Ce que le mathématicien et physicien Joseph Fourier doit à Auxerre
Rappelons que Jean Dhombres, qui a publié en 2012 chez Hermann une biographie de Laplace, prépare une biographie de Joseph Fourier à paraître prochainement chez le même éditeur.
Les lecteurs de ce billet qui souhaiteraient des précisions peuvent poser leurs questions auprès de sjf89@laposte.net.
La revue « La Recherche » dans son numéro 505, daté de novembre 2015 arbore les sujet des « Neurosciences, comment le cerveau innove ». La revue nous livre une interview dans laquelle Cédric Villani, avec le brio qu’on lui connaît, expose comment germent et se développent les idées nouvelles en recherche mathématique. A travers son parcours exceptionnel, le mathématicien Cédric Villani nous raconte son expérience du processus de recherche et évoque les sept ingrédients qui, selon lui, favorisent l’émergence des idées. La créativité naît de la contrainte : « La créativité, comme le café, est essentielle au mathématicien ». Les mathématiques sont une discipline de règles et de contraintes. Pourtant la créativité y tient une place fondamentale.
Pour étayer son propos, Cédric Villani s’appuie sur plusieurs exemples dont un se rapporte à Fourier :
« […] Au cours de mon travail sur l’amortissement de Landau, je voulais réparer un trou béant dans une preuve de 150 pages. Dans un demi brouillard, une voix me dit « Il faut prendre la transformée de Fourier et faire passer le second terme de l’autre côté. » […]
Il est fréquent qu’un mathématicien revienne sur une démonstration qu’il croyait avoir établie, surtout lorsque celle-ci court sur 150 pages. Que la preuve apparaisse tout à coup est aussi attesté par beaucoup. Ce qui surprend ici, c’est la simplicité de l’explication « faire passer le second terme de l’autre côté » est à la portée d’un collégien… il est vrai que comprendre intimement la transformée de Fourier l’est beaucoup moins ; nous le savons sur ce blog, où en dépit de tentatives multiples nous ne sommes pas encore parvenus à la présenter avec des mots de tous les jours.
Le propos mathématique y est plus dense que dans les précédente publications, mais ceux qui se sentiront débordés par les mathématiques, incapables de suivre les calculs issus de la pensée des mathématiciens Fourier, Bessel et consorts [1]… auront la possibilité de se raccrocher aux illustrations sonores et visuelles : on peut très bien apprécier un concert sans savoir lire la partition d’orchestre.
[1] Au terme de l’étude, le lecteur découvrira la nouveauté, l’envergure et la profondeur de la synthèse que Fourier propose mais il n’en reste pas moins qu’à son époque même plusieurs mathématiciens étaient tout a fait capables de l’entendre, mais aucun n’eut la fraîcheur d’esprit de Fourier. Ainsi, Laplace, que Fourier rencontra en tête à tête pour le convaincre du bien-fondé des méthodes qu’il utilisait : Laplace, obnubilé par les conditions de stabilité du mouvement des planètes qui les posaient des problèmes ardus, ne put se résoudre à valider les travaux de son jeune et bouillant confrère.
Lionel Hampton, dans son costume spécialement réalisé pour célébrer le bicentenaire de la Révolution Française… un an après! Nice, jardins de Cimiez, 12 Juillet 1990, 22h
Pour mémoire, rappelons le plan d’étude que nous propose le Matouriste pour découvrir les travaux de Fourier :
c) Naissance de la Transformée de Fourier (Promenade dans la Théorie Analytique, #3) [23/11/2015] : publication à venir
Au détour de ces pages, le lecteur découvrira, un parallèle entre l’écriture de formules par Fourier et les même formules écrites avec la symbolique d’aujourd’hui. Lorsque Fourier ouvre la voie, il doit expliciter beaucoup ; ses successeurs, empruntent des voies balisées, la formule semble plus claire, malheureusement, le concept sous-jacent reste le même. Ceci explique une partie des aversions aux mathématiques que l’on rencontre : une écriture simplifiée masque parfois un long chemin d’appropriation des concepts.
Ancien professeur de mathématiques du lycée Jacques-Amyot, Daniel Reisz est décédé dimanche 8 novembre 2015, après-midi. Né en 1937 en Alsace, Daniel Reisz a commencé à enseigner à Dunkerque, où il a rencontré son épouse, originaire d’Irancy. Ce qui a conduit le couple à rejoindre l’Yonne en 1964. Après avoir transmis son savoir au lycée Jacques-Amyot jusqu’en 1982, puis deux ans à l’Ecole normale, il a occupé les fonctions d’inspecteur pédagogique en mathématiques. Il était commandeur dans l’ordre des Palmes académiques.
Très investi dans la création du Cercle Condorcet, il l’était également dans de nombreuses autres associations, comme la Société des sciences historiques et naturelles de l’Yonne, la Société Paul-Bert et l’Association pour le droit de mourir dans la dignité. Il était aussi le co-fondateur et vice-président de la Société Joseph-Fourier, dont le but est de faire connaître la vie et l’œuvre du mathématicien au grand public. « Il était en train d’écrire un livre sur lui », indique Michèle Skowron, l’une de ses proches.
Très attaché à la Bourgogne, sans pour autant renier ses racines, Daniel Reisz était altruiste. Il rendait notamment visite aux détenus des maisons d’arrêt, une activité bénévole « dont il était fier. Il disait qu’il avait envie de s’occuper des plus déshérités ».
Le Mathouriste propose cette page en préliminaire à sa promenade dans la Théorie Analytique de la Chaleur. Sa lecture n’est pas indispensable pour lire les suivantes, mais elle peut aider à mieux appréhender le travail de Fourier
en précisant certains éléments historiques qui entourent cette découverte;
en se plaçant dans un contexte a priori plus naturel et plus accessible parce que plus familier: celui des ondes sonores et des instruments de musique.
L’approche des travaux de Fourier par la musique permet une illustration avec un minimum d’équations ; les non-mathématiciens seront certainement très sensibles à cette attention. Ce préliminaire vise à introduire des publications antérieurement publiées. Si on rétablit la chronologie de lecture, on obtient donc :
Dans un précédent billet, nous nous sommes fait écho de l’effort pédagogique du Mathouriste. Les lecteurs qui ont apprécié la première partie de la promenade Fouriériste que nous offre le Mathouriste vont être satisfaits et pouvoir continuer leurs pérégrinations en prenant connaissance de la deuxième partie de la promenade qui est maintenant disponible en ligne. Ils observeront comment la pensée de Joseph Fourier chemine et décrit la propagation de la chaleur dans des corps de formes diverses. Le lecteur qui n’a pas la formation mathématiques suffisante pour comprendre intimement les formules qui sont exposées pourra, grâce à l’éclairage de commentaires bienvenus, comprendre le travail nécessaire pour mettre en forme les calculs après l’intuition de départ.
Deux autres promenades sont annoncées :
un prologue (ondes et harmonie),
suivi ultérieurement de la présentation de la transformée de Fourier.
Nous les attendons en nous réjouissant par avance.
Il m’a toujours semblé navrant que les sujets scientifiques soient si peu et si mal traités dans une presse qui consacre par ailleurs tant de d’énergie à développer des sujets futiles. Mais, journaliste ou lecteur, qui serait en mesure de suivre la pensée d’un prix Nobel scientifique ?
Les travaux de Fourier datent du début du XIXe siècle, nombre de savants tant mathématiciens que physiciens les ont lus, relus, analysés et ces travaux sont maintenant enseignés dans toutes les facultés. Fort de ce recul, il est possible de revenir sur la genèse de l’entreprise et de l’exposer pour le profit du plus grand nombre. Le Mathouriste auquel nous avons déjà renvoyé le lecteur sur ce même site lorsque nous avons traité de la vie de Fourier est revenu sur le Traité de la chaleur.
C’est une lecture roborative que nous ici offre Alain Juhel. Le Mathouriste ne se cantonne pas à des propos touriste. Il nous offre une lecture au contenu substantiel. Pour en profiter pleinement, il convient de maîtriser des connaissances de première année de licence. Le texte devenant clair pour quelqu’un qui possède le niveau de deuxième année de licence. Mais, il reste appétissant pour un élève de TS curieux. Quant au lecteur naïf, il doit faire confiance à Alain Juhel pour sa lecture des équations et se contenter de suivre, de l’extérieur, la pensée de Joseph Fourier. Ceci ne va pas sans charme.
Nous avons déjà dit l’intérêt que Fourier portait à l’âge de la Terre, cet intérêt l’a conduit, pour préciser une évaluation très différente des valeurs admises à son époque à étudier l’effet de serre. Quitte à tordre un peu la réalité, nous résumons l’œuvre de Joseph Fourier à cette unique préoccupation « quel est l’âge de la Terre ? ».
Alain Juhel nous présente une page consacrée à la naissance des séries de Fourier, à travers manuscrits et Théorie Analytique. Cette étape est formalisée très tôt de la pensée du savant (le premier mémoire est de 1807, et pour ce qui est de sa pensée, on pourrait au moins remonter avec certitude à 1804 -arrivée à Grenoble-), même si la Théorie Analytique est publiée en 1822. Le texte présenté sur le site du Mathouriste est un remake, pas mal étendu, de conférences et dossiers de travail « offerts » aux étudiants en 2007 et 2012. Il est un bon moyen aider un lecteur qui veut entrer dans l’ouvrage, ou savoir ce qui s’y passe, sans tout lire.
In fine, l’auteur annonce une suite… nous l’attendrons ave impatience. Nous souhaiterions aussi, qui sait, avoir une idée d’un « avant » : les théories ne naissent pas de rien et le Mathouriste a montré qu’il avait le talent nécessaire pour nous guider dans cette connaissance.
La deuxième partie annoncée ci-dessus est maintenant visible ici.
Nous avons déjà osé ici ou là quelques spéculations concernant le mode de pensée de Joseph Fourier. Nous nous proposons de la voir à l’œuvre sur un exemple compréhensible sans exploiter de grandes connaissances mathématiques.
A Saint-Benoît-sur-Loire, le novice Fourier meublait ses loisirs en recherchant s’il était possible de tracer 17 droites qui aient 101 points d’intersections. Un élève de l’école élémentaire conclura assez facilement que le nombre maximum de points d’intersection de 17 droites est (17 x 16) / 2, soit 136 puisque chacune des 17 droites rencontre les 16 autres soit (17 x 16) rencontres, chaque point étant compté deux fois (une fois sur chacune des deux droites sécantes).
Le nombre de points d’intersection des droites du plan est une question qui peut être abordée dès l’école élémentaire (voir Math CE2-CM, Godinat, Timon, Worrobel, exercice 624 p. 174, Hachette 2000).
Les publications de Joseph Fourier attestent qu’il avait le goût de la généralisation des problèmes. Il s’intéressa aux solutions d’un polynôme de degré quelconque ; sa théorie de la transformée d’une fonction est d’une portée très générale.
Le problème des 101 points qu’évoque Joseph Fourier dans une de ses lettres peut donc être posé ainsi : « N droites d’un plan ont au maximum n(n-1)/2 points d’intersection. Il est possible d’exhiber un tracé faisant apparaître ces n(n-1)/2 points. Il est possible aussi pour tout N de décrire un tracé avec 0 point d’intersection ; un tracé avec 1 point d’intersection ; un tracé avec n points d’intersection (si N>2). Qu’en est-il pour chacune des valeurs inférieure à n(n-1)/2 ? Proposer une construction pour le cas particulier : N=17 et 101 points d’intersection. »
qui, sur Geogebra, exhibe une construction effective, exploitant points triples et droites parallèles (cette solution montre du même coup que le problème peut se résoudre aussi avec seulement 16 droites).
Ce problème a été proposé par Daniel Reisz aux adhérents de l’APMEP. Les solutions qu’ils ont trouvées sont publiées dans le numéro 517 du Bulletin vert, pages 105-106.
Nous proposons un court extrait de l’ouvrage d’Etienne Klein et Marc Lachière-Rey, la Quête de l’unité, publié en 1996, 208 pages, chez Albin Michel dans la collection Sciences d’aujourd’hui. Cette citation a un double intérêt. D’une part, elle souligne la modernité de la pensée de Joseph Fourier ; d’autre part, elle étaye les hypothèses que l’on peut avancer quant à l’état d’esprit de Joseph Fourier. En effet, Joseph Fourier a eu de la peine à imposer son traité de la chaleur. Lagrange dès 1807, puis Poisson et Cauchy seront réticents à valider ses calculs et critiqueront un certain manque de rigueur (1). Fourier ne pourra publier le Traité de la chaleur, sans modifier la rédaction de 1812, qu’en 1822 en usant de son statut de Secrétaire de l’Académie (2).
[…] Par la suite, cette mécanique newtonienne connut des succès fulgurants. Bien qu’elle se présente comme un atomisme mécanisé, d’où l’idée d’harmonie semble totalement extirpée, ce sera pourtant de l’analyse, et en particulier de l’analyse dite « harmonique » précisément, que viendront une partie de ses triomphes. La mécanique analytique représentera, dans la tradition newtonienne la plus pure, un retour partiel à la vision cartésienne. Descartes fut en effet l’un des premiers à introduire l’analyse en géométrie. Ce mélange, récusé par Newton, montra par la suite une fécondité remarquable.
Depuis, la vision harmonique n’a cessé de revenir en force au sein de conceptions pourtant dominées par l’atomisme mécanique de Newton. « Quand, à une certaine occasion, j’ai demandé au professeur Einstein comment il avait trouvé la théorie de la relativité, il me répondit qu’il l’avait trouvée parce qu il était tout à fait convaincu de l’harmonie de l’univers », rapporte Hans Reichenbach. On peut également citer le physicien Ernest Rurhertord qui proposa en 1911 un modèle planétaire de l’atome reproduisant, dans sa structure même, le schéma astronomique de l’aménagement harmonique des planètes du système solaire. Et nous ayons déjà cité l’exemple plus contemporain de la physique des particules actuelle.
La vision harmonique du monde sous-tend donc toujours la physique, sans concurrencer explicitement le modèle mécaniste, elle l’a discrètement, mais constamment fécondé. Cette opposition construit une dialectique qui alimente le cheminement de cette discipline. Thèse et antithèse se doivent de déboucher, c’est connu, sur une synthèse. Cette dernière devient la nouvelle thèse, qui développe sa propre antithèse, dans un processus jamais achevé. Tel pourrait être un de moteurs des révolutions scientifiques qui, selon l’épistémologue Thomas Kuhn, caractérisent le caractère discontinu des progrès qui ont marqué l’histoire de la physique.
Aujourd’hui, bien que le modèle mécaniste soit valide pour la part de notre physique qui ne relève pas du schéma quantique, l’analyse harmonique s’y réintroduit cependant à tout moment. Presque aucun secteur de la physique n’échappe aujourd’hui, par exemple, à l’analyse harmonique de Fourier. En apprenant cette branche des mathématiques, un étudiant n’y verra pas forcément la manifestation d’une exigence métaphysique. Mais, la démarche correspond bien à une recherche systématique d’une harmonie mathématisée : la quête keplérienne revue sous un angle plus conforme au pensées de Galilée et Descartes : une union de contraires ! Prenons l’exemple de la turbulence. Elle relève au départ d une approche hydrodynamique conforme au schéma particulaire. Or rien ne semble capable de faire plier la complexité du problème, sinon des approches harmoniques : analyse de Fourier, ou ses avatars plus modernes, telle l’analyse en ondelettes[NDLR : nous en avons rendu compte plusieurs fois, voir aussi ici ou encore ici]. Ces analyses permettent de dégager dans les phénomènes de turbulence des discontinuités, des singularités, qui correspondent plus où moins à la notion intuitive de tourbillons (qui ne sont plus ceux de Descartes). Il est alors possible, et même pertinent, de définir, puis d’utiliser des nouveaux concepts – invariances d’échelle, catastrophes, structures fractales… – issus du rapprochement entre les deux visions antagonistes, particulaire et harmonique. Bien que relevant encore une fois de mathématiques très sophistiquées (ou peut-être pour cette raison), ils peuvent être candidats au titre de concepts unificateurs, dans le sens que nous introduisons plus bas.
Il est tentant de se représenter la physique quantique comme l’aboutissement le plus accompli de ce processus dialectique. Le concept de fonction d’onde, apparemment mi-ondulatoire et mi-particulaire, représenterait le meilleur compromis imaginable, incarnant une synthèse des visions harmonique et mécaniste. Mais la physique quantique, dont la description est essentiellement mathématique, n’a pas encore été interprétée d’une façon consensuelle. Les tentatives oscillent, au moins au niveau de l’intuition, entre vision particulaire et vision ondulatoire. La véritable nature de la réalité semble rester hors de portée. Peut-être notre esprit est-il condamné à balancer entre deux modèles du monde, impossibles à fusionner. Sans doute ce balancement est-il une condition nécessaire du progrès de la physique. Que dire, dans ce cas, de la physique quantique, qui d’une certaine manière stoppe cette oscillation en synthétisant les deux tendances ? Marque-t-elle l’étape ultime des progrès possibles en physique ? […]
Que conclure ? Joseph Fourier n’a pas pu ignorer ni sous-estimer les critiques de ses pairs. Il n’a pas pu non plus anticiper les travaux des mathématiciens qui tout au long du 19e et d’une partie du 20e siècle vont affiner la théorie des intégrales (3), de la convergence des séries, des équations aux dérivées partielles pour donner le cadre théorique solide qui manquait, en 1812, au traité de la chaleur.
Dans l’esprit de Joseph Fourier, les séries qu’il utilise représentent « la réalité » de la dispersion de la chaleur. Sa conviction est arrêtée : la chaleur qui se propage dans un matériau conducteur ne saurait prendre des valeurs impossibles où aberrantes. Ses équations « doivent » donc converger vers une limite.
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(1) Les mathématiciens qui, dès cette époque, à la suite de Laplace, étudient les systèmes chaotiques – par le biais de l’astronomie, le problème des trois corps est déjà posé – savent que d’infimes variations peuvent perturber la convergence d’une série et détruire la stabilité d’un système. Fourier saura convaincre Laplace qui dirige le mouvement des jeunes chercheurs, mais rencontrera plus de résistance chez ses disciples Lagrange, Biot ou Poisson.
Voir Jean Dhombres, Pierre-Simon de Laplace, éd Hermann, pp. 210-211 : « Les relations [de Laplace] avec Fourier sont typiques d’une façon de faire : devenu préfet, et d’une vingtaine d’années plus jeune que Laplace, Fourier réussit à expérimenter à Grenoble et obtient, en 1807, non seulement l’équation de la propagation de la chaleur, mais la façon de trouver les solutions compte tenu des conditions aux limites. Fourier découvre les séries qui portent son nom : elles établissent que, pour un même intervalle de fonction, et selon les différentes périodicités que l’on pose, on obtient des représentations différentes, qui n’en donnent pas moins des résultats numériques très satisfaisants. L’idée horrifiait Lagrange, qui ne rapporta pas sur Fourier ; Laplace fit certainement tester les choses par de plus jeunes chercheurs comme Biot et Poisson , et il arriva alors que ces jeunes s’attribuent le fait d’avoir redressé les ‘intuitions’ de Fourier combattues par le Nestor de la science française qu’était Lagrange, Fourier monte à Paris, et dans une discussion face à face, convainc Laplace. En dépit du fait que l’invention de Fourier est celle du ‘flux’, justement une méthode liée à l’idée de fluide, et non une méthode newtonienne. Fourier obtiendra le grand prix de l’Académie des sciences en 1812, et sera soutenu fortement par Laplace, même pour le poste de secrétaire perpétuel de l’académie, en dépit du fait qu’Arago, un élève de Laplace, se présentait au même poste. »
(2) Pour approfondir ses connaissances de la personnalité de Joseph Fourier, le lecteur peut se référer au texte que Jean-Pierre Kahane a présenté en août 2005. on peut aussi trouver sur le web, parmi d’autres, des ressources audiovisuelles de Jean-Pierre Kahane, ainsi que de Jean-Pierre Demailly, qui a aussi été interrogé sur France-Culture, à propos de Fourier.
Pour l’apport de Fourier à l’effet de serre, on peut consulter, sur le site de l’École normale supérieure de Paris, une conférence ici ou encore ici.
(3) Voir Jean-Pierre Kahane : » Fourier, selon Riemann, est le premier à avoir compris complètement la nature des séries trigonométriques, en associant ce que j’appellerai l’analyse, les formules intégrales donnant les coefficients, et la synthèse, la représentation d’une fonction par une série trigonométrique. C’est à cause de Riemann que nous parlons aujourd’hui de séries de Fourier. En France, Fourier a été longtemps méconnu. Arago, dans son éloge de Fourier, vante grandement le savant et le politique, explique l’importance de sa théorie analytique de la chaleur, mais ne dit pas un mot des séries trigonométriques, c’est-à-dire de l’outil que Fourier a forgé pour calculer des solutions des équations intégrales de la chaleur. Fourier y accordait une grande importance et, contrairement à une idée reçue, il a développé cet outil en véritable théorie, exemples, applications et démonstrations, avec une grande rigueur. Mais il s’est heurté à l’incompréhension persistante de Lagrange, et deux pages dans les manuscrits de Lagrange, que j’ai consultées et commentées, confirment que Fourier avait raison contre Lagrange. Mais Lagrange était à l’époque de Fourier le plus respecté des mathématiciens français, et son jugement négatif sur Fourier a traversé les siècles. Dans l’édition que je possède d’Encyclopedia universalis il n’y a pas d’article sur Fourier.
Fourier attachait une portée universelle à ses formules. Il précisait bien, et le premier, que la donnée d’une fonction était celle de son domaine de définition en même temps que d’une loi ou une figure ; et, sans utiliser ces termes, il distinguait soigneusement les intervalles ouverts et les intervalles fermés. Mais, après avoir multiplié les exemples et donné quelques preuves, il s’était aventuré à dire que toute fonction était sujette à cette analyse et représentable par une série trigonométrique qui converge vers la fonction. Littéralement c’est faux. Pour appliquer les formules intégrales, il faut que la fonction soit intégrable ; et la convergence des séries est un sujet difficile. Les premiers pas pour éclaircir la question sont dus à Dirichlet, avec le premier théorème général de convergence et le premier exemple de fonction non intégrable dans la conception de l’époque. Tous les concepts d’intégration, à commencer par l’intégrale de Riemann, sont liés aux formules de Fourier et à leurs conditions de validité. Au delà de Riemann, on pense à Lebesgue, Denjoy, Laurent Schwartz. Quant à la convergence, elle est mise en question par les contre-exemples : une fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point (du Bois-Reymond) ou même sur un ensemble donné de mesure nulle (Kahane-Katznelson), et une fonction intégrable au sens de Lebesgue dont les série de Fourier diverge partout (Kolmogorov). Le théorème de convergence de Carleson, inattendu à son époque (1966), dit que la convergence a lieu presque partout quand la fonction est de carré intégrable ; on peut améliorer cette condition, sans parvenir bien sûr aux fonctions intégrables.
De même que le concept d’intégrale, c’est le concept de série qui est en cause. Pourquoi s’attacher à la convergence, qui a d’ailleurs plusieurs significations dès qu’on passe à plusieurs variables et à des séries multiples, alors qu’il y a des procédés de sommation utilisables ? Le tournant est pris avec le théorème de Féjer de 1900 : pour les fonctions continues, les moyennes arithmétiques des sommes partielles convergent. Elles convergent même uniformément. La convergence dans les espaces fonctionnels apparaît peu après ; les fonctions sont des points, les sommes partielles d’autres points, et l’espace des fonctions de carré intégrable s’impose à l’attention avec la formule de Parseval, établie dans ce cadre par Fatou, et surtout le théorème de Riesz-Fischer, qui établit l’isomorphisme isométrique de L2 et de l2 par transformation de Fourier.
Fischer et Frédéric Riesz, indépendamment, ont pensé à une géométrisation des espaces de fonctions, et le lemme fondamental pour la preuve de leur théorème est le même ; nous l’exprimons aujourd’hui en disant que L2 est complet. Mais cette formulation ne date que de Banach dans sa théorie des opérations linéaires de 1930. Il fallait jusque là une longue phrase pour le dire. C’est un exemple où les définitions, tardives, viennent exprimer le suc d’une méthode, avant de servir de base à de nouveaux développements.
Autre exemple, toujours tiré de l’analyse de Fourier. Au lieu de L2 et de l2, Norbert Wiener s’est attaché à L1 et l1. Leurs transformées de Fourier sont un champ d’étude toujours ouvert, avec des applications surprenantes en théorie du signal (Donoho, Candès etc). Les problèmes d’analyse et de synthèse y prennent un aspect différent, plus algébrique : dans l’algèbre des fonctions sommes de séries trigonométriques absolument convergentes, les fonctions nulles sur un ensemble donné forment un idéal fermé ; y en a t-il d’autres ? C’est bien la cas, comme Malliavin l’a montré en 1959. Le point de départ est l’algèbre de Wiener, qui se voit soit comme l’algèbre multiplicative des fonctions sommes de séries trigonométriques absolument convergentes, soit comme algèbre de convolution l1. La dernière expression est plus rapide, et la notion de convolution, si fondamentale en analyse, la rend très parlante. Mais en 1930, et même quand Laurent Schwartz a élaboré sa théorie des distributions, on ne parlait pas encore de convolution ; c’était Faltung en allemand, produit de composition en français. Dans le traité de Widder « Laplace transforms », qui date de 1941 , c’est comme « Stieltjes transforms » que sont introduites les convolutions de mesures, avec une note en bas de page qui indique le terme de convolution comme une timide nouveauté parallèlement au terme de Faltung, aussi utilisé en anglais. La convolution apparaît partout, mais c’est Wiener qui a dégagé son caractère fondamental , et c’est pourquoi Faltung est devenu pour un temps l’expression de la notion. Aujourd’hui il est raisonnable de placer la convolution au départ d’un cours d’analyse de Fourier.
S’agissant du vocabulaire, comment situer l’analyse harmonique ? C’est un champ largement ouvert sur l’ensemble des mathématiques. Historiquement, on vient de voir ses relations avec les équations différentielles de la mécanique céleste, avec les équations aux dérivées partielles des cordes vibrantes et de la chaleur, avec la théorie des fonctions d’une variable réelle, et on a évoqué ses relations actuelles avec la statistique et le traitement des données. Le lien aux probabilités est ancien et profond. Le cadre de l’analyse harmonique commutative est celui des groupes abéliens localement compacts, et la dualité entre ces groupes est exprimée par la transformation de Fourier. La thèse de Tate a montré l’importance de cette approche en théorie des nombres. L’analyse harmonique non commutative est liée aux groupes non commutatifs et à leurs représentations. L’analyse harmonique abstraite part de la théorie de Gelfand des anneaux normés, autrement dits algèbres de Banach. L’analyse de Fourier classique traite de transformations intégrales, transformation de Fourier d’abord, et aussi intégrales singulières. Ses usages dans toutes les sciences ont été multipliés par la transformation de Fourier rapide puis par les ondelettes et leurs variantes. Il est clair que toute définition de l’analyse harmonique en serait une limitation injustifiée. Mais outre son étendue, on peut repérer des questions, des méthodes, des théories qui, elles, peuvent être identifiées et formalisées.
Les formules de Fourier sont l’exemple de base. Leur énoncé par Fourier exprime leur généralité, de façon formellement incorrecte. Elles ne constituent pas un théorème, mais elles ont engendré des théorèmes et permis de définir d’importantes notions. Mieux qu’un théorème, elles ont constitué un programme, à savoir, donner des conditions de leur validité. Elles ont ensuite constitué un paradigme pour tous les développements orthogonaux. Une raison de leur succès est sans doute qu’elles établissent un pont entre deux classes d’objets, en l’occurrence des fonctions et des suites. La dualité de Fourier est un modèle de traduction d’un langage dans un autre, un trait commun à d’autres grands programmes. »
1844 – Première idée d’une souscription : Gau de Gentilly, par testament, lègue une somme de 4 000 fr. pour élever un buste à Fourier dans une des salles de la bibliothèque. Une commission, composée de MM. Jomard, président, Champollion-Figeac, Larabit, Mauger, Châtelet et Roux, et constituée par la ville d’Auxerre, est chargée, à Paris, de centraliser les fonds dont l’importance permet bientôt d’ériger une statue au lieu d’un simple buste.
Nous avons déjà relaté ici l’historique que Daniel Reisz a brossé du projet d’Edme Faillot qui fut retenu, nous n’y reviendrons pas. Initialement, la statue et les bas-reliefs de son socle furent érigés dans le jardin botanique.
1849 – Inauguration
10 mai 1849 : inauguration dans le Jardin Botanique (près de l’actuel -2015- Palais de Justice).
En 1882 la construction de l’actuel Palais de Justice et la réorganisation du quartier imposa de déplacer la statue. Le Palais de Justice occupe la plus grande partie de l’emplacement de l’ancienne abbaye de Notre-Dame-la-d’Hors. Elle avait été remplacée elle-même depuis la Révolution par divers services communaux ; on y avait logé d’abord le curé de la paroisse Saint-Etienne (1809), puis plus tard la bibliothèque publique et le musée, les justices de paix, le tribunal de commerce et une école de filles. Le jardin des moines devint, en 1827, une sorte de jardin des plantes, au milieu duquel on plaça, en 1849, la statue de Joseph Fourier. Une promenade de tilleuls fut plantée sur l’emplacement de l’église de Saint-Marien, qui coupait transversalement la place actuelle, et dont le sanctuaire se rapprochait de la rue Notre-Dame.
Ce déplacement ne se fit pas sans réflexions. Réflexions préliminaires et travaux de commission sont relatés dans le bulletin de la SSHNY de 1882. On y trouve une lettre de Demaison et, dans un rapport de Marcilly, les conclusions de la commission réunie par la SSHNY. Finalement, la statue est installée sur une place proche de la Mairie qui devient place Fourier (actuelle place du Maréchal Leclerc), devant la bibliothèque municipale qui occupait alors le premier étage de l’ancien Palais de Justice jouxtant la Mairie d’Auxerre. [Malgré l’érection de cette statue au milieu d’une place centrale de la ville, on peut noter que l’œuvre de Fourier est méconnu en cette fin de siècle, comme en témoigne le peu d’intérêt que lui portent Arluison et Carteret.]
1942 –La statue de Fourier est fondue dans le cadre de la réquisition par l’Etat français de Vichy de statues de bronze, pour épargner les cloches des églises, le Régime nazi ayant exigé du métal pour son armement sans se soucier de l’origine de ce métal.
Les bas-reliefs apposés sur le socle de la statue sont cependant épargnés. Le détail des décisions des différentes instances de l’Etat français, acceptées ou non par la municipalité d’Auxerre, se trouve dans un article de Bernard Richard, tome 150 (2012/2) du Bulletin de la Société des sciences historiques et naturelles de l’Yonne, pages 123 à 152 : « Vendanges de bronze dans l’Yonne sous l’Occupation ».
[C’est aussi à cette époque et pour les mêmes raisons, qu’à Paris la statue de Fourier, Charles, le théoricien de l’économie, située boulevard de Clichy, réalisée par Émile Derré, payée par le produit d’une souscription populaire, inaugurée en juin 1899 fut réquisitionnée et fondue. Le socle, resté en place, a été réutilisé le 10 janvier 2011 pour l’installation de La Quatrième Pomme, une sculpture contemporaine en inox.]
1952 – Installation d’un médaillon sur la façade de l’ancien Palais de justice de la ville devenu bibliothèque municipale, puis maintenant annexe de la mairie. Sur la même façade, sont aussi scellées les deux plaques de bronze initialement posées sur le socle de la statue détruite.
L’assèchement des marais de Bourgoin
L’éloge funèbre de Kléber
Joseph Fourier en médaillon
22 juin 2012 – Lancement d’une souscription nationale par Gilles Bertrand (président du CCSTIB) et Tadeusz Sliwa (coordinateur général de la souscription) avec la participation des signataires du comité.
3 mars 2015 : Lancement d’une campagne de publicité sur Internet pour la souscription de la statue Joseph Fourier.
20… –Réalisation et inauguration à Auxerre du second monument à la gloire de Joseph Fourier, académicien du début du 19e siècle et inspirateur de recherches fructueuses dans de nombreux domaines de physique et de mathématiques contemporaines.
