Quel point commun y a-t-il entre la compression d’images, l’effet de serre, le radar, l’isolation thermique et l’imagerie à résonance magnétique (IRM) ? Tous utilisent les résultats d’études menées il y a deux siècles par Joseph Fourier, scientifique auxerrois, sur la propagation de la chaleur.
Cette exposition présente la vie de ce personnage profondément humain et s’attarde sur ses travaux en physique et en mathématiques en les mettant en lien avec la recherche scientifique actuelle et des objets de notre quotidien… Un vrai retour vers le futur de Joseph Fourier !
Titre des panneaux :
Joseph Fourier, retour vers le futur !
Joseph Fourier, l’Auxerrois
Un citoyen engagé & un politique éclairé
Une équation pour la chaleur…
… Et les fonctions mathématiques
Évolution de l’analyse de Fourier
Fourier dans l’actualité de la recherche scientifique
Par ailleurs, la souscription que le même CCSTB a lancée pour remplacer à Auxerre la statue de Fourier détruite au cours de la seconde guerre mondiale continue son chemin et un texte anglophone commence à circuler outre-atlantique.
(2014, année internationale de la cristallographie)
« L’ère de la complexité débute en 1811 avec les travaux de Fourier ». C’est Ilya Prigogine (1917-2003) prix Nobel en 1977 pour ses contributions à la thermo-dynamique hors équilibre, particulièrement la théorie des structures dissipatives, qui l’affirme comme le rappelle Eric Sartori dans « L’empire des Sciences – Napoléon et ses savants ».
La cristallographie moderne a été fondée par Max von Laue (1879-1960) qui reçu le prix Nobel en 1914 pour ses travaux sur la diffraction des rayons X par des cristaux et les Bragg (prix Nobel 1915). En 2011, Dan Shechtman (né en 1941) reçu le prix Nobel pour la découverte des quasi-cristaux.
Le développement de la cristallographie doit beaucoup à Fourier et la technologie moderne doit beaucoup à la cristallographie. Pour l’illustrer, évoquons la découverte des quasi-cristaux cela nous permettra d’évoquer comment les cristallographes utilisent les travaux de Fourier. Les quasi-cristaux sont un des aspects de la cristallographie, ce n’est pas le seul qui soit intéressant .
Le 8 avril 1982, Dan Shechtman, alors chercheur invité pour deux ans au National Bureau of Standards (NBS actuellement National Institute of Standards and Technology, NIST qui est présenté en français ici), découvre un alliage métallique dans lequel les atomes étaient assemblés dans un modèle qui ne pouvait pas être répété par translation, contrairement aux lois jusqu’alors admises de la nature (on connaissait cependant de nombreux objets à motifs icosaédriques dans la nature). Cette découverte appelée quasi-cristaux correspond « aux fascinantes mosaïques du monde arabe reproduites au niveau des atomes : une forme régulière qui ne se répète jamais ».
Jusqu’à cette découverte, les scientifiques considéraient que dans un solide cristallin, les atomes devaient s’assembler avec un motif symétrique pouvant se répéter périodiquement afin de former un cristal. L’image apparue dans le microscope électronique du professeur Shechtman était si incroyable qu’elle a été longtemps combattue par l’establishment scientifique, souligne le comité Nobel. Cette découverte « très controversée » était considérée aussi « impossible que de fabriquerunballonà l’aideuniquement de morceaux de forme hexagonale alors qu’il faut également des pentagones », explique le comité.
Le directeur de son laboratoire ira même jusqu’à lui tendre un manuel de cristallographie en lui suggérant de s’y plonger, se souvenait-il dans une interview avec son université de Haïfa. « J’ai répondu : ‘je n’ai pas besoin de lelire, je sais que c’est impossible, mais c’est bien là, devant moi’ », expliquait le chercheur, « ridiculisé et traité plus bas que terre » par ses collègues.
La découverte de Dan Shechtman se fonde sur l’observation de la diffraction par le cristal d’un faisceau de diffraction électronique. L’étude repose essentiellement sur des calculs faisant appel à la transformée de Fourier (TF).
Les cours de cristallographie donnent quelques illustrations intéressantes de l’utilisation de ces techniques : en voici un de quelques pages (en pdf) proposé par l’université de Montréal au Québec qui est assez illustré pour éclairer le profane.
La découverte de Dan Shechtman n’est pas tout de suite admise par ses collègues. De retour à Haifa, il élabore un premier modèle de verre icosahédrique avec son collègue Ilan Blech mais n’arrive pas à le faire publier. En 1984 de retour au NBS, son travail attire l’attention de John Cahn. En compagnie de Denis Gratias (chercheur au LEM/ONERA), ils s’assurent de la possibilité de l’existence d’une structure non-périodique mais présentant un ordre à longue distance. Avec Ilan Blech, ils rédigent l’article fondateur de la découverte des quasi-cristaux en se concentrant sur les faits expérimentaux. Outre ces quatre auteurs, l’article cite la contribution de Frank Biancaniello (pour la préparation de l’alliage) et Camden R. Hubbard (pour les expériences de diffraction X).
Depuis cette date, de très nombreuses études s’engagent pour mieux comprendre la structure des quasi-cristaux ainsi que leurs propriétés. En 1987, des chercheurs français et japonais confirment cette découverte et, en 2009, des quasi-cristaux sont même découverts dans la nature.
2014 est déclarée l’année internationale de la cristallographie : une occasion de découvrir cette science dynamique sous tous ses aspects, ce que nous n’avons fait qu’effleurer ici.
Les cristallographes utilisent abondamment les méthodes de calcul introduites par Joseph Fourier. Pour approfondir le rapport entre Fourier et la cristallographie, le curieux pourra aussi, par exemple, prendre connaissance du cours de Sylvain Lafontaine.
Dans son dernier ouvrage, Cédric Villani, médaille Fields 2010, évoque Joseph Fourier en termes élogieux à plusieurs reprises. Au début de son livre, il explique, sans formule, l’originalité du travail de Joseph Fourier et au passage revient, avec humeur, sur un jugement de Victor Hugo que nous avons déjà présenté ici.
« L’analyse de Fourier consiste en l’étude des vibrations élémentaires des signaux. Supposons que l’on souhaite analyser un signal quelconque, une quantité qui varie à mesure que le temps passe ; par exemple, le son est fait de légères variations de pression atmosphérique. Au lieu de s’intéresser directement aux variations complexes de ce signal, Joseph Fourier, scientifique et homme politique du début de dix-neuvième siècle, eut l’idée de le décomposer en une combinaison de signaux élémentaires, dont chacun varie de manière très simple et répétitive : les sinusoïdes (et leurs frères jumeaux, les cosinusoïdes).
Chaque sinusoïde est caractérisée par l’amplitude et la fréquence de ses variations ; dans la décomposition de Fourier, les amplitudes nous renseignent sur l’importance relative des fréquences correspondantes dans le signal étudié.
Ainsi les sons qui nous entourent sont faits de la superposition d’une multitude de fréquences. La vibration à 440 battements par seconde est un la qui sera perçu avec d’autant plus de puissance que son amplitude est forte. À 880 battements par seconde, on entendra un la de l’octave au-dessus. Si l’on multiplie la fréquence par 3, on passera à la quinte, c’est-à-dire au mi; et ainsi de suite. Mais en pratique les sons ne sont jamais purs, ils sont toujours faits de la concomitance de très nombreuses fréquences qui en déterminent le timbre ; pour préparer ma maîtrise, j’ai étudié tout cela dans un passionnant cours intitulé « Musique et Mathématique ».
Et I’analyse de Fourier sert à tout : à analyser les sons et à les graver sur un CD, mais aussi à analyser les images et à les transmettre par Internet, ou à analyser les variations du niveau de la mer et à prédire les marées…
Victor Hugo se moquait de Joseph Fourier, « petit » préfet de l’Isère, pariant que sa gloire d’académicien et d’homme politique fanerait au soleil. Il lui opposait l’homme politique Charles Fourier, « le grand Fourier », qui passerait à la postérité pour ses idées sociales.
Je ne suis pas sûr que Charles Fourier a goûté le compliment. Les socialistes se méfiaient de Hugo, qui était certes le plus grand écrivain de son époque, mais avait aussi un lourd passé de girouette politique, tour à tour monarchiste, bonapartiste, orléaniste, légitimiste, avant que l’exil le rendît républicain.
Et ce qui est sûr, c’est que – avec tout le respect dû à l’écrivain surdoué dont j’ai adoré les œuvres quand j’étais enfant – l’influence de Joseph Fourier est maintenant bien plus importante que celle de Hugo lui-même ; son « grand poème mathématique » (comme disait Lord Kelvin*), enseigné dans tous les pays du monde, est utilisé chaque jour par des milliards d’humains qui ne s’en rendent même pas compte. »
* [Lord Kelvin rend compte par cette formule ce qu’il doit à Fourier dont le travail lui à permis de proposer un calcul de l’âge de la Terre comme ce site l’évoque dans un autre article.]
« Il y avait à l’académie des sciences un Fourier célèbre que la postérité a oublié et dans je ne sais quel grenier un Fourier obscur dont l’avenir se souviendra. »
En 1862, au détour d’un paragraphe des Misérables, Victor Hugo fait le point sur l’année 1817 et, à cette occasion, associe les deux Fourier, Joseph et Charles.
Revenons tout d’abord au paragraphe complet :
« Le cardinal Fesch refusant de se démettre, M. de Pins, archevêque d’Amasie, administrait le diocèse de Lyon. La querelle de la vallée des Dappes commençait entre la Suisse et la France par un mémoire du capitaine Dufour, depuis général. Saint-Simon, ignoré, échafaudait son rêve sublime. Il y avait à l’académie des sciences un Fourier célèbre que la postérité a oublié et dans je ne sais quel grenier un Fourier obscur dont l’avenir se souviendra. Lord Byron commençait à poindre ; une note d’un poème de Millevoye l’annonçait à la France en ces termes : un certain lord Baron. David d’Angers s’essayait à pétrir le marbre. L’abbé Caron parlait avec éloge, en petit comité de séminaristes, dans le cul-de-sac des Feuillantines, d’un prêtre inconnu nommé Félicité Robert qui a été plus tard Lamennais. »
Victor Hugo, Les Misérables, ‘En l’année 1817’ p. 223
Vu d’aujourd’hui cette phrase peut passer pour une erreur de jugement, mais, Victor Hugo écrit en 1860, et à cette époque, effectivement, c’est Charles Fourier qui était analysé, reconnu, loué, encensé. Ainsi, dans le département de l’Yonne, le sénateur Dethou, doté d’une belle fortune, essaie de mettre en œuvre les principes de Charles Fourier et finit sa vie quasiment ruiné ; ailleurs, l’industriel Godin se lance dans de vastes projets et crée un phalanstère. En 1860 donc, Joseph Fourier est quasi unanimement oublié, sauf de Hugo et de quelques mathématiciens ou physiciens : c’est à cette époque que lord Kelvin reprend la formule de Joseph Fourier sur le refroidissement des corps pour l’appliquer au calcul de l’âge de la Terre. Ensuite, Joseph Fourier (‘Joseph Fourier’ 1 880 000 résultats en 0,46 secondes sur un moteur de recherche) sera visité et revisité pour, aujourd’hui, éclipser complètement Charles Fourier.
Nous nous garderons bien de dire que Charles Fourier (‘Charles Fourier’ 992 000 résultats en 0,52 secondes sur le même moteur de recherche) est relégué aux oubliettes pour l’éternité : il est encore objet d’étude, et, crise aidant, un néo-fouriérisme peut ramener Charles Fourier dans la course à la notoriété avec son homonyme Joseph.
La question de l’âge de la Terre s’est imposée au milieu scientifique à la fin du XVIIIe siècle. Buffon lança le débat en développant ses vues sur les fossiles, l’érosion… l’église est restée ferme sur le décompte des années : de l’ordre de quelques milliers, mais sans tiquer quant à une évolution de la Terre en forme de refroidissement depuis le chaos originel jusqu’à nos jours.
1812
Joseph Fourier aborde la question du refroidissement d’un point de vue mathématique en développant des méthodes de calcul toutes personnelles. Dès 1807 il est en mesure de rédiger un mémoire imposant : Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides,dont il envoie copie à Biot et à Poisson, avant de le soumettre à l’Académie des Sciences. L’Académie refuse de porter un jugement sur la valeur de ce travail, mais fait du titre du mémoire l’intitulé du sujet pour le prix de l’année 1812.
En janvier 1812 après qu’il en a affiné la rédaction, le travail de Fourier est couronné. Dans son mémoire, Fourier établit la formule qui donne le temps pour passer d’une température initiale donnée à une température donnée :
Ici ? désigne le gradient de température en surface et k une constante physique (disons la conductivité du fer).
Il est probable que Fourier a pu vérifier la validité de sa théorie à l’aide du résultat des expériences menées par Buffon dans ses forges près de Montbard. Un point lui pose certainement question : sa théorie établit une formule qui permet de calculer l’âge de la Terre, mais même en adoptant les paramètres les plus extrêmes, il est impossible d’obtenir un résultat proche des moins de six mille ans acceptés par l’église et généralement admis, à l’époque, sans discussion par l’opinion. Nous ne savons rien de ses calculs, mais, même sans adopter des coefficients qui conduisent aux 4,5 milliards d’années actuellement retenus (avec l’apparition de la vie vers un milliard d’années), il dut aboutir à des résultats impossibles à faire admettre et qu’il préféra taire.
Fourier a cependant vraisemblablement partagé ses réflexions avec Arago ; en effet, dans l’éloge funèbre qu’il prononça après le décès de Fourier, Arago confessera : « …parmi les formules de Fourier,il en est une, destinée à donner la valeur du refroidissement séculaire du globe, et dans laquelle figure le nombre de sièclesécoulés depuis l’origine de ce refroidissement. La question, si vivement controversée, de l’ancienneté de notre terre, même en y comprenant sa période d’incandescence, se trouve ainsi ramenée à une détermination thermométriques. Malheureusement ce point de théorie est sujet à des difficultés sérieuses. D’ailleurs la détermination thermométrique, à cause de son excessive petitesse serait réservée aux siècles à venir. »
Fourier a donc certainement ardemment cherché des biais qui lui auraient permis de raccourcir la durée théorique qu’il avait obtenue avec cette formule dont il ne mit pas en doute la validité.
(Pour découvrir les conditions de l’application numérique de la formule de Fourier, on pourra se référer au compte-rendu de la conférence de Cédric Villani par France Caron.)
1824
Ses réflexions conduisent Joseph Fourier à publier en 1824 un « Mémoire sur les températures du globe terrestre et des espaces planétaires ». Sans utiliser l’expression, Fourier y jette les bases de l’effet de serre, effet dont il est tant question de nos jours.
Pour une analyse scientifique plus complète et fine de ce mémoire, nous renvoyons à l’article que lui consacre Jean-Louis Dufresne dans le numéro 53, mai 2006, de la Météorologie. Pour nous ici, nous nous contenterons de mettre des éléments biographiques en regard les uns des autres pour souligner la cohérence des recherches de Joseph Fourier.
En effet, Joseph Fourier répugnait à polémiquer (c’est Arago qui nous le rapporte : « …autant il éprouvait de répugnance pour les discussions verbales. Fouriercoupait court à tout débat, aussitôt qu’il pressentait une divergence d’avis un peu tranchée, sauf à reprendre plus tard le même sujet, avec la prétention modeste de faire un très petit pas chaque fois. »). Il ne s’aventura donc pas à dévoiler son sentiment profond quant à l’âge de la Terre à une opinion publique qui n’était pas prête à modifier sa façon de penser, cela le guida néanmoins ses réflexions, l’amenant à formuler une théorie qui est toujours, aujourd’hui, en 2012, l’objet d’études actives.
Dans son numéro daté du mardi 28 août 2012, page 7, la presse locale auxerroise, l’Yonne républicaine, rend hommage à Joseph Fourier.
Yonne Républicaine du mardi 28 août 2012, page 7
Certes, une hirondelle ne fait pas le printemps, mais, à Auxerre même, en l’espace de quelques mois de 2012, plusieurs hommages ont été rendus à Joseph Fourier qui constituent comme un frémissement avant-coureur d’une reconnaissance locale après une longue éclipse à l’issue de laquelle Fourier, le plus célèbre des natifs d’Auxerre, dont le nom est connu et prononcé des scientifiques du monde entier, est complètement méconnu des Auxerrois.
Citons trois faits :
– le samedi 12 mai 2012 la Société des Amis des Musées d’Auxerre qui tenait son assemblée générale annuelle, a invité Daniel Reisz, président de la Société Joseph Fourier récemment créée à présenter la biographie du savant.
– du 20 au 22 juin 2012, sous l’égide du Centre de culture scientifique technique et industrielle de Bourgogne, s’est tenu à l’Institut universitaire d’Auxerre, le colloque de l’École d’analyse multirésolution pour l’image qui s’est conclu par une journée Joseph Fourier au cours de laquelle une souscription fut lancée pour commémorer sa mémoire.
– le 28 août 2012, la presse locale, publie l’article ci-dessus.
Nous voyons dans le rapprochement de ces faits un présage et l’annonce d’une reconnaissance qui ira en s’amplifiant.
Le 22 juin 2012, en clôture des 3e journées Fourier organisées par l’université de Bourgogne et le CCSTIB, avec entre autre le soutien de la Société Joseph Fourier (1), Tadeusz Sliwa représentant le CCSTIB a officiellement lancé la souscription nationale dont le but est de commémorer à Auxerre la mémoire et l’œuvre de Fourier.
En effet, depuis que la statue monumentale de Joseph Fourier qui contenait plus de bronze que la statue de Paul Bert, creuse, a été fondue par l’occupant au cours la guerre 1939-1945 pour en récupérer le métal, aucun monument d’importance ne commémore dans sa ville natale, la mémoire de ce grand savant précurseur.
——–
(1) Le Centre Culture Science Technologie Innovation en Bourgogne et la Société Joseph Fourier ont des objectifs communs à propos de Joseph Fourier. Les deux entités collaborent sans opposition en toute complémentarité. Le CCSTIB et la SJF tout en ayant chacun sa spécificité sauront tout naturellement collaborer de façon complémentaire tant pour la diffusion de la culture scientifique que pour la mise en avant de la figure et l’œuvre de Joseph Fourier
Parmi toutes les personnalités qui virent le jour dans les limites de l’actuel département de l’Yonne, il en est une dont l’ascendance patronymique est encore méconnue. On s’est surtout intéressé à la biographie de Joseph FOURIER, grand mathématicien, baron d’Empire et membre de l’Académie française, mais ses ancêtres lorrains et icaunais n’ont suscité jusqu’à présent, sauf oubli de notre part, aucune recherche globale débouchant sur une publication. Il convenait donc de combler cette lacune.
[… lire l’article complet de Pierre Le Clercq sur la Famille Fourier, article publié dans le Cahier généalogique de l’Yonne n° V (198 …
L’article conclut : ]
La famille FOURIER, dont le nom révèle qu’elle est issue, probablement, d’un ancien marchand de fourrage du Moyen Age, est originaire du duché de Lorraine avec, comme ancêtre connu le plus éloigné dans le temps, un FOURIER de la Renaissance dont on ne sait encore le prénom mais dont on est assuré qu’il fut inhumé à Roville-devant-Bayon, dans l’actuel département de Meurthe-et-Moselle. Cette famille, qui faisait partie des notables de la paroisse, fut ruinée entre 1584 et 1596, à l’aube du « petit âge glaciaire » et lors de la participation armée de Charles III, duc de Lorraine, aux combats que menait la Ligue catholique contre Henri de NAVARRE, héritier de la Couronne puis Roi de France. Ne pouvant faire face à leurs dettes, les FOURIER finirent par être expropriés de leur maison ancestrale et expulsés de Roville-devant-Bayon, le 27 mai 1618. De notables et riches laboureurs qu’ils étaient avant 1584, les FOURIER devinrent de simples manouvriers, à quelques kilomètres de leur paroisse d’origine. Là, ils subirent les affres de la guerre de Trente Ans, en 1635, mais survécurent et l’un d’eux s’installa comme charpentier à Raville-sur-Sanon, au nord de Lunéville. C’est son petit-fils, tailleur d’habits, qui quitta la Lorraine pour s’établir en Basse-Bourgogne, à Auxerre. Les fils de ce dernier devinrent eux aussi, pour la plupart, tailleurs d’habits, mais l’un d’eux, porté par le vent de l’Histoire, accéda à des fonctions et à des dignités que sa condition modeste, sous l’Ancien Régime, ne pouvait laisser présager. Les FOURIER ne vécurent à Auxerre, en fait, que pendant trois générations. On perd ensuite leurs traces…
Dans l’introduction de son mémoire pour l’obtention de l’habilitation à diriger des recherches, présenté à l’Université de Poitiers, Philippe Carré, coordonnateur du projet ICONES fait le point de ses recherches qui exploitent les méthodes de Fourier adaptées au traitement de l’image. Le texte complet du mémoire de Philippe Carré est disponible en ligne.
Construction et analyse de transformées discrètes en ondelettes :
La problématique centrale de mes travaux est l’étude de méthodes de décomposition discrète Temps-échelle. Ils s’inscrivent pleinement dans l’équipe projet ICONES, en connexion avec les autres outils fondamentaux développés dans le premier axe de l’équipe (approche variationnelle et stochastique) et intègrent les modélisations physiques et psychovisuelles.
Je me suis concentré, dès mon intégration dans le laboratoire sur les décompositions atomiques discrètes reconstructibles définies dans le domaine général des ondelettes : discrètes car la conception de décomposition directement dans un espace discret permet d’obtenir un espace de représentation numérique qui possède de bonnes propriétés (orthogonalité si possible, stabilité, rapidité de calcul, etc) ; atomiques car la décomposition d’un signal numérique sous la forme d’une somme d’éléments de base autorise une reconstruction partielle d’une des composantes du signal et permet une description simple du contenu de l’information ; reconstructibles car la possibilité « d’inverser » la transformation ouvre le champ des applications possibles.
Toutes ces méthodes possèdent maintenant un cadre général et notamment la transformée en ondelettes standard (FWT) qui a connu un véritable succès ces vingt dernières années car elle offre une représentation fine des images naturelles pour un coût de calcul dérisoire. Cependant, il existe encore certaines limites. Tout d’abord les performances de la méthode 2-D sont limitées par la directionalité spatiale naïve des fonctions de bases, conséquence d’une construction séparable suivant l’horizontale et la verticale, ce qui ne permet pas une analyse directionnelle. Ensuite la transformée FWT 2-D standard échoue dans la construction d’une représentation efficace d’éléments géométriques 2-D (comme les contours) de l’image.
Afin d’obtenir une représentation efficace des informations présentes dans l’image, il faut que les fonctions de base soient directionnelles et/ou prennent en compte l’aspect géométrique des structures. De plus la généralisation de ces transformées à des signaux à valeurs vectorielles, extension autre que par une simple stratégie marginale, reste une question ouverte. Les approches variationnelles ont depuis longtemps montré les défauts d’une stratégie marginale dans le cadre de la couleur avec la création de fausses couleurs, la suppression de détails « colorés » ou tout simplement une représentation incomplète de l’information. Cette question va au-delà de la décomposition en ondelettes puisque très peu d’outils classiques du signal sont définis avec précision pour les images couleur.
C’est à toutes ces questions que j’ai tenté d’apporter des éléments de réponse durant mes dix années de recherche en tant que Maître de Conférences à travers les thèses que j’ai co-encadrées et les projets que j’ai animés ou auxquels j’ai participé. L’objectif recherché est une représentation liée à une structure de données sous forme de primitives (si possible non redondantes), facilement calculable par un algorithme, telle que l’ensemble de ces primitives permettent la reconstruction de la donnée d’origine. Il faut par ailleurs que l’on puisse ordonner ces primitives (notion de reconstruction partielle) et que l’on puisse donner un sens à ces primitives (étape de compréhension de la donnée). Dans ce cadre, mon travail va se découper suivant trois axes de recherche et un axe applicatif fort. Je les décris succinctement ci-dessous.
Approche géométrique. Dans un premier temps, nous avons étudié un outil qui permet la représentation d’images d’une manière optimale (au sens des ruptures linéaires) : la transformée Ridgelet. Cette transformée construit une représentation qui code efficacement les discontinuités linéaires 2-D comme par exemple les contours. A ce titre, elle s’inscrit bien dans la classe des analyses multirésolution géométriques. Cette nouvelle transformée s’est développée ces dernières années à travers la restauration des images. Grâce à une collaboration avec les chercheurs en géométrie discrète du département XLIM-SIC nous avons proposé une transformée Ridgelet/Curvelets paramétrable, rapide et inversible, obtenant des résultats en termes de restauration de données 2-D très satisfaisant, notamment en vidéo. De plus, la simplicité et la rigueur dans la définition apportée par la géométrie discrète nous a permis d’étendre ce travail à toute dimension en collaboration avec un jeune collègue D. Helbert. Au delà de la transformée Ridgelet, ce processus de représentation nous permet de manipuler l’image à travers des projections 1-D et comme nous le verrons, nous trouvons différentes intersections avec d’autres approches, notamment la transformée de Riesz.
Suivant ce même but, à savoir capter la géométrie pour adapter la transformée, nous avons proposé dans le cadre d’un partenariat avec France Telecom R&D (maintenant OrangeLab) (S. Pateux) une représentation en ondelettes géodésiques qui se propose d’introduire une modélisation de la topologie dans un schéma numérique de calcul du type Lifting Scheme. Comme nous le verrons, ce schéma original très souple nous permet d’intégrer de nombreuses informations complémentaires. Il s’appuie sur la construction d’un graphe qui doit capter l’organisation structurelle de l’image à traiter. De ce graphe, une distance entre chaque pixel de l’image est estimée et introduite dans l’algorithme de décomposition.
Ces deux points ont notamment été traités à travers une thèse que j’ai co-encadrée, ayant pour objectif une représentation optimisée des images (G. Lebrun 2009). La géométrie détectée a aussi permis de contrôler les processus de diffusion liés aux approches par Equations aux Dérivés Partielles. Ceci a fait l’objet de la thèse de A. Maalouf (200, et a été le fruit d’une collaboration avec un collègue de XLIM-SIC, B. Augereau.
Couleur et MultiCanaux. Comme nous l’avons mentionné, l’intégration de la « dimension » couleur est peu prise en compte actuellement dans les algorithmes modernes d’analyse Espace-Echelle (si ce n’est par une approche marginale). Mais plus généralement cette prise en compte de la dimension vectorielle des données est absente de tous les outils élémentaires issus du signal : la définition d’une transformée de Fourier couleur reste par exemple un sujet ouvert. L’objet de ce second axe a été d’examiner des approches plus globales pour l’extension des briques élémentaires issus du signal dans le cadre des images couleur.
Suivant cette idée, j’ai débuté dès 2001 une étude concernant l’utilisation des quaternions. Cette recherche a concerné la redéfinition des traitements classiques couleur en termes quaternionique, comme le filtrage, la modification des caractéristiques couleur … . Ceci a fait l’objet de la thèse de P. Denis (2007), notamment à travers la redéfinition des manipulations couleur avec un formalisme lié à l’algèbre géométrique. Notons que l’utilisation des quaternions/ondelettes complexes en imagerie couleur constitue actuellement un sujet de recherche très ouvert qui répond aussi aux questions de directionalités.
Approche orientée et notion de phase. Un dernier aspect absent de l’approche classique de la transformée en ondelettes est l’adéquation entre le système visuel humain (SVH) et l’espace transformée. Le simple découpage horizontal, vertical et selon les deux diagonales, lié à l’approche classique, n’est pas suffisant à la fois en termes de description du signal mais aussi par rapport à ce que l’on connaît du système visuel humain. L’objectif serait de définir une représentation associée à des directions d’analyse plus adaptatives, invariante soit à la translation soit à la rotation. Dans le cadre des analyses directionnelles, la transformée en ondelettes complexes suivant l’arbre dual constitue une réponse possible. A partir de ces travaux, nous étudions une approche alternative reposant sur les travaux de Bulow et al. et Choi et al. sur le signal analytique 2-D à partir des nombres quaternioniques. Ce travail permet de mettre en place une transformée en ondelettes quaternioniques pour la compression et la classification plus en accord avec l’aspect SVH et introduisant une nouvelle information : une notion de phase. La généralisation de ce travail nous mène à la définition d’une ondelette monogénique qui peut être considérée comme l’une des décompositions les plus abouties en termes d’information signal. Nous décrirons les nombreuses questions qui restent ouvertes, et la première d’entre-elles concerne l’interprétation des informations et l’intégration de la couleur. L’objectif est de construire une information traduisant la notion de phase, si importante dans l’analyse de signaux 1-D. Ce travail est aussi un élément important de la proposition du nouveau codeur dans le cadre de l’ANR CAIMAN en collaboration avec Thalès et le sujet de thèse de R. Soulard (thèse en cours, débutée en 2009).
Les algorithmes numériques temps-échelle offrent de nombreuses solutions dans différentes problématiques. De ce fait, des collaborations ou des transferts de technologie ont été initiés et je privilégie la mise en place ou le renforcement de collaborations transversales avec des chercheurs d’autres domaines. Je me suis aussi efforcé de mener une activité contractuelle importante à travers le montage et la gestion de contrats important de recherche. Ces activités me permettent d’éprouver ma recherche dans le cadre de problématique à forte contrainte mais aussi de la valoriser à travers des brevets. Enfin cette activité contractuelle m’a permis d’obtenir le financement de nombreuses thèses (3 sur la période évaluée). L’un des exemples les plus significatifs concerne le tatouage et plus généralement la sécurité. Ceci constitue mon dernier axe de recherche.
Sécurité Depuis plusieurs années maintenant, j’ai développé un travail sur la protection électronique des images et vidéos, qui a donné lieu à deux brevets sur le tatouage basé ondelettes, et intégrant des données psychovisuelles de perception des couleurs. Cette étude a nécessité une réflexion sur la meilleure stratégie possible pour modifier des coefficients d’ondelettes mais aussi le moyen de rendre le schéma robuste aux transformations géométriques de type rotation ou changement d’échelle. Nous avons pour cela étudié les descripteurs SIFT et notamment leur robustesse face aux transformations numériques. L’objectif visé est l’intégration de différentes familles de code correcteur d’erreur afin d’améliorer la robustesse de notre stratégie de tatouage.
Au final, tous ces travaux ont le même objectif : la définition d’une représentation numérique performante en ondelettes pour l’analyse d’images couleur.
Le plan de ce mémoire se structure selon les axes décrits ci-dessus. Nous profiterons du premier chapitre pour rappeler certaines transformées X-LET afin d’illustrer différentes recherches actuelles sur la représentation adaptée d’images. Ensuite ce chapitre se focalisera sur nos apports en ce qui concerne la prise en compte de la géométrie des images. Nous décrirons notre transformée Ridgelet construite à partir de la géométrie discrète et nous analyserons en détail ses différences et avantages par rapport à l’approche de référence de Stanford. Puis nous décrirons notre proposition de modélisation des données sous forme de graphes pour intégrer la topologie et la couleur dans la transformée. Nous verrons que cette approche, à travers sa souplesse, ouvre de nombreuses perspectives.
Le second chapitre présentera en détail l’apport des formalismes que sont les quaternions et les algèbres de Clifford dans la manipulation des images couleur. Ce mode de codage, qui n’a été étudié que très récemment, permet de manipuler les couleurs en utilisant des opérations algèbriques. Dans ce cadre nous décrirons tout d’abord l’utilisation du formalisme des quaternions associé aux images couleur introduit par Sangwine il y a une dizaine d’années. Ensuite, nous détaillerons comment poursuivre cette approche dans le cadre plus général des algèbres de Clifford (dites aussi algèbres géométriques). Ce formalisme est illustré à travers la description d’une nouvelle approche spatiale de détection de ruptures couleur généralisant celle définie avec les quaternions. Enfin, dans la dernière partie de ce chapitre, nous discuterons de nouvelles définitions de la transformée de Fourier, adaptées aux images couleur.
Dans le troisième chapitre, nous aborderons nos travaux de recherche et d’encadrement les plus récents concernant les décompositions multiéchelles. Ils se situent à l’intersection des deux chapitres précédents. L’objectif est à nouveau de définir de nouvelles transformée en ondelettes qui vont s’efforcer de capter au mieux l’information 2-D cette fois, non pas à travers une lecture géométrique mais plutôt à travers l’extension rigoureuse 2-D d’outils venant du signal, notamment le signal analytique et le concept de phase. A travers nos travaux concernant la transformée en ondelettes quaternionique (QWT), nous montrerons que ces outils, qui restent confinés dans une petite communauté, peuvent fournir des réponses applicatives grâce à la qualité de la représentation, par exemple dans le cas d’un codeur QWT.
Pour finir ce mémoire, je propose de décrire mes travaux menés dans le cadre de la sécurité des données Multimédia. L’objectif initial était d’étudier les possibilités offertes en termes de Tatouage d’image par l’utilisation des décompositions en ondelettes et la prise en compte de la dimension Couleur. Ensuite nous montrerons comment ce travail s’est poursuivi à travers différentes évolutions. Tout d’abord nous décrirons nos propositions afin de rendre l’algorithme robuste à certaines attaques géométriques, puis nous étudierons l’intégration de différentes familles de codes afin d’augmenter la robustesse de notre schéma.
Enfin, je conclurai ce mémoire en reprenant les différentes propositions de recherche faites pour les années à venir.
Une idée des contenus
Prise en compte de la géométrie dans les transformées en ondelettes
La transformée de Fourier :
La transformée en ondelettes, Analyse multirésolution 2D, Ondelettes et bancs de filtres, Singularités et ondelettes
X-lets et autres, Transformée géométrique à fonctions d’analyses fixes, Transformées adaptatives
Transformée géométrique :
Principe, Définition de la transformée Ridgelet, La transformée de Radon,
-L’aspect discret de la transformée Ridgelet, Principe, La transformée de Radon discrète, Inversion de la transformée Radon discrète, Transformée de Radon dans le cadre de la Fast Slant Stack, La reconstruction dans le cadre de la Fast Slant Stack
-La stratégie de Poitiers : la transformée Ridgelet analytique ou ou DART, Définitions des droites discrètes 2-D, Stratégie de calcul de la transformée de Radon discrète, Inversion de la transformée de Radon analytique discrète, Illustration de la transformée de Radon analytique discrète
-Transformée Ridgelet et applications ; Calcul de la transformée DART, Applications de la transformée Ridgelet 2-D dans la restauration d’images
Evolution de la DART ; Transformée locale, Vers une transformée Curvelet, DART 3-D
Une transformée en ondelettes géodésiques
Filtrage bilatéral et extension à travers la distance géodésique ; Présentation du filtrage bilatéral, Introduction de la notion de variété, Généralisation du filtrage bilatéral
Notion de distance géodésique en traitement d’images
Extraction de la topologie ; Principe, Graphe des k plus proches voisins, Construction du graphe non orienté, Recherche du plus court chemin et extraction de la distance géodésique
Filtrage bilatéral géodésique
Transformée en ondelettes 2-D géodésiques ; Lifting scheme, Décimation par treillis quinconces, Introduction de la distance géodésique
Analyse de la transformée géodésique
Application à la restauration d’image ; Introduction de redondance, Application de la transformée géodésique au débruitage
Intégration de la couleur
Prise en compte de la couleur dans les outils issus du traitement du signal
Définitions, éléments de base et premières manipulations couleur
L’algèbre des quaternions
Manipuler des couleurs à l’aide des Quaternions, Transformations de R3, Quaternions et images couleur, La forme de Cayley-Dickson, Modification couleur à partir des quaternions
Les algèbres de Clifford ; Définition et construction, Un contexte calculatoire
Algèbres géométriques pour les images couleur ; Teinte, saturation et intensité à partir d’un vecteur couleur, Opérations sur les caractéristiques couleur
Filtrage quaternionique et cliffordien : application à la détection de contours couleur
Convolution
Les filtres quaternioniques et leurs extensions pour la détection de contours couleur
Extension de l’opérateur de Sangwine par des opérations géométriques
Les transformées de Fourier couleur
Analyse spatio-chromatique d’images couleur, La transformée de Fourier spatio-chromatique, Notion de chemin couleur
Transformées de Fourier quaternioniques ; Définition numérique de l’espace de Fourier quaternionique, Interprétation du spectre quaternionique, Applications de Fourier quaternionique
Approche fréquentielle par algèbres de Clifford pour les images couleur ; G2 et images couleur, G3 et images couleur, Une transformée de Fourier couleur utilisant G4
Ondelettes analytiques
Signal analytique et ses extensions
Rappel sur le signal analytique 1-D ; Lien avec l’analyse de fonction, Interprétation géométrique du signal analytique
Extension de la notion de signal analytique aux images en niveaux de gris
Extension de la notion de signal analytique par transformée de Fourier quaternionique ; Transformée de Fourier Quaternionique pour les images niveaux de gris, Le signal analytique quaternionique 2D
ondelettes Complexes
Principe
Déploiement numérique des ondelettes complexes
Extension 2D : Dual-Tree 2D
Ondelettes quaternioniques
Principe
Expression numérique de la QWT
Information associée à la QWT
Estimation de flot optique par QWT
L’analyse de textures par QWT
Existant sur la discrimination quaternionique
Utilisation des mesures de norme et de phase de la QWT
Utilisation de la QWT pour la classification de textures : mesures
Codage d’image par QWT
Principe général du codeur
Quantification
Organisation du flux en fonction du canal
Discussion sur la transformée QWT
Les perspectives : Ondelettes monogéniques couleur
Transformée de Riesz
Le signal monogène
Ondelettes Monogéniques
Introduction de la dimension couleur
Monogénique, Radon et Ridgelet
Sécurité
Tatouage vectoriel ; Introduction au tatouage d’images, Définition générale de l’algorithme vectoriel basé ondelettes, Insertion de la marque, Détection
Détection non-décimée
Définition du seuil d’acceptation, Calcul de la probabilité de fausse alarme, Mise en place du seuil en fonction de Pf ., Évolution avec la détection non-décimée
Mesures de robustesse de l’algorithme vectoriel basé ondelettes ; Mesure de fausse détection, Robustesse aux différentes attaques
Résistance aux attaques géométriques
Attaques géométriques provoquant une translation, Solution de la littérature contre les attaques par rotation et changement d’échelle, Evolution de la méthode de tatouage vectorielle,
Les détecteurs de points d’intérêt ; Différents détecteurs mono-échelle, Détections des points d’intérêt multi-échelles
Description du voisinage des points d’intérêt, Le Jet Local, Le descripteur SIFT
Intégration de la mesure SIFT dans le cadre du tatouage
Augmentation de la robustesse par utilisation des codes correcteurs
Construction de la marque à partir de la signature : introduction des codes
Mesure de la robustesse du tatouage avec les codes correcteurs ; Compression JPEG, Bruit blanc Gaussien additif, Attaque par filtrage passe-bas, Attaque par modification de la teinte, Attaque par modification de la Saturation, Attaque par modification de l’intensité
Perspective : la stéga-analyse par métriques de qualité
Conclusion et perspectives
Annexes :
Annexe : bancs de filtres quaternioniques
L’existant sur les ondelettes quaternioniques
Opération de filtrage : produit de convolution
Définition du sous-échantillonnage
Définition du sur-échantillonnage
Banc de filtres quaternionique à reconstruction parfaite
Un exemple : le banc de filtres quaternioniques de Shannon
Annexe : Image de Test pour les techniques de tatouage
Le 22 juin 2012, le Centre de culture scientifique technique et industrielle de Bourgogne (CCSTIB) clôture un colloque consacré à Fourier par sa troisième journée grand public. En effet, cette journée du 22 juin, ouverte au public, clôturera en fait un autre évènement : le colloque de l’École Analyse multirésolution pour l’image, organisé par les laboratoires L2EI et LIRIS qui se tient sur plusieurs jours, réservé à des professionnels. Cependant, les Journées Fourier, elles, sont toujours ouvertes au grand-public et aux scolaires. Lors de cette manifestation ont été présentés les kakemonos de l’exposition consacrée à Joseph Fourier qui doit tourner dans les lycées de la région.
La Journée Fourier s’est terminée par le lancement du projet de souscription nationale Joseph Fourier, impulsée par le CCSTIB, qui a pour dessein de rendre hommage au plus illustre des Auxerrois ainsi qu’à ses travaux et son héritage (un centre de ressources utilisant les résultats de recherche est d’ailleurs envisagé).
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