame aux cheveux teints en violet clair, nous la remercions d’avoir suscité dans l’esprit du vigile qui l’observait des pensées qui rejoignent nos préoccupations.
« Comment Joseph Fourier a transformé la cristallographie »
par Sylvain Ravy, directeur de recherche CNRS, responsable de la ligne CRISTAL au synchrotron Soleil
En passant par l’Egypte et Grenoble, Sylvain Ravy présente la vie et les travaux de Joseph Fourier, avec une illustration spécifique des « séries de Fourier ». Ces outils mathématiques inventés au début du XIXe par Fourier ont permis aux cristallographes de déterminer les structures atomiques des matériaux et des molécules de plus en plus complexes. Remise dans un contexte historique, cette découverte est une petite révolution, expliquée à l’occasion de cette conférence très accessible et sans aucune formule mathématique !
Ceux qui ne peuvent assister à ces développements, peuvent en avoir une idée en suivant sur you-tube la conférence sur le même sujet, donnée déjà par Sylvain Ravy, le 12 juin 2014 à Caen.
Les adhérents de la Société Joseph-Fourier ont été convoqué à l’Assemblée générale annuelle qui s’est tenue le vendredi 12 décembre 2104 à la maison Paul Bert. Le Président de l’Association, Jean Dhombres a ouvert la séance, mais contraint par l’horaire de son train a demandé d’excuser son départ avant la clôture. Le vice Président, Daniel Reisz, a présenté les rapports d’activité et financier pour 2014 (ceux qui souhaite obtenir le compte-rendu officiel peuvent le contacter).
Deux points ont plus particulièrement mobilisé les énergies en 2014 : d’abord la journée Fourier, organisée dans les locaux du CANOPÉ d’Auxerre (dont il a été rendu-compte ici) et la préparation d’une biographie de Joseph Fourier ; ensuite la rédaction de l’ouvrage biographique sur la vie et l’œuvre de Joseph Fourier. On avait initialement souhaité le voir édité fin 2014 ; il a pris quelques mois de retard, ce qui sera grandement compensé par un gain au niveau du contenu : des détails inédits sur la jeunesse de Joseph Fourier, son activité à Lyon, une illustration riche, des développements éclairants sur la fécondité et l’emploi systématique des méthodes d’analyse de Fourier dans de nombreuses branches de la science contemporaines. Outre la large part qu’il prend à l’élaboration du manuscrit, Jean Dhombres étudie avec l’éditeur, Hermann, la viabilité de l’entreprise et pense pouvoir arriver à conclure dans de bonnes conditions pour la Société Joseph-Fourier.
Dans l’assistance, on suggère de proposer l’achat de l’ouvrage en souscription pour aider à son pré-financement.
Le blog de notre société reçoit en moyenne une trentaine de visites quotidiennes, avec un curieux rebond à près de cinquante visites quotidiennes depuis la publication depuis publication de deux articles à destination des ‘littéraires’, mais il est trop tôt pour y voir un lien de cause à effet qui s’inscrit dans la durée.
Rapport financier.
Les activités de 2014 ont été pilotées pour tenir compte de nos moyens limités (cotisations des adhérents et subventions de la Ville d’Auxerre et du Conseil général de l’Yonne) et n’ont pas généré de déficit.
Conseil d’Administration et Bureau.
Le Conseil d’Administration, le Bureau de l’année précédente, le montant des cotisations ont été reconduits, sans changement ni remarques.
PROJETS 2015 :
Organisation d’une journée Fourier. Le thème de la journée 2015 (qui, comme en 2014, pourrait se placer dans le cadre de la fête de la science) pourrait être, en prenant appui sur ce que nous connaissons de la façon dont Joseph Fourier a reçu son enseignement, « L’enseignement à Auxerre du milieu du XVIIIe siècle à l’Empire »
Dans l’assistance, on suggère d’associer à ce thème porteur les professeurs (et pas seulement des matières scientifiques) de lycée ou collège et de proposer à l’office de tourisme d’exploiter la documentation rassemblée à cette occasion pour l’intégrer à un circuit découverte d’Auxerre et des ses lieux d’enseignement.
L’état d’avancement du livre sur Fourier : Sur les onze sections de l’ouvrage une bonne moitié sont en cours d’achèvement ; l’effort va porter sur les sections restantes de façon à remettre le manuscrit à l’éditeur, Hermann, au cours du premier trimestre 2015 pour une publication vers mi-2015. La publication pourrait être officialisée par une réception à l’Institut et présentée ensuite dans le département.
(explication, comparaison, sans formule – à l’usage des littéraires)
Voici deux images, identiques, mais enregistrées sous un format différents :
a) .bmp qui, à images de taille égale, ne compresse pas les images
b) .jpg qui intègre un compresseur d’images
Image1 « Je rêve.bmp » – 859 ko Image2 « Je rêve.jpg » – 49 ko
Nous constatons que l’image1 .bmp occupe 17 fois plus d’espace disque que l’image2 enregistrée sous le format .jpg. En effet, le format .bmp code chaque pixel sans analyse, selon le schéma :
Image –> enregistrement pixel à pixel -> Image1
or l’image proposée se compose de beaucoup de blanc, et, dans une moindre mesure, de bleu, de rouge, de vert, de noir. Le format .jpg, utilise la Transformation de Fourier (TF) pour tenir compte de cette particularité de l’image et regrouper les pixels identiques qui contribuent. Le schéma est le suivant :
La transformée de Fourier (TF) rassemble les données de l’image sous forme de fonctions trigonométriques ce qui minimise l’espace occupé sur le disque ; la transformée inverse (TF-1) restitue l’image à l’identique. Le principe en a déjà été exposé sur ici.
Tentons maintenant de ‘redimensionner’ l’image2 à l’aide de la fonction proposée par un logiciel de traitement de l’image. Le logiciel, à notre demande va omettre d’enregistrer un certain pourcentage des fonctions trigonométriques qui permettent de reconstituer l’image :
L’essentiel est encore là avec une image enregistrée de 37 ko, soit un gain minime mais sensible d’espace disque. Continuons à compresser de même : Image2 –> TF –> enregistrement données à 10% –> TF-1 –> Image4
Cette fois la perte de qualité est sensible avec très peu de gain d’espace disque. Notons que l’espace disque est maintenant utilisé majoritairement pour stocker les données de format, incompressibles qui permettent de restituer l’image : 34 ko.
Poussons l’expérience encore un peu : Image2 –> TF –> enregistrement données à 5% –> TF-1 –> Image5
Formes et couleurs sont altérées, l’espace disque occupé reste de 30 ko.
Retour à la comparaison littéraire : Après l’exemple visuel, reprenons maintenant, la fable de La Fontaine qui nous a servi à illustrer de façon allégorique le principe d’un transformation réversible, et lui appliquons lui une compression à 50% en supprimant ‘mécaniquement’ les signes de ponctuation (23) et 59 mots que l’on ne rencontre qu’une fois :
Le Corbeau et le Renard
Maître Corbeau, sur un arbre perché,
Tenait en son bec un fromage.
Maître Renard, par l’odeur alléché,
Lui tint à peu près ce langage :
« Hé ! bonjour, Monsieur du Corbeau.
Que vous êtes joli ! que vous me semblez beau !
Sans mentir, si votre ramage
Se rapporte à votre plumage,
Vous êtes le Phénix des hôtes de ces bois. »
A ces mots le Corbeau ne se sent pas de joie ;
Et pour montrer sa belle voix,
Il ouvre un large bec, laisse tomber sa proie.
Le Renard s’en saisit, et dit : « Mon bon Monsieur,
Apprenez que tout flatteur
Vit aux dépens de celui qui l’écoute :
Cette leçon vaut bien un fromage, sans doute. »
Le Corbeau, honteux et confus,
Jura, mais un peu tard, qu’on ne l’y prendrait plus.
Compression à 50% (82 signes ou mots/164)
Le Corbeau et le Renard
Maître Corbeau .. un arbre ..
.. en .. bec un fromage.
Maître Renard.. .. alléché,
.. .. à peu .. ce ..
.. bonjour, Monsieur du Corbeau.
.. vous êtes .. que vous .. .. beau
.. .. .. votre ..
.. .. à votre ..
Vous êtes le .. des .. de ces bois
A ces .. le Corbeau ne .. .. .. de ..
.. .. .. sa belle ..
.. .. un .. bec .. .. sa ..
Le Renard .. en .. et dit .. bon Monsieur
Apprenez que .. ..
.. aux dépens de celui .. l’..:
Cette .. vaut bien un fromage sans doute
Le Corbeau.. et confus
.. .. un peu .. .. ne l’.. .. ..
Remarques à propos des codages :
L’informatique est grosse consommatrice de codages. Elle transforme in fine tout ce qu’elle traite en langage binaire, soit donc une succession de ‘0’ et de ‘1’. Nous nous sommes intéressés au codage des images nous a permis des illustrations éclairantes ; le codage de la musique serait plus difficile à illustrer de façon probante, mais on comprend que la suppression des harmoniques situées dans les ultra ou les infra-sons fait gagner de l’espace sans perte de qualité.
Nous aurions pu aussi parler du codage des lettres : historiquement c’est le premier auquel le informaticiens se sont intéressés. A une époque où la mémoire électronique était denrée rare, ils ont créé le code ASCII pour obtenir un rendement maximal. Ce code a évolué et suivi les progrès des composants (passage de 8 à 16 puis 32, 64 bits), il reste utilisé et très efficace : en utilisant un espace équivalent à une simple image, un logiciel de traitement de texte code facilement un volume de plusieurs centaines de pages. A l’occasion, les traitements de texte, utilisent aussi, en toute discrétion, la compression d’images : ainsi, l’image qui illustre cet article (obtenue par un logiciel de traitement d’image), seule pesait 859 ko, incorporée à un texte, elle a été allégée puisque « images + article » n’occupent plus que 283 ko après traitement par le logiciel.
