Théorème de fin de journée et racines carrées

Retour du collège pour le père comme le fils,suivi d’une discussion sur le thème  » T’as fait quoi aujourd’hui?  » :

– Alors, tu as bien compris les racines carrées ?
– Oui, oui.
– Ok voyons voir. Racine de 12 ?
– Bah…
– C’est entre 3 et 4, non ?
– Oui, oui…
– Ok mais pourquoi ?
– Bah parce que 3 × 4 ça fait 12 !

Aucun doute que ce n’était pas la réponse que j’attendais. Celle que j’attendais serait plutôt du genre 3² = 9 < 12 et 4² = 16 > 12 qu’on attends d’un élève de 4ème ou de 3ème.

Mais bon sang, ça a l’air d’être vrai ce qu’il dit mon fils… 8 × 9 = 72 et la racine carrée de 72 est comprise entre 8 et 9. C’est quoi le théorème la-dessous ? Hum… Voyons,  en général si a × b = c alors la racine carrée de c est comprise entre a et b. Oui, ok, il faut sans doute préciser  a et b positifs. La démonstration maintenant ?

On peut supposer par exemple que a < b. Il vient alors en multipliant par b (positif ) cette inégalité, a × b < b² et donc c < b² d’où ? c < b. De même partant de a < b on obtient a² < b × a (en multipliant par a) d’où a² < c et a < ? c. L’encadrement est démontré. Le théorème aussi.

Qu’est-ce qu’on peut faire de ça avec les élèves de collège ? Sans doute peu de choses mais voilà une bonne technique pour le prof pour encadrer rapidement une racine carrée…

Pour terminer la journée, un extrait du dernier Sick Of… qui a l’air de dépoter !