GIMPS a célébré son 20e anniversaire avec la découverte du plus grand nombre premier connu, 2 ^74207281 -1.
Curtis Cooper, l’un des milliers de bénévoles GIMPS, a utilisé l’un des ordinateurs de son université pour faire cette découverte.C’est la quatrième fois depuis 2005 qu’il découvre le plus grand nombre premier.

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Ce nombre premier, aussi connu comme M 74207281 a 22,338,618 chiffres – près de 5 millions de chiffres de plus que le dernier nombre premier connu.
Ce nombre s’écrit : 2^{74 207 281} – 1
La forme de ce nombre n’est pas anodine : il s’agit d’un nombre premier de Mersenne, dont la forme générale est Mp = 2^p – 1 où p est lui même un nombre premier.

Les nombres premiers de Mersenne

Les nombres premiers de Mersenne sont nommés ainsi d’après le moine français Marin Mersenne, qui les a étudiés il y a plus de 350 ans.

Il n’y a que 49 nombres premiers de Mersenne connus.
Fait intéressant, l’ordinateur de M. Cooper a signalé ce nombre premier au serveur le 17 Septembre, 2015. Cependant, un bug informatique a empêché sa notification par e mail .
Ce nouveau nombre Premier resté inaperçu jusqu’à la maintenance de la base qui a eu lieu quelques mois plus tard.

Un peu d’histoire
Les nombres premiers ont longtemps fasciné les mathématiciens.
Un entier supérieur à un est appelé un nombre premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui même.
Ex : 2, 3, 5, 7, 11, etc.
NB : 10 est pas premier, car il est divisible par 2 et 5.

Le crible d’Ératosthène

?La recherche des nombres premiers a toujours constitué un sujet épineux. L’une des premières méthodes connues est attribuée à Ératosthène de Cyrène (273-194 av. J.-C.), mathématicien, astronome et géographe grec, qui fut directeur de la Bibliothèque d’Alexandrie.

Tout d’abord, il faut construire une table avec tous les nombres naturels, par exemple entre 1 et 100.

. On commence ensuite à éliminer tous ceux qui sont multiples de deux : 4, 6, 8, 10… ; puis ceux qui sont multiples de trois : 6 (déjà éliminé), 9, 12, 15… ; puis ensuite les multiples de cinq et de sept.

Les nombres non éliminés sont tous premiers.

cliquez sur l’image pour voir l’animation

Cette méthode « le crible « d’ Ératosthène » est encore utilisée , plus de deux mille ans après sa création, pour trouver des nombres premiers petits.

Pour aller plus loin, voir ce site

On peut utiliser également la barre magique pour trouver la liste des nombres premiers inférieurs à 100 ( source Villemin Gérard ):

En rouge, tous les nombres premiers de 1 à 100, sans oublier 2 et 3 non figurés dans la barre magique. Tous les nombres de part et d’autre de la barre jaune (les multiples de 6) sont premiers, sauf ceux qui sont déportés en gris

Les nombres premiers de Mersenne: un nombre premier de Mersenne est un nombre premier de la forme 2^p -1 où p est un nombre premier.
Les premiers nombres premiers de Mersenne sont 3, 7, 31, et 127 correspondant à p = 2, 3, 5, et 7 respectivement. Il n’y a que 49 nombres premiers de Mersenne connus.

Marin Mersenne

NB: Un nombre de Mersenne est un nombre entier naturel de la forme 2ⁿ – 1, où n est un nombre entier naturel. Pour qu’un tel nombre, généralement noté M_n, soit premier  il faut que n (appelé l’indice de M_n) soit un nombre premier, mais cette condition n’est pas suffisante (M₁₁, par exemple, n’est pas premier, bien que 11 le soit).

Les nombres premiers de Mersenne ont été au centre de la théorie des nombres.

Ils ont été examinés par Euclide.

Les nombres de Mersenne premiers sont liés aux nombres parfaits.On connaît donc autant de nombres parfaits pairs que de nombres de Mersenne premiers.

• 

  Euclide

  Euclide a prouvé que chaque nombre premier de Mersenne génère un nombre parfait.

• Si (2^k – 1) est premier,

alors N =2^{k – 1} (2^k – 1) est parfait (pair).

Ex: pour k=2, on obtient: 2^k – 1= 3

3 est un nombre premier   et N =2^{k – 1} (2^k – 1) = 6

6 est un nombre parfait: 1+2+3=6

Un nombre parfait est celui dont la somme de ses diviseurs propres ( sauf lui même) donne le nombre lui-même.
Le plus petit nombre parfait est 6 = 1 + 2 + 3 et le deuxième nombre parfait est 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. ( à voir ici pour les débutants) …

• 

  Euler

• Euler (de 1707 à 1783) a prouvé que tous les nombres parfaits pairs viennent de nombres de Mersenne premiers.

   Si n est un nombre parfait pair, il est de la forme 2^{k – 1} (2^k – 1) avec 2^{k – 1} premier.

Le plus grand nombre parfait a été trouvé ,sans ordinateur, par Édouard Lucas en 1876.( voir ici le détail ).

La recherche pour les nombres premiers de Mersenne fut révolutionnée par l’introduction des calculateurs électroniques. La première identification d’un nombre de Mersenne par ce moyen eut lieu en 1952 ( par un ordinateur SWAC à l’Institut d’Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de l’université de Californie ).

Depuis la mise en place d’algorithmes ( voir l’algorithme RSA grâce aux nombres premiers ici)utilisant les nombres premiers en cryptographie, cette recherche constitue un grand enjeu actuel .