29 novembre 2014
17 h 48 min
by: cm1

Fourier pour les littéraires

Une transformation

‘à la manière de Fourier’

pour les littéraires

Les mathématiciens sont des gens charmants, dotés de qualités remarquables (rigueur, créativité, technicité….) mais qui ont le gros défaut d’oublier que le commun des mortels ne « parle » pas spontanément mathématique et le comprend encore moins. Lorsque j’ai demandé à tel ou tel autre mathématicien de m’expliquer la Transformation de Fourier, j’ai reçu deux types de réponses : soit l’expression dépitée de ceux qui connaissant mon niveau de culture mathématique se refusent à répondre, sachant que je ne comprendrai rien de leurs explications, soit un flot de parole, accompagné de formules, au milieu desquelles mon esprit se perd dès la première seconde.

Fourier est trop célèbre, trop cité, trop utilisé, trop surexploité pour laisser la compréhension de ses intuitions aux seuls mathématiciens ou physiciens. Quitte à filer la métaphore jusqu’à son point de rupture, nous voudrions ici, hors de toute formulation mathématique, proposer aux non-initiés une approche de ce qui est en jeu lorsque l’on parle de Transformation de Fourier. Les mathématiciens critiques de cette démarche pourront m’adresser leurs remarques et proposer une meilleure approche.

Certains ne seront pas surpris par l’approche qui est faite ici : elle n’est pas sans lien avec les travaux relatifs à l’analyse du discours, même si, à notre connaissance, c’est le lien n’a pas été fait avec la Transformation de Fourier qui s’applique à des fonctions.

Soit un texte bien connu de Jean de La Fontaine, nous nous proposons de le transformer de façon réversible. Ainsi, nous obtiendrons deux points de vue d’un même discours. Points de vue que nous pourrons mettre en concurrence pour formuler des remarques :

Texte original

Le Corbeau et le Renard

Maître Corbeau, sur un arbre perché,

Tenait en son bec un fromage.

Maître Renard, par l’odeur alléché,

Lui tint à peu près ce langage :

« Hé ! bonjour, Monsieur du Corbeau.

Que vous êtes joli ! que vous me semblez beau !

Sans mentir, si votre ramage

Se rapporte à votre plumage,

Vous êtes le Phénix des hôtes de ces bois. »

A ces mots le Corbeau ne se sent pas de joie ;

Et pour montrer sa belle voix,

Il ouvre un large bec, laisse tomber sa proie.

Le Renard s’en saisit, et dit : « Mon bon Monsieur,

Apprenez que tout flatteur

Vit aux dépens de celui qui l’écoute :

Cette leçon vaut bien un fromage, sans doute. »

Le Corbeau, honteux et confus,

Jura, mais un peu tard, qu’on ne l’y prendrait plus.

Il est possible de la transformer, de façon à obtenir ceci :

Texte transformé (fréquence / alphabétique)

, . Corbeau un ! de et l’ le Le Renard « » à bec ces en êtes fromage Maître Monsieur ne peu que sa votre vous ; A alléché Apprenez arbre aux beau belle bien bois bon bonjour ce celui Cette confus dépens des dit doute du écoute Et flatteur Hé honteux hôtes Il joie joli Jura laisse langage large leçon Lui mais me mentir Mon montrer mots odeur on ouvre par pas perché Phénix plumage plus pour prendrait près proie qu’ Que qui ramage rapporte s’ saisit sans Sans se Se semblez sent si son sur tard Tenait tint tomber tout vaut Vit voix Vous y

En fait, nous avons été un peu elliptique et cette transformation abrégée n’est pas réversible en ce qu’elle ne permet pas de retrouver le texte original ; pour que la transformation soit vraiment réversible, il convient de conserver une trace de la position des mots dans l’original, ce qui pourrait donner ceci :

Texte transformé (avec repérage des formes ce qui assure la réversibilité de la transformation)

[Corbeau $11/5 —> Corbeau $ numéro de la ligne/position dans la ligne]

, $12/7 ; $13/6 ; $14/13 ; $14/5 ; $17/7 ; $18/3 ; $18/7 ; $19/2 ; $19/7 ; $2/3 ; $2/8 ; $4/3 ; $4/7 ; $6/5 ; $8/3 ; $9/6

. $10/10 ; $13/11 ; $17/10 ; $19/13 ; $3/7 ; $6/9

Corbeau $11/5 ; $18/2 ; $2/2 ; $6/8 ; $1/2 / un $13/3 ; $17/5 ; $19/4 ; $2/5 ; $3/5

! $6/3 ; $7/11 ; $7/5 / de $10/7 ; $11/10 ; $16/4 / et $14/6 ; $18/5 ; $1/3 / l’ $16/7 ; $4/5 ; $19/10 / le $10/3 ; $11/4 ; $1/4 / Le $14/1 ; $18/1 ; $1/1 / Renard $1/5 ; $14/2 ; $4/2 /

« $14/9 ; $6/1 / » $10/11 ; $17/11 / à $5/3 ; $9/3 / bec $13/5 ; $3/4 / ces $10/8 ; $11/2 / en $14/3 ; $3/2/ êtes $10/2 ; $7/3 / fromage $17/6 ; $3/6 / Maître $2/1 ; $4/1 / Monsieur $14/12 ; $6/6 / ne $11/6 ; $19/9 / peu $19/5 ; $5/4 / que $15/2 ; $7/6 / sa $12/4 ; $13/9 / votre $8/5 ; $9/4 / vous $7/2 ; $7/7 /

; $11/12 / A $11/1 / alléché $4/6 / Apprenez $15/1 / arbre $2/6 / aux $16/2 / beau $7/10 / belle $12/5 / bien $17/4 / bois $10/9 / bon $14/11 / bonjour $6/4 / ce $5/6 / celui $16/5 / Cette $17/1 / confus $18/6 / dépens $16/3 / des $10/5/ dit $14/7/ doute $17/9 / du $6/7 / écoute $16/7 / Et $12/1 / flatteur $15/4 / Hé $6/2 / honteux $18/4 / hôtes $10/6 / Il $13/1 / joie $11/11 / joli $7/4 / Jura $19/1 / laisse $13/7 / langage $5/7 / large $13/4 / leçon $17/2 / Lui $5/1 / mais $19/3 / me $7/8 / mentir $8/2 / Mon $14/10 / montrer $12/3 / mots $11/3 / odeur $4/5 / on $19/8 / ouvre $13/2 / par $4/4 / pas $11/9 / perché $2/7 / Phénix $10/4 / plumage $9/5 / plus $19/12 / pour $12/2 / prendrait $19/11 / près $5/5 / proie $13/10 / qu’ $19/8 / Que $7/1 / qui $16/6 / ramage $8/6 / rapporte $9/2 / s’ $14/3 / saisit $14/4 / sans $17/8 / Sans $8/1 / se $11/7 / Se $9/1 / semblez $7/9 / sent $11/8 / si $8/4 / son $3/3 / sur $2/4 / tard $19/6 / Tenait $3/1 / tint $5/2 / tomber $13/8 / tout $15/3 / vaut $17/3 / Vit $16/1 / voix $12/6 / Vous $10/1 / y $19/10 /

La transformation étant faite, nous laissons à chacun le soin de l’utiliser pour analyser le texte proposé comme il l’entend ; notre propos n’est pas ici d’enrichir la critique littéraire, mais de proposer une comparaison (impertinente sans doute, mais nous l’osons cependant) pour pénétrer la pensée de Joseph Fourier. Nanti de la méthode, les plus hardis de nos lecteurs pourront se proposer de soumettre à l’Académie française une proposition établissant son bien fondé pour tout texte publié. C’est la démarche qu’a suivi Joseph Fourier au début du 19^e siècle : « Ses travaux sur la propagation de la chaleur débutent en 1805 au retour d’Egypte. alors qu’il est préfet à Grenoble. /…/ Le 21 décembre 1807 il lit à l’Académie des Sciences un mémoire intitulé Théorie de la Propagation de la Chaleur dans les Solides. Mais LAGRANGE et LAPLACE firent de nombreuses objections et ce mémoire ne fut jamais publié ni par l’Académie, ni par FOURIER, ni ultérieurement par Gaston DARBOUX dans les œuvres complètes. Pourtant on est maintenant certain que DARBOUX a consulté ce manuscrit à l’Ecole des Ponts et Chaussées et il en dit grand bien. Ce n’est qu’en 1972 que l’historien des sciences anglais, GRATTAN-GUINESS, grand spécialiste de FOURIER, publiera ce premier texte sur la propagation de la chaleur. Pendant les années 1808 et 1809 FOURIER publiera de nombreuses mises au point qui essayent de répondre aux critiques de LAGRANGE et LAPLACE. Il trouve dans ce travail l’aide de POISSON. En 1811, il soumet à nouveau son mémoire, nettement amélioré, à l’Académie des Sciences. LAGRANGE souligne alors « la nouveauté du sujet et son importance » mais reste encore réservé « du coté de la rigueur ». [Extrait d’une conférence donnée devant le centre Auxerrois de l’Université pour Tous de Bourgogne, par Daniel Reisz]

Nous n’avons pas refait les calculs nous-même (nous en serions bien incapable), mais c’est par un cheminement analogue, en appliquant, en toute rigueur cette fois, la Transformation de Fourier que les mathématiciens peuvent nous proposer ces deux interprétations de l’image de Lena : notre but est atteint si le lecteur entrevoit maintenant comment les images de gauche ou de droite se déduisent l’une de l’autre.

Cette comparaison peut donner une vague idée de la Transformation de Fourier, cependant elle reste superficielle, utilisant les mots qui se retrouvent inchangés entre le texte original et le texte transformé.

Fourier, lui, transforme complètement la fonction originale en une somme d’autres fonctions de nature différente. La Transformation de Fourier permet de passer d’une fonction (souvent chaotique, – la diffusion de la chaleur dans un objet de forme complexe – l’évolution des cours de la bourse) sur laquelle il est difficile d’intervenir (les calculs de dérivation, d’intégration ne sont pas possibles) à des fonctions où ces calculs sont aisés, le prix à payer étant d’être contraint de manipuler des sommes infinies, ce qui génère des calculs monstrueux que seuls les ordinateurs sont en mesure de mener à bien.

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28 novembre 2014
17 h 02 min
by: cm1

La Planète rouge et Fourier

La Planète Rouge, l’étoile du berger

et Fourier

Plusieurs sondes ont étudié et précisé l’étude de l’atmosphère de Mars qui est en majorité composée de dioxyde de carbone (95 %), de diazote (3 %) et d’argon (1,6 %), avec des traces de dioxygène, d’eau, et de méthane. La visite de la comète Siding Spring le 19 octobre 2014 à proximité de Mars a été historique. L’astre est passé tout près de la planète, à 139 500 km de sa surface, soit à un tiers de la distance Terre-Lune. Un évènement qui ne se produit qu’une fois par million d’années selon les spécialistes. Après son passage, les sondes dédiés à l’étude de Mars ont pu détecter des modifications d’une couche de l’atmosphère, l’ionosphère, composée de particules chargées électriquement.

Joseph Fourier se trouve associé à cet événement historique ; en effet : l’étude de la composition atmosphérique des planètes se fait par spectroscopie infrarouge à transformée de Fourier (FTIR) qui consiste à mesurer un signal obtenu à l’aide d’un interféromètre (donnant un interférogramme).

Ainsi, pour la planète Vénus, avec le Planetary Fourier Spectrometer (PFS) : Le spectre mesuré est alors obtenu par transformée de Fourier après récolte des données par le spectromètre (PFS) opérant dans les longueurs d’onde infrarouges, entre 0,9 et 45 µm et destiné à réaliser des sondages optiques verticaux de l’atmosphère de Vénus. Il réalise une surveillance globale, à long-terme et en trois dimensions du champ de température de la basse atmosphère (jusqu’à 100 km d’altitude). Il procède à la recherche de molécules atmosphériques éventuelles qui n’auraient pas encore été détectées, analyse les aérosols atmosphériques et les échanges entre l’atmosphère et la surface. Le modèle est basé sur un spectromètre de Mars Express, mais modifié pour accroître sa performance. Réalisé par l’Istituto fisica spazio interplanetario de Rome.

Nous pouvons résumer le principe de fonctionnement par le schéma suivant :

Sources :

http://www.sciencesetavenir.fr/espace/20141110.OBS4597/la-comete-siding-spring-a-modifie-l-atmosphere-martienne.htm

http://live.fr.dbpedia.org/mediawiki/index.php/Venus_Express#Instrumentation

Plus précisément sur le PFS lui-même :

http://www.futura-sciences.com/magazines/espace/infos/dico/d/univers-pfs-4353/ (en français ; principes élémentaires)

et pour des informations plus complètes le rapport de stage de Samsophath Nhean :

http://webpages.lss.supelec.fr/perso/nicolas.gac/encadrements/Rapport_stage_Samsophath_Nhean_Avril_Aout_2011.pdf

Signalons encore quelques compléments en anglais pour satisfaire les curieux :

http://sci.esa.int/mars-express/31033-objectives/?fbodylongid=659

http://en.wikipedia.org/wiki/Planetary_Fourier_Spectrometer

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25 octobre 2014
16 h 13 min
by: cm1

Fourier et la-4G

Fourier et la « 4-G »

Après une traversée du désert de près d’un siècle, entre sa mort et les grandes avancées techniques du 20^e siècle, l’académicien Joseph Fourier est revenu peu à peu sur le devant de la scène. Il est actuellement le savant dont le nom est le plus souvent cité (grâce essentiellement à la transformation qui porte son nom). Ce retour de gloire, exceptionnel, va-t-il durer ? Pour tenter de répondre à cette question, on peut, même si c’est un peu technique, regarder les dernières nouveautés techniques. Voyons donc du côté de la technologie « 4-G » :

Comme souvent en ce qui concerne Joseph Fourier, toute tentative de vulgarisation butte rapidement sur des concepts ardus. Pour les techniciens, nous reproduisons ci-dessous intégralement un article de Wikipedia que nous avons renoncé à résumer. Le lecteur non-technicien (qu’il nous pardonne la technicité du propos) pourra tout de même entrevoir pourquoi nous avons, sur ce même site, effleuré la question de l’orthogonalité, d’une part, et constater, d’autre part, sur le schéma (ci-dessous au paragraphe : principes) que les DFT (Discrete Fourier Transform) et IDFT (DFT inverse) apparaissent deux fois chacune en des points clés et sont indispensables à l’application.

Si l’on note que la variante SC-FDMA fait de la même manière appel aux transformées de Fourier et transformées inverses, on peut conclure sans risque d’erreur que grâce à la transformation des fonctions qu’il a imaginée, le nom de Fourier ne va pas tout de suite retomber dans l’oubli.

[d’après Wikipedia]

L’OFDMA (ou Orthogonal Frequency Division Multiple Access) est une technique de multiplexage et de codage des données utilisée principalement dans les réseaux de téléphonie mobile de 4^e génération. Ce codage radio associe les multiplexages en fréquence et temporel ; c’est-à-dire les modes « Accès multiple par répartition en fréquence » (AMRF ou en anglais FDMA) et « Accès multiple à répartition dans le temps » (AMRT ou en anglais TDMA). Il est notamment utilisé dans les réseaux de téléphonie mobile 4G LTE, LTE Advanced et WiMAX mobile (IEEE 802.16e).

L’OFDMA ou l’une de ses variantes sont aussi utilisées dans d’autres systèmes de radiocommunication, telles les versions récentes des normes de réseaux locaux sans fil WIFI (IEEE 802.11 versions n et ac, IEEE 802.22 et WiBro) ainsi que par certaines normes de télévision numérique.

Comme pour d’autres techniques de codage permettant l’accès multiple (TDMA, FDMA ou CDMA), l’objectif est de partager une ressource radio commune (bande de fréquence) et d’en attribuer dynamiquement une ou des parties à plusieurs utilisateurs.

Origine :

L’OFDMA et sa variante SC-FDMA sont dérivées du codage OFDM (utilisé par exemple sur les liens ADSL, DOCSIS 3.1 et dans certains réseaux WiFI), mais contrairement à l’OFDM, l’OFDMA permet et est optimisé pour l’accès multiple, c’est-à-dire le partage de la ressource spectrale (bande de fréquence) entre de nombreux utilisateurs distants les uns des autres. L’OFDMA est compatible avec la technique des antennes MIMO .

L’OFDMA a été développé comme une alternative au codage CDMA, utilisé dans les réseaux 3G UMTS et CDMA2000. L’OFDMA est principalement utilisé dans le sens de transmission downlink (antenne-relais vers terminal) des réseaux mobiles car il permet pour une même largeur spectrale, un débit binaire plus élevé grâce à sa grande efficacité spectrale (nombre de bits transmis par Hertz) et à sa capacité à conserver un débit élevé même dans des environnements défavorables avec échos et trajets multiples des ondes radio. Ce codage (tout comme le CDMA utilisé dans les réseaux mobiles 3G) permet un facteur de réutilisation des fréquences égal à « 1 », c’est-à-dire que des cellules radio adjacentes peuvent réutiliser les mêmes fréquences hertziennes.

Principes

Le codage OFDMA consiste en un codage et une modulation numérique d’un ou plusieurs signaux binaires pour les transformer en échantillons numériques destinés à être émis sur une (ou plusieurs) antennes radio ; réciproquement, en réception, le signal radio reçoit un traitement inverse.

Modulations radio OFDMA et SC-FDMA : codage et conversions numérique/analogique. Glossaire :

DFT (Discrete Fourier Transform) : Transformée de Fourier discrète, Subcarrier Equalization : Égalisation des sous-porteuses, IDFT : DFT inverse, CP (Cyclic Prefix) : Préfixe cyclique, PS (Pulse Shaping) : mise en forme des impulsions, S-to-P : Transformation Série-Parallèle, DAC (Digital-Analog Converter) : Convertisseur numérique-analogique, RF (Radio Frequency) : Fréquence radio.

Les blocs « en jaune » (seconde transformée de Fourier et conversion série/parallèle associée) sont spécifiques au SC-FDMA.

Le principe de l’OFDMA est de répartir sur un grand nombre de sous-porteuses les données numériques que l’on veut transmettre, ce qui induit, pour un même débit global, un débit binaire beaucoup plus faible sur chacun des canaux de transmission ; la durée de chaque symbole est ainsi beaucoup plus longue (66.7 µs pour le LTE) que s’il n’y avait qu’une seule porteuse. Cela permet de limiter les problèmes d’interférences inter-symboles et de fading (forte atténuation du signal) liés aux « chemins multiples de propagation » qui existent dans les liaisons radio de moyenne et longue portées car quand le débit binaire sur une porteuse est élevé, l’écho d’un symbole arrivant en retard à cause d’une propagation multi-trajets perturbe le ou les symboles suivants.

La figure suivante décrit l’utilisation des sous porteuses : celles en noir, en vert et bleu (les plus nombreuses) transportent les données des utilisateurs, celles en rouge, les informations de synchronisation et de signalisation entre les 2 extrémités de la liaison radio.

Représentation et rôle des sous-porteuses

Un filtrage séparé de chaque sous-porteuse n’est pas nécessaire pour le décodage dans le terminal récepteur, une « transformée de Fourier » FFT est suffisante pour séparer les sous-porteuses l’une de l’autre (dans le cas du LTE, il y a jusqu’à 1200 porteuses indépendantes par sens de transmission)^[1].

Orthogonalité (le « O » de OFDMA) : en utilisant des signaux orthogonaux les uns aux autres pour les sous-porteuses contiguës, on évite les interférences mutuelles. Ce résultat est obtenu en ayant un écart de fréquence entre les sous-porteuses qui est égal à la fréquence des symboles sur chaque sous-porteuse (l’inverse de la durée du symbole). Cela signifie que lorsque les signaux sont démodulés, ils ont un nombre entier de cycles dans la durée du symbole et leur contribution aux interférences est égale à zéro ; en d’autres termes, le produit scalaire entre chacune des sous-porteuses est nul pendant la durée de transmission d’un symbole (66.7 µs en LTE, soit une fréquence de 15 kHz, ce qui correspond aussi à l’écart de fréquence entre 2 sous-porteuses).

Exemple de modulation OFDM/OFDMA avec 4 sous-porteuses orthogonales.

L’orthogonalité des sous-porteuses permet un resserrement de leurs fréquences et donc une plus grande efficacité spectrale (voir dessin) ; cela évite aussi d’avoir une « bande de garde » entre chaque sous-porteuse.

Un préfixe cyclique (sigle « CP » dans le dessin ci-dessus) est utilisé dans les transmissions OFDMA, afin de conserver l’orthogonalité et les propriétés sinusoïdales du signal sur les canaux à trajets multiples. Ce préfixe cyclique est ajouté au début des symboles émis, il sert aussi d’intervalle de garde, c’est-à-dire un temps entre deux symboles, pendant lequel il n’y a aucune transmission de données utiles ; cela permet d’éviter (ou de limiter) les interférences inter-symboles.

Dans la partie radio (eUTRAN) des réseaux mobiles LTE, deux durées différentes de préfixe cyclique sont définies pour s’adapter à des temps de propagation différents du canal de transmission ; ces temps dépendent de la taille de la cellule radio et de l’environnement : un préfixe cyclique normal de 4,7 ?s (utilisé dans les cellules radio de moins de 2 à 3 km de rayon), et un préfixe cyclique étendu de 16,6 ?s utilisé dans les grandes cellules radio ; ces préfixes représentent de 7 à 25 % de la durée d’un symbole et réduisent donc un peu le débit utile, surtout dans les grandes cellules (zones rurales).

Avantages et inconvénients

La présence de nombreuses sous-porteuses indépendantes permet d’adapter facilement la puissance d’émission de chaque canal au niveau minimum suffisant pour une bonne réception par chaque utilisateur (qui est fonction de sa distance avec l’antenne-relais).

Il est aussi possible, grâce à la possibilité d’utilise un nombre quelconque de sous-porteuses, d’accroître la portée d’un émetteur radio, lorsqu’il est éloigné de l’antenne réceptrice, tout en limitant sa puissance d’émission (ex : 200 mW maximum pour un téléphone mobile LTE) ; ceci est réalisé en concentrant la puissance émise sur un petit nombre de sous-porteuses (plus précisément sur un faible nombre de Resource Blocks). Cette optimisation se fait au détriment du débit.

Le codage OFDMA a pour contrainte d’imposer une synchronisation très précise des fréquences hertziennes et des horloges des récepteurs et des émetteurs afin de conserver l’orthogonalité des sous-porteuses et d’éviter les interférences.

Ce codage est associé (dans les réseaux LTE et WiMAX) à des modulations de type QPSK ou QAM utilisées sur chacun des canaux (groupes de sous-porteuses), chaque canal visant un utilisateur. Les divers canaux peuvent utiliser au même instant des modulations différentes, par exemple QPSK et QAM-64, pour s’adapter aux conditions radio locales et à la distance séparant l’antenne de chaque terminal.

Pour les liaisons uplink (sens terminal vers station de base) des réseaux mobiles 4G « LTE », c’est la variante SC-FDMA qui est utilisée, car ce codage permet de diminuer la puissance électrique crête et donc le coût du terminal et d’augmenter l’autonomie de la batterie des smartphones ou des tablettes tactiles, grâce à un PAPR (Peak-to-Average Power Ratio) plus faible que celui de l’OFDMA.

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21 octobre 2014
14 h 20 min
by: cm1

Séries de Fourier et cristallographie

Les séries de Fourier et la cristallographie

Nous avons déjà évoqué ici, sur ce site, l’historique de ce que les cristallographes doivent à la théorie de Joseph Fourier. En effet, on utilise les phénomènes de diffraction pour comprendre la structure fine d’un objet. C’est l’utilisation de cette technique qui a permis de découvrir la structure de l’ADN

Pour illustrer un peu mieux les phénomènes mis en jeu, nous renvoyons aujourd’hui à une animation proposée par Sylvain Ravy (synchrotron SOLEIL) et Pascale Launois (Laboratoire de Physique des Solides d’Orsay) qui ont réalisé une petite animation [4 minutes en 26 vues] sur les séries de Fourier et la cristallographie, en prenant appui sur l’exemple de la première structure qui a été résolue entièrement par cette méthode (Robertson, 1935). Elle se trouve sur le site dédié à l’année internationale de la cristallographie en France, dans la rubrique « Formation et Ressources » puis « Documents disponibles » :

Les séries de Fourier et la cristallographie

On peut aussi trouver cette même animation sur Dailymotion.

Contacts :

sylvain.ravy@synchrotron-soleil.fr

pascale.launois@u-psud.fr

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5 octobre 2014
13 h 17 min
by: cm1

Fourier – journée d’étude 1

Le Savant dans la cité

Journée d’étude Joseph Fourier organisée par la Société Joseph Fourier, samedi 4 octobre 2014, CANOPÉ, 28 rue Théodore de Bèze, Auxerre

Engagements et actions politiques de savants

comme, Fourier, Paul Bert, Monge ou Laplace

Intervenants :

Jean Dhombres, directeur de recherches à l’EPHE

Marie Dupond, université d’Athènes,

Tadeusz Sliwa, université de Bourgogne

Patrice Decormeille, président de la Société Paul Bert

C’est sous le regard bienveillant et amusé d’un Joseph Fourier, réalisé par Nacéra Kainou et déplacé pour l’occasion, que c’est déroulée cette Journée d’étude Fourier organisée par la Société Joseph Fourier.

Joseph Fourier, par Nacèra Kainou

Après une brève introduction de Daniel Reisz, c’est Tadeusz Sliwa qui présente la Journée Joseph Fourier, placée sur le thème du savant dans la cité. Il rappelle que Joseph Fourier né à Auxerre, apparenté à Restif de la Bretonne, est un des grands noms de la science, même s’il reste un peu méconnu à Auxerre, le grand public ne dépassant pas la mésestime nationale dont Fourier a été victime, notamment entre 1830 et 1874. Depuis quelques années, Fourier est de retour dans les milieux scientifiques car sa modernité de Fourier est reconnue et les outils développés à partir de ses théories sont omniprésents. De plus sa dimension humaine de Fourier (son souci du bien public, sa droiture, son courage, sa rigueur, son absence de préjugés -il permet à une femme d’être entendue à l’académie-…) en fait un modèle pour la jeunesse et justifie pleinement cette journée placée sous ses auspices.

Jean Dhombres, rappelle d’abord que Fourier est actuellement le n°1 mondial dans les citations des mathématiciens. Il compare ensuite Laplace et Fourier. Tous deux étaient issus de famille en voie d’ascension sociale, eurent la chance de rencontrer des savants (l’un d’Alembert, l’autre, bien plus tard, Laplace, Lagrange et Monge), participèrent à la création des Ecoles normale et polytechnique puis à celle des lycées en 1802 dans lesquels l’enseignement des mathématiques devint pour la première fois obligatoire. Ils créèrent ainsi une éducation scientifique à tous les niveaux. Ils établirent des relations d’égal à égal avec Napoléon et le pouvoir politique. Ils donnèrent à l’Institut un pouvoir certain et en préservèrent l’indépendance et l’autonomie face à un monde politique instable. La Révolution a créé une solidarité de corps entre les savants comparable à celle qui existait chez les ingénieurs [Nous nous proposons de publier un compte-rendu plus complet de cette intervention dans un article spécifique]

Marie Dupond, s’appuie sur la correspondance familiale de Monge entre 1794 et 1801 pour établir l’intrication entre domaine privé et domaine public. Son analyse illustre, sur le cas particulier de Monge l’engagement collectif du monde scientifique à la cause révolutionnaire dont il a soutenu de façon indéfectible les principes. On ne connaît pas d’exemple de savant émigré. [Nous nous proposons de publier un compte-rendu plus complet de cette intervention dans un article spécifique]

Patrice Decormeille complète les analyses précédentes en élargissant son étude à l’ensemble des 19^e et 20^e siècles. Il rappelle d’abord que science et politique sont des vocations (Beruf), des passions exclusives, dévorantes, énergivores et chronophages et qu’elles sont difficilement compatibles. Il donne de nombreux exemples et s’arrête sur Paul Bert qui, à l’instar de Condorcet ou de Benjamin Franklin, fut à la fois un grand savant et un grand homme politique. De 1871 à 1874, il réussit à mener de front recherche scientifique et engagement public. Mais par la suite, le tribun n’a t-il pas fini par dévorer le savant ? [Le compte-rendu complet de cette intervention est disponible en format pdf : Paul Bert, un savant dans la cité]

Jean Dhombres

Marie Dupond

Patrice Decormeille

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6 septembre 2014
5 h 58 min
by: cm1

Fourier le savant dans la cité

Journée Fourier 2014 (dans le cadre de la Semaine de la Science)

Le savant dans la cité.

Samedi 4 octobre 2014, au CCDP de l’Yonne, salle Canopé

28 rue Théodore de Bèze, AUXERRE

9 h 30 : Accueil

9 h 45 : Introduction par Tadeusz Sliwa, enseignant-chercheur à l’université de Bourgogne.

10 h : Patrice BRET, chercheur au Centre A. Koyré, Secrétaire Général du Comité Lavoisier de l’Académie des Sciences : Atmosphère politique et intellectuelle à Paris entre 1815 et 1830.

11 h: Jean DHOMBRES, directeur de recherches à l’EPHE (centre A. Koyré) : Fourier et Laplace: une filiation intellectuelle, mais deux conceptions divergentes du rôle du scientifique dans la cité.

12 h – 14 h 45 Repas libre

14 h 45 : Présentation de la Société Joseph Fourier

15 h : Marie DUPOND, Département d’Histoire et de Philosophie des Sciences, Université d’Athènes : Monge, un savant dans la cité révolutionnaire, au travers de sa correspondance familiale (1794-1801).

16 h : Patrice DECORMEILLE, agrégé de philosophie, président de la Société Paul Bert : Paul Bert, un savant en politique.

17 h : Conclusion par Tadeusz Sliwa

Nombre de savants furent aussi des hommes (et des femmes) impliqués dans la vie de la Cité : vie publique, carrière politique, engagement au sein d’organisations diverses,… Cette implication est particulièrement courante et importante à partir des Lumières et traverse tout le XVIII^ème, XIX^ème et XX^ème siècles. Joseph FOURIER en est un exemple typique : immense mathématicien, il s’est impliqué dans sa jeunesse auxerroise dans le mouvement révolutionnaire, avant de s’engager dans l’expédition d’Egypte dont il fut un personnage central, puis devenir préfet de l’Isère et du Rhône, pour finir Secrétaire Perpétuel de l’Académie des Sciences d’où il influença toute la politique scientifique de la nation. Citons aussi l’autre grand scientifique auxerrois, Paul BERT, le Bourguignon Gaspard MONGE ou encore Pierre-Simon de LAPLACE. On peut aussi penser à des savants chronologiquement plus proches de nous : Hubert CURIEN, Claude ALLEGRE, Léon SCHWARTZENBERG, Robert et Bernard DEBRE, Bernard et Laurent SCHWARTZ,…

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15 août 2014
13 h 52 min
by: cm1

Fourier et les médailles Fields 2014

Fourier et les médailles Fields 2014

Nous connaissons maintenant le palmarès 2014 de la Médaille Fields. Un des quatre lauréats, Martin Hairer, qui est déjà multi-médaillé et membre de la Royal Society, travaille sur les équations aux dérivées partielles (EDP) stochastiques (mathématiques des processus probabilistes), domaine d’intérêt en traitement du signal comme on le découvre sur ce site du CNRS.

A partir de la page perso de Martin Hairer, on peut trouver ce cours introductif aux EDP stochastiques dans lequel on remarque que sont abordés, dans le cadre stochastique, comme exemples de « motivation », les deux EDP les plus importantes de la physique : celle de la chaleur (Fourier, Auxerre), dont on tire les principes de résolution de toutes les EDP linéaires, et celle de Navier(Dijon)-Stokes, qui cristallise toutes les difficultés et illustre une part importante de la variété des comportements non-linéaires. En somme, une bonne part de la Physique dite « classique » est Bourguignonne (surtout si on y ajoute d’autres grands personnages tel que Carnot, par exemple).

Dans ce cours, les outils d’analyse de Fourier sont utilisés seize fois.

Par ailleurs, toujours sur sa page perso, on constate que Monsieur Hairer a commis les logiciels de traitement du son suivants (évidemment basés Fourier) :

http://www.hairersoft.com/

http://man.dsd.net/amadeus/en/tools_spectrum.htm

Enfin, l’université dans laquelle il est professeur semble à la pointe sur certaines technologies liées aux outils de Fourier.

Merci à Tadeusz Sliwa, professeur à l’Université d’Auxerre (CCSTI) de nous avoir signalé ce rapport entre les médailles Fields 2014 et le sujet que nous traitons.

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8 août 2014
13 h 41 min
by: cm1

Fourier et Lena

Fourier et Lena

Histoire d’une Transformation

Longtemps, très longtemps, j’ai été perplexe devant ces images que l’on annonce comme équivalentes :

Je ne comprenais pas le mode de passage d’une image à l’autre. Il est vrai que je suis très ignorant des mathématiques supérieures, que la théorie des dérivées partielles m’est étrangère, néanmoins mes souvenirs de bachelier auraient dû me permettre de comprendre au moins le principe de la transformation.

Au départ, il y a l’image de Lena [1], initialement publiée dans Playboy avant d’être accaparée par les chercheurs. A l’époque, c’était une image argentique ; aujourd’hui, ce serait une image numérique obtenue avec un appareil photo ou par passage au scanner d’une reproduction de l’image originale. Cette image est donc transformable en un fichier numérique : une fois numérisée l’image se traduit par une fonction qu’on peut schématiser de la façon suivante : au pixel de coordonnées (x ;y) on fait correspondre un niveau de gris, g(x ;y) traduit par un entier entre 0 (blanc) et 255 (noir). On est donc en présence d’une fonction à 2 variables (x ;y) prenant ses valeurs entières entre 0 et 255 et qui peut se représenter par un fichier numérique.

La démonstration de Fourier :

Après avoir établit qu’une fonction périodique peut s’écrire de façon équivalente en une somme infinie de sinus et cosinus (une série de Fourier), Fourier généralise cette approche à toute fonction, périodique ou non (c’est la Transformée de Fourier). Ainsi, « Toute fonction est peut s’écrire comme une somme infinie de sinus et cosinus, affectés de coefficients »

toute : Fourier énonce un résultat de portée universelle. Les analystes de la fin du XIXème siècle (Dirichlet, Jordan, Riemann,…) apporteront plus de rigueur à la démonstration de Fourier et introduiront quelques contraintes sur les fonctions. Elle reste vraie pour des fonctions que Fourier ne connaissait pas en 1822 lorsqu’il a publié sa démonstration.

peut s’écrire comme : la transformation fonctionne dans les deux sens ; en partant de la somme infinie des sinus et cosinus il est possible de revenir à la fonction initiale.

somme infinie de sinus et cosinus : L’intérêt est ici que l’on peut facilement intégrer ou dériver cette série. Ce qui fait le succès de la Transformée de Fourier : une fois les coefficients déterminés, elle utilise des notions élémentaires.

Un point d’achoppement entre Fourier et les mathématiciens et les physiciens de son temps était de savoir si ces séries convergeaient bien vers la fonction initiale, y compris aux points de discontinuité. Au cours du XIXe siècle, les mathématiciens ont tranché le débat en précisant la notion d’intégrale.

Sinus et cosinus : On s’y initie bien avant le baccalauréat ; ils ne posent pas de problèmes tant qu’ils ondulent mollement de 0 à 2?, ils deviennent un peu urticants, mais les candidats bacheliers s’y font, lorsqu’il faut trouver une équivalence à sinus (2x) ou à cosinus (a + b).

Coefficients : leur calcul n’est pas évident. De nos jours des calculateurs dédiés fournissent des valeurs aussi précises que nécessaires en quelques secondes.

Cela dit, il n’est pas si simple sans bases mathématiques solides d’aborder la transformation de Fourier. On pourra le voir dans ce dialogue entre un lycéen et des étudiants-enseignants ; dialogue extrait d’un forum actif en 2011.

Spectre d’une fonction sinus :

Il n’est pas nécessaire de représenter complètement la courbe des fonctions sinus et cosinus, que l’amplitude et la fréquence suffisent à définir entièrement :

Le spectre (ici au bas de l’image) permet de retrouver le graphe.

L’université de Lyon a créé une animation qui permet de visualiser la représentation d’une fonction par son spectre :

http://spiral.univ-lyon1.fr/files_m/M5423/WEB/acoustique/anim/fourier/fourier.swf

Sans perte d’information, on peut simplifier encore davantage la représentation en n’indiquant que l’extrémité du segment (III) et aux conventions de représentation près, ces trois graphiques sont équivalents :

I II III

Image et transformée :

Revenons à Lena maintenant :

a) Le fichier de l’image de Léna (qui est représentée, avec les technologies courantes, par 4 Mo des données) est transformé en une somme de fonctions sinus et cosinus (à ce stade, il n’y a pas d’allégement du fichier, la quantité de données est équivalente ; les données sont fonction de la précision des calculs).
b) La transformation de Fourier du fichier est représentée sur la seconde image. Chaque pixel est l’image du spectre d’une des fonctions de la Transformée de Fourier de l’image initiale. On l’a compris, il n’y a pas correspondance entre un point de l’image initiale et un point de la Transformée. Chaque point de la Transformée rend compte d’une composante en sinus ou cosinus de l’image initiale et influe sur l’ensemble de la fonction (image initiale).

Si les deux représentations sont aussi encombrantes l’une que l’autre (4 Mo pour fixer les idées), on peut s’interroger sur l’avantage qu’il y a transformer l’image qui n’est même plus directement lisible.

Il est possible (et relativement facile) d’expérimenter sur chacune des représentations et de recueillir des informations précieuses de la comparaison des résultats. Ces expérimentations s’effectuent par le moyen de programmes informatiques assez courts, voir par exemple le site de Dimitri Bonnet :

http://kmdb.pagesperso-orange.fr/_src/_python/_formation_2010/python_formation_images.html

Le site de Caroline Petitjean donne aussi, sans entrer dans le détails de la programmation, quelques exemples d’expérimentation :

http://carolinepetitjean.free.fr/enseignements/ti/part4_M1M2_TI.pdf

On peut ainsi intervenir sur des images pour les modifier, voici un exemple trouvé sur le site de Guillaume Cheron [2] :

http://guilhem-cheron.voila.net/filtrage_echantillonnage_tf.html

On bruite Lena afin de dégrader l’image. La voici, elle, et son spectre.

Pour « débruiter » on applique un masque sur le spectre aux endroits qui semblent être dégradés. On obtient le résultat suivant (avec son spectre couvert par le masque)

Les illustrations ci-dessus permettent de comprendre l’intérêt de la transformation de Fourier dans le traitement des fichiers numériques (image, son ou autres).

Des applications multiples

Outre la retouche d’image, il est simple de supprimer certaines fréquences qui alourdissent le fichier sans apporter d’information pertinente : pour un fichier audio, par exemple, la suppression des fréquences qui ne sont pas perçues par l’oreille n’altère pas la perception. Avec cette suppression, le gain en terme de volume du fichier devient intéressant. Le codage MP3 des fichiers audio exploite cette propriété.

Les applications sont multiples : compression de fichiers numériques (image : suppression du bruit, des fréquences inutiles ; musique : suppression des fréquences inaudibles), mais aussi maintenance des systèmes rotatifs, imagerie scientifique ou médicale, en spectroscopie…

Faute de connaître les technologies développées après sa mort, Fourier n’a pas pu imaginer qu’on leur applique cette Transformation dont il était l’inventeur et qui cependant leur apporte beaucoup. Un article consacré aux grandes équations de la science a ainsi pu titrer : la Transformation de Fourier est le couteau suisse de la physique mathématique. La Transformation de Fourier est ainsi utile en cristallographie, domaine dans lequel la découverte des quasi-cristaux valut à Dan Shechtman son prix Nobel.

[1] Le nom « Lenna » est le nom donné dans l’article original de Playboy, le prénom de Lena Sjööblom ayant été changé par le magazine pour que le nom soit correctement prononcé par des anglo-saxons.

Lena Söderberg (née Sjööblom, le 31 mars 1951 en Suède) est apparue comme modèle Playmate dans l’édition du magazine de Playboy en novembre 1972. Elle fut photographiée par Dwight Hooker. L’utilisation de cette image a connu quelques controverses en raison de la nudité de l’image d’origine, et surtout Playboy tenta une fois de poursuivre les utilisations non autorisées de l’image. Le magazine a depuis abandonné les poursuites et accepté l’utilisation de « Lenna » pour des raisons publicitaires.

David C. Munson, éditeur en chef lors des discussions de l’IEEE sur le traitement d’image de janvier 1996, cite deux raisons pour expliquer la popularité de cette image dans le monde de la recherche :

« Tout d’abord, cette image contient un mélange intéressant de détails, de régions uniformes, et de textures, ce qui permet de bien tester les différents algorithmes de traitement d’image. C’est une bonne image de test ! Ensuite, « Lenna » est l’image d’une femme attirante. Ce n’est pas une surprise que la communauté de la recherche dans le traitement d’image (principalement masculine) gravite autour d’une image qu’elle trouve attirante. » La coïncidence fait que Playboy a déclaré que ce numéro était sa meilleure vente : 7 161 561 exemplaires.

[2] Sur ce site, en plus de l’exemple extrait, reproduit sur cette page, l’on pourra trouver plusieurs exemples d’application de masques au traitement d’une image

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7 août 2014
13 h 06 min
by: cm1

Stewart présente Fourier

Stewart présente Fourier

Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, 414 p, traduit de l’anglais par Anatole Muchnik, éd. Robert Laffont, 2014, ISBN : 978-2-221-13334-7 Ce livre publié en anglais en 2012 et disponible en français depuis février 2014 chez Robert Laffont, présente de façon accessible, au long de ses dix-sept chapitres, 17 équations qui ont changé le monde, en partant du théorème de Pythagore (chapitre 1), pour arriver à l’équation Black-Scholes (chapitre 17), en passant par la transformée de Fourier (chapitre 9).

Ian Stewart traite de façon compréhensible de théories ardues et permet au lecteur de les situer dans l’évolution de la connaissance, de mesurer leurs enjeux. C’est naturellement le chapitre 9 consacré à l’équation de la chaleur et à la façon dont Jean Joseph Fourier l’a résolue qui justifie que nous présentions ce livre ici.

Dans l’introduction au chapitre concernant Fourier on trouve « La technique de Fourier est très largement utilisée, que ce soit dans le traitement de l’image, par exemple, ou la mécanique quantique. On s’en sert pour déterminer la structure de grandes molécules biologiques, comme l’ADN, pour compresser les données en photo numérique, pour nettoyer les enregistrements audio anciens ou abîmés ou pour analyser les tremblements de terre. Des variantes modernes servent au stockage efficace des empreintes digitales ainsi qu’au perfectionnement des scanners médicaux modernes. » p. 193 […] L’« analyse de Fourier », ainsi qu’on l’appelle aujourd’hui, fonctionne très bien, mais elle possède des profondeurs cachées dont son auteur n’avait pas conscience. La question, en apparence, était : à quel moment la série de Fourier converge-t-elle avec la fonction qu’elle prétend représenter ? Autrement dit, est-ce qu’à force de comporter de plus en plus de termes, l’approximation de la fonction finit par s’améliorer ? Fourier lui-même savait que la réponse n’est pas « toujours », mais plutôt « généralement, avec toutefois la possibilité que surviennent des problèmes et des discontinuités ». En son point central, par exemple, là où la température fait un bond, la série de l’onde carrée de Fourier converge – mais vers un nombre erroné. La somme est 0, mais l’onde carrée prend la valeur 1. Pour la plupart des applications physiques, changer la valeur d’une fonction en un point isolé n’a pas vraiment d’importance. Ainsi modifiée, l’onde carré continue de paraître carrée. […] Pour Fourier, ce genre de question ne comptait pas vraiment. Ce qu’il modélisait, c’était le transfert de la chaleur, et peu lui importait que le modèle soit légèrement artificiel ou qu’il requière des modifications techniques sans grande conséquence sur le résultat final. Pourtant la question de la convergence ne pouvait pas être expédiée aussi légèrement, parce que les fonctions présentent parfois des discontinuités beaucoup plus complexes qu’une onde carrée. Cela n’empêchait pas Fourier d’affirmer que sa méthode valait pour n’importe quelle fonction, alors il fallait bien qu’elle s’applique à des fonctions de type f(x)=0 quand x est un nombre rationnel, f(x) =1 quand x est irrationnel. Cette fonction est discontinue partout. Pour les fonctions de ce genre, à l’époque, on ne savait même pas vraiment ce que pouvait signifier la notion d’intégrale. Et c’est en fin de compte là-dessus qu’à porté la controverse.[…] Le verdict final était qu’interprétée de la bonne façon, l’idée de Fourier pouvait être rendue rigoureuse.[…] Le premier champ à en bénéficier en dehors des mathématiques pures n’a pas été la physique de la chaleur mais l’ingénierie. Et plus particulièrement l’ingénierie électronique. Sous sa forme la plus générale, la méthode de Fourier représente un signal, déterminé par une fonction f, comme combinaison d’ondes de toutes les fréquences possibles. On l’appelle la transformée de Fourier de l’onde. Elle remplace le signal original par son spectre : une liste d’amplitudes et de fréquences pour les sinus et cosinus qui le composent, codant la même information d’une autre façon – les ingénieurs parlent de « passage du domaine du temps à celui des fréquences ». Quand on représente les données de plusieurs façon, les opérations qui s’avèrent impossibles ou difficiles dans une représentation deviennent simples dans l’autre. Si l’on part d’une conversation téléphonique par exemple, on peut prendre la transformée de Fourier et ôter tous les éléments dont les composantes présentent des fréquences trop élevées ou trop basse pour l’oreille humaine. Cela permet de transmettre davantage de conversation par les mêmes voies de communication, et c’est l’une des raisons du montant relativement modeste des factures téléphoniques aujourd’hui. On ne pourrait pas jouer à ce jeu-là sur le signal non transformé, parce que la « fréquence » ne fait pas partie de ses caractéristiques évidentes. On ne saurait pas quoi dépouiller. Cette technique s’applique aussi à la conception de bâtiments à l’épreuve des séismes. […] La transformée de Fourier est devenue un outil commun des sciences et de l’ingénierie ; ses applications vont de la suppression du bruit sur des enregistrements anciens, comme les craquements des disques de vinyle, à la détermination de la structure des grandes molécules biochimiques comme l’ADN par la diffraction des rayons X, en passant par l’amélioration de la réception radio, le nettoyage des photographies, les systèmes sonar employés dans les sous-marins ou l’élimination dès la phase de conception des vibrations indésirables d’une automobile. Je m’en tiendrai ici à l’un des milliers d’usages quotidiens de l’idée magnifique de Fourier, dont nous profitions, pour la plupart sans le savoir pendant les vacances : la photo numérique. […] Mon appareil parvient donc, d’une façon ou d’une autre à tasser sur une seule carte de deux gigaoctets environ dix fois plus de données que la carte ne peut en contenir. C’est comme si on versait un litre de lait dans un coquetier. Oui, tout rentre. Mais comment ? Grâce à la compression des données. Les informations qui définissent l’image sont traitées de façon à en réduire la quantité. […] » En toute conclusion de l’ouvrage, la transformée de Fourier inspire encore pour partie un paragraphe à Ian Stewart (p. 393) : « Il est souvent arrivé qu’une équation ne conduise pas à ce qui intéressait son inventeur-découvreur. Qui aurait pu prédire au XV^e siècle qu’un nombre déroutant, apparemment impossible, sur lequel on était tombé en résolvant des problèmes d’algèbre finirait un jour par devenir indissociable de l’univers encore plus déroutant et apparemment impossible de la physique quantique – pour ne rien dire du fait qu’il ouvrirait la voie à des appareils miraculeux capable de résoudre un million de problèmes algébrique à la seconde et qui permettrait d’être instantanément vu et entendu par des amis par des amis à l’autre bout de la planète ? Qu’aurait dit Fourier si on lui avait annoncé que sa nouvelle méthode d’observation des transferts de chaleur serait un jour intégrée à des machines de la taille d’un paquet de cartes et capables de peindre des images extraordinairement fidèles et détaillées de ce sur quoi on les pointe – en couleur, et même animées, stockables de surcroît par millions dans un bidule de la taille d’une pièce de monnaie ? »

Notons tout de même que en ce qui concerne les instruments où les théories de Fourier aidaient au moins à la compréhension à son époque, il y avait de son vivant, outre ce qui est lié à la chaleur, de nombreuses problématiques acoustiques. Il faut savoir que certains de ces problèmes contiennent dès le départ certains aspects modernes du traitement du signal (science qui n’existe cependant pas à cette époque). Fourier a donné, dès son manuscrit de 1822 une méthodologie d’attaque des problèmes physiques, insistant sur la dimension instrumentale et calculatoire, et il prévoit d’entrée de jeu que ses relations s’appliqueront de manière quasi-universelle. Dès le départ, il mentionne la chaleur, l’acoustique, des aspects liés aux milieux liquides, etc. Par ailleurs, il va avoir l’occasion d’échanger de son vivant en ce qui concerne l’électricité. Il semble qu’il évoque aussi la lumière et les gaz mais c’est à vérifier. Dans tous les cas, son pari était quelque peu visionnaire !

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2 août 2014
6 h 14 min
by: cm1

Journée Fourier 2014

4 octobre 2014 – Journée Fourier à Auxerre

Entrée libre

La Société Joseph Fourier organise le samedi 4 octobre 2014 une journée Fourier au CCDP de l’Yonne, salle Canopé, 28 rue Théodore de Bèze, AUXERRE . Elle a pour thème « Le Savant dans la cité ».

Cette journée s’inscrit dans le cadre de la Fête de la Science et bénéficie du soutien du CCSTIB; nous voulons vous en informer sans attendre de connaître précisément en quel lieu elle se tiendra.

Pour l’heure, elle s’articule autour de quatre interventions selon le programme ci-dessous.

Thème : Le Savant dans la cité.

9 h 30 Accueil.

9 h 45 Introduction par Tadeusz Sliwa.

10 h: Patrice BRET : Atmosphère intellectuelle à Paris entre 1815 et 1830.

11 h: Jean DHOMBRES : Fourier et Laplace, une filiation intellectuelle mais deux conceptions divergentes du rôle du scientifique dans la cité.

12 h – 14 h 45 Repas libre

14 h 45 Présentation de la Société Joseph Fourier

15 h Marie DUPOND : Monge au travers de sa correspondance familiale (1794-1801), un savant dans la cité révolutionnaire.

16 h Patrice DECORMEILLE : Paul Bert, un savant en politique.

17 h Conclusion par Tadeusz Sliwa

Renseignements et informations complémentaires : Daniel REISZ, 7 rue Germain Bénard, 89000 AUXERRE – Tél : 03.86.42.21.93

de gauche à droite: Fourier, Laplace, Monge